Неинтегрируемые биллиарды

В книге в доступной форме излагаются основные идеи и методы динамики систем с односторонними связями. Явление удара о связь рассматривается с точки зрения общего лагранжева формализма, С позиций конструктивного подхода проводится обоснование различных моделей ударного взаимодействия. Исследуются вопросы существования и устойчивости периодических траекторий в системах с ударами. В консервативном случае широко используются вариационные принципы и методы. Особое место занимает исследование с качественной точки зрения различных биллиардных задач. В частности, обсуждается широкий набор интегрируемых биллиардов (в том числе и многомерных), а также приводятся результаты о неинтегрируемости типичного биллиарда. Книга содержит исторический очерк развития основных идей теории удара. [c.2]

Уравнения динамики принято разделять на интегрируемые и неинтегрируемые. Интегрируемые системы имеют достаточно много независимых первых интегралов (например, для полной интегрируемости гамильтоновой системы с п степенями свободы достаточно знать п интегралов, попарно находящихся в инволюции см. [3, гл. 4]). В соответствии с этим можно выделить интегрируемые биллиардные системы, обладающие полным набором независимых интегралов. Мы укажем основные известные интегрируемые биллиарды, а также некоторые способы их точного интегрирования и исследования качественных особенностей движения. [c.99]

Оказывается, интегрируемые биллиарды — редкое исключение среди всего множества биллиардов. Причина кроется в сложном поведении фазовых траекторий типичных биллиардных систем в-общем случае траектории не уклады-ваются на поверхности уровня интегралов, независимых от интеграла энергии. Для того чтобы дать строгие доказательства неинтегрируемости, надо прежде всего выделить классы функций в фазовом пространстве, среди которых разыскиваются первые интегралы. Мы выделяем два естественных класса первых интегралов. Первый составляют аналитические интегралы, а второй. — полиномы от скоростей с гладкими (или даже непрерывными) коэффициентами. Отметим, что во всех известных проинтегрированных биллиардных задачах дополнительные интегралы лежат в пересечении этих классов функций. [c.120]

НЕИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ТИПИЧНОГО БИЛЛИАРДА БИРКГОФА [c.120]

Другими словами, в некотором смысле, почти все аналитические биллиарды являются неинтегрируемыми. В идейном отношении теорема 1 аналогична известному результату К. Зигеля о неинтегрируемости типичной гамильтоновой системы в окрестности устойчивого положения равновесия [71]. [c.123]

Множество неинтегрируемых биллиардов. Л е м м а 5. Множество иА.а иА,а Нигдв Нв ПЛОТНО в У а, а- [c.128]

Пространство аналитических биллиардов. Формулировка теоремы о неинтегрируемости. Рассмотрим биллиард Биркгофа, ограниченный гладкой выпуклой замкнутой кривой на евклидовой плоскости. Пусть фтос12я — параметр на этой кривой. Тогда любой паре точек (фь ф2)тос12л единственным образом сопоставляется пара (ф2, фз)== (фь фг), где точка ф , такова, что последовательность фь ф2. Фз является частью траектории биллиарда Таким образом, биллиарду Биркгофа соответствует отображение —>-Т двумерного тора на себя. [c.120]

Лемма о неинтегрируемости. Лемма 6. Биллиарды, лежа-щиие в неинтегрируемы. [c.129]

Полезно иметь в виду следующее эквивалентное определение эргодичности всякая инвариантная относительно отображения Y функция F (т. е. F(4 (г ))) ( 1 ) для почти всех зеТ ) почти всюду константа. Следовательно, эргодические биллиарды неинтегрируемы отсутствуют нетривиальные дополнительные измеримые (а не только гладкие или непрерывные) интегралы. [c.146]

Другой распр остраненный механизм неинтегрируемости связан с появлением подковы Смейла (5. 5та1е) (см. гл. 7, 2), т. е. подмножества фазового пространства, в котором ди-шамика обладает специальными свойствами неустойчивости. По мере удаления от интегрируемости множество, занятое инвариантными торами, уменьшается, а множество , заполненное не- интегрируемой частью со сложным поведением траекторий, растет. Пределом можно считать динамические системы, обладающие самыми сильными статистическими свойствами на всем фазовом пространстве. Наиболее важными примерами таких систем служат геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны, биллиарды в областях с выпуклой внутрь границей (см. гл. 7 и 8) и некоторые одномер--ные отображения (гл. 9). В основе исследования эргодических свойств подобных систем лежит понятие гиперболичности, которое подробно обсуждается в главе 7, 1. [c.116]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...