Геодезические на группах Ли с левоинвариантной метрикой

Геодезические на группах Ли с левоинвариантной метрикой [c.146]

Ключевой вопрос применимости общей теории вихрей, развитой в главе II, состоит в нахождении инвариантных многообразий, однозначно проектирующихся на конфигурационное пространство. Этот вопрос легко и естественно решается для волчка Эйлера — задачи о вращении по инерции твердого тела с неподвижной точкой в трехмерном евклидовом пространстве. Многие результаты этого параграфа непосредственно обобщаются на более общую задачу о геодезических на группах Ли с левоинвариантной метрикой. [c.154]

Геодезические на группах Ли с левоинвариантной метрикой 169 В результате переходим к тождеству [c.169]

Геодезические на группах Ли с левоинвариантной метрикой 175 Следствие 4. Если f,g = О, то [vf,v = 0. [c.175]

Конфигурационное пространство твердого тела с закрепленной точкой — группа вращений 80 (3) трехмерного пространства. Уравнения Эйлера движения твердого тела могут быть записаны как уравнения касательного вектора к геодезической левоинвариантной римановой метрики на 0(3) (метрика задается кинетической энергией тела). Уравнение Эй/.ера движения идеальной жидкости, как показал Арнольд [5], также можно рассматривать как уравнение движения по геодезической. Обобщенным твердым телом (о. т. т.) называется система с конфигурационным пространством —группой Ли О, нулевой потенциальной энергией и кинетической энергией, задающей лево-(или право-) инвариантную метрику на С и равной положительной квадратичной форме на алгебре Ли С( группы [c.312]

Уравнения (1.11) составляют половину уравнений движения. К ним следует добавить геометрические уравнения (1.2). С дифферен-циально-геометрической точки зрения эти уравнения описывают геодезические линии левоинвариантной метрики на группе Ли. [c.154]

Мы будем теперь рассматривать геодезические произвольной левоинвариантной римановой метрики на произвольной группе Ли как движения обобщенного твердого тела с конфигурационным пространством G. Такое твердое тело с группой G определяется своей кинетической энергией, т. е. положительно определенной квадратичной формой на алгебре Ли. Точнее, мы будем представлять себе геодезические левоинвариантной метрики на группе G, заданной квадратичной формой <со, со> на алгебре, как движения твердого тела с группой G и кинетической энергией <со, со>/2. [c.290]

СЯ вращения вокруг главных осей эллипсоида инерции. Ниже формулируется обобщение этой теоремы на случай твердого тела с любой группой Ли. Заметим, что стационарные вращения — это геодезические левоинвариантной метрики, являющееся однопараметрическими подгруппами. [c.294]

Напротив, для каждой связной полупростой группы Ли без компактных факторов и максимальной компактной подгруппы К (которая определена однозначно с точностью до сопряжения внутренним автоморфизмом G) существует единственная глобально симметрическая структура на М = G/K, а именно, каждая левоинвариантная риманова метрика на G, которая является правоинвариантной относительно К, тогда превращает М в риманово многообразие и фактор М по действию слева решетки Г в ( будет тогда компактным римановым фактором М. Эти факторы являются прямым аналогом тора и компактных факторов гиперболической плоскости RH из 5.4. В этой модели геодезические, проходящие через Id, соответствуют однопараметрическим подгруппам G/K. [c.558]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...