Биллиард интегрируемый

Введение. Математические биллиарды — один из важных модельных объектов рассмотрения в теории динамических систем и ее приложениях [1-5]. В последнее время начались исследования биллиардов с медленно меняющимися параметрами (см., например, [6]). В данной работе рассматривается динамика в медленно вращающихся прямоугольном и эллиптическом биллиардах с медленно изменяющимися границами. Рассматриваемые системы близки к интегрируемым, и для их изучения могут быть применены методы теории возмущений. В этих системах имеют место резонансные явления захват в резонанс и рассеяние на резонансе. При исследовании этих явлений ниже используются методы, развитые в теории гладких гамильтоновых систем с быстрыми и медленными переменными [7]. Результаты настоящей работы свидетельствуют, что эти методы могут успешно применяться и для исследования систем с ударами, какими являются биллиарды. [c.171]

Примером интегрируемого закручивающего отображения является биллиардное отображение для биллиарда в круге, которое рассматривалось в предыдущем параграфе. С другой стороны, биллиардное отображение для биллиарда внутри эллипса не является интегрируемым закручивающим, хотя этот биллиард и может рассматриваться как вполне интегрируемая механическая система. [c.356]

В книге в доступной форме излагаются основные идеи и методы динамики систем с односторонними связями. Явление удара о связь рассматривается с точки зрения общего лагранжева формализма, С позиций конструктивного подхода проводится обоснование различных моделей ударного взаимодействия. Исследуются вопросы существования и устойчивости периодических траекторий в системах с ударами. В консервативном случае широко используются вариационные принципы и методы. Особое место занимает исследование с качественной точки зрения различных биллиардных задач. В частности, обсуждается широкий набор интегрируемых биллиардов (в том числе и многомерных), а также приводятся результаты о неинтегрируемости типичного биллиарда. Книга содержит исторический очерк развития основных идей теории удара. [c.2]

Значительное внимание уделено интегрируемым биллиардам. Кроме известных интегрируемых задач (эллиптический биллиард, биллиарды в аффинных камерах Вейля) указаны новые гармонический осциллятор внутри эллипса, некоторые биллиарды на поверхностях постоянной кривизны и ряд других. Обсуждается проблема интегрируемости систем биллиардного типа. Дан краткий обзор работ по биллиардам с эргодическим поведением. [c.5]

Уравнения динамики принято разделять на интегрируемые и неинтегрируемые. Интегрируемые системы имеют достаточно много независимых первых интегралов (например, для полной интегрируемости гамильтоновой системы с п степенями свободы достаточно знать п интегралов, попарно находящихся в инволюции см. [3, гл. 4]). В соответствии с этим можно выделить интегрируемые биллиардные системы, обладающие полным набором независимых интегралов. Мы укажем основные известные интегрируемые биллиарды, а также некоторые способы их точного интегрирования и исследования качественных особенностей движения. [c.99]

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ БИЛЛИАРДЫ НА ЭЛЛИПСОИДАХ [c.104]

Доказательство основано на том факте, что интегралы задачи о геодезических на п-мерном эллипсоиде являются интегралами биллиардной системы в E. Явное интегрирование осуществляется с помощью эллиптических координат (ср. с 1). В частном случае, когда п = 3, устремим одну из полуосей к нулю. Тогда в пределе получим серию интегрируемых биллиардов, ограниченных софокусными кониками на двумерной евклидовой плоскости (рис. 41). [c.105]

Линии пересечения параболоидов из семейства (2,7) являются границами интегрируемых биллиардов. [c.108]

Теорема 2 указывает семейство интегрируемых биллиардов на двумерной поверхности постоянной положительной кривизны. Как заметил С. В, Болотин, аналогичный результат имеет место и для поверхностей постоянной отрицательной кривизны. [c.108]

Этот результат может быть обобщен на многомерный случай. Явные формулы для траекторий интегрируемых биллиардов с квадратичными интегралами, содержащие -функции, можно найти в работах А. П. Веселова [12 73]. [c.109]

Обсуждение интегрируемости систем взаимодействующих частиц и их связь с интегрируемыми биллиардами можно также найти в обзоре А. М. Степина [32]. [c.118]

Показать, что интегрируемость задачи Якоби о геодезических по поверхности п-мерного эллипсоида вытекает из свойства интегрируемости биллиарда в (п+1)-мерном эллипсоиде. [c.118]

Оказывается, интегрируемые биллиарды — редкое исключение среди всего множества биллиардов. Причина кроется в сложном поведении фазовых траекторий типичных биллиардных систем в-общем случае траектории не уклады-ваются на поверхности уровня интегралов, независимых от интеграла энергии. Для того чтобы дать строгие доказательства неинтегрируемости, надо прежде всего выделить классы функций в фазовом пространстве, среди которых разыскиваются первые интегралы. Мы выделяем два естественных класса первых интегралов. Первый составляют аналитические интегралы, а второй. — полиномы от скоростей с гладкими (или даже непрерывными) коэффициентами. Отметим, что во всех известных проинтегрированных биллиардных задачах дополнительные интегралы лежат в пересечении этих классов функций. [c.120]

Теорема . Для любых фиксированных А, а>0 в пространстве ил,а интегрируемые биллиарды образуют подмножество первой категории Бэра (представимое в виде конечной или счетной суммы множеств, нигде не плотных в Уа г ). [c.123]

Замечание 2. Уже отмечалось, что множество можно считать состоящим из биллиардов, обладающих бесконечным количеством невырожденных гиперболических периодических траекторий. Как известно, такие траектории обладают сепаратрисами. Если сепаратрисы трансверсально пересекаются, то биллиард не может быть интегрируемым в силу их сложного поведения (см., например, [3]). [c.132]

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ БИЛЛИАРДЫ НА ПОВЕРХНОСТЯХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ [c.137]

Биллиард назовем интегрируемым по Биркгофу, если он имеет п—1 полиномиальных по скорости интегралов на Р, находящихся в инволюции и почти всюду независимых. Отметим, что все интегрируемые биллиарды, описанные в гл. 4, являются интегрируемыми по Биркгофу. [c.138]

Таким образом, каждый гладкий кусок S границы Г интегрируемого биллиарда содержится в алгебраической кривой [c.142]

Теорема 3 (классификация неособых интегрируемых биллиардов). Если хотя бы один кусок границы Г интегрируемого биллиарда неособый, то выполняется одно из двух утверждений [c.143]

В случае нулевой кривизны кривые (3.9) оказываются семейством софокусных эллипсов и гипербол вместе с двумя предельными прямыми. На рис. 47 изображено такое семейство вместе с интегрируемым биллиардом первого типа. [c.143]

Заключение а) вытекает из более сильного утверждения об интегрируемости биллиарда в многоугольнике с соизмеримыми углами кроме интеграла энергии биллиард допускает новый полиномиальный по скоростям интеграл (см. 2). Заключение б) (и некоторые его уточнения) доказано в работах [57 45 58]. [c.147]

Предложение 1. При малых е биллиард в цилиндре обладает большим количеством квазипериодических траекторий, близких к траекториям интегрируемого биллиарда внутри Со. [c.155]

Болотин С, В. Интегрируемые биллиарды Биркгофа /Вести. Моск. ун-та. Сер. 1,. Математика. Механика. 1990. A" 2. С. 33—36. [c.164]

Гамильтониан (19) описывает динамику частицы в эллиптическом биллиарде, возмущаемом медленной деформацией и вращением. Невозмущенная система (г = = onst, = ш = 0) интегрируема. Кроме интеграла энергии, имеется дополни-тельний интеграл движения i = с = с , [c.179]

Теорема 1. Биллиард в 2 — вполне интегрируемая динами-ческая система. [c.105]

Устремим теперь параметр Ь к нулю. Тогда параболоид (3.1) перейдет в область над параболой у= х /2а в вертикальной плоскости 2=0, а движение точки по параболоиду перейдет в свободное падение по параболе с абсолютно упругими ударами. Поскольку задача Пенлеве — Чаплыгина интегрируема при всех значениях 6>0, то и предельная задача о параболическом биллиарде также [c.109]

В настоящее время имеется полная классификация систем с потенциальной энергией в виде любой конечной суммы вещественных экспонент, долускающих полный набор независимых полиномиальных по скоростям первых интегралов. Соответствующие результаты получены в работе [22]. Однако после предельного перехода от этих интегрируемых гладких гамильтоновых систем с экспоненциальным взаимодействием к дискретным системам не получается никаких новых интегрируемых биллиардов. Поэтому может создаться впечатление, что теорема 4 исчерпывает все биллиарды с полным набором независимых полиномиальных интегралов. Это, однако, не так например, биллиард в любом выпуклом [c.117]

Биллиард, обладающий нетривальным первым интегралом, естественно назвать интегрируемым. В четвертой главе были указаны многочисленные примеры интегрируемых биллиардов. [c.120]

Аналитический биллиард называется интегрируемым, если он обладает аналитическим первым интегралом на торе 12= = (ф1, ф2то(12я . Читателю предлагается проверить, что квадратич- [c.122]

Предложение 6. Пусть S — гладкий кусок границы интегрируемого биллиарда, такой, что его алгебраическое замыкание с в СР — гладкая алгебраическая кривая (кривая без особенностей в СР ). В случае ненулевой кривизны 2 предположим дополнительно, что 5с имеет хотя бы одну точку трансверсаль ного пересечения с абсолютом [c.142]

Ранее мы показали, что если граница неособого интегрируемого биллиарда содержит кусок геодезической Ь = гб2 <г,Л"> = 0 , то соответствующая квадратичная форма К(М) делится на линейную форму <М, ЛК>. Следовательно, такими 1 еодезическими могут быть только Ь и [c.145]

Имеется много примеров интегририруемых систем геодезические потоки на поверхностях вращения, геодезический поток на трехосном эллипсоиде, биллиард внутри эллипса, система трех точечных вихрей двумерной гидродинамики и др.-В последнее десятилетие много новых примеров интегрируемых систем было открыто с помощью метода обратной задачи теории рассеяния (см. кн. Теория солитонов. Метод обратной задачи (под ред. С. П. Новикова). М. Наука, 1980, 319 с.).. [c.115]

Другой распр остраненный механизм неинтегрируемости связан с появлением подковы Смейла (5. 5та1е) (см. гл. 7, 2), т. е. подмножества фазового пространства, в котором ди-шамика обладает специальными свойствами неустойчивости. По мере удаления от интегрируемости множество, занятое инвариантными торами, уменьшается, а множество , заполненное не- интегрируемой частью со сложным поведением траекторий, растет. Пределом можно считать динамические системы, обладающие самыми сильными статистическими свойствами на всем фазовом пространстве. Наиболее важными примерами таких систем служат геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны, биллиарды в областях с выпуклой внутрь границей (см. гл. 7 и 8) и некоторые одномер--ные отображения (гл. 9). В основе исследования эргодических свойств подобных систем лежит понятие гиперболичности, которое подробно обсуждается в главе 7, 1. [c.116]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...