Преобразование степеней и корней

Преобразование степеней и корней. [c.64]

Окончательный выбор расчетных зависимостей отдельных блоков и их детализацию вплоть до элементарных расчетных операции удобно осуществлять с помощью операционных графов, в которых элементарные математические операции и функциональные преобразования образуют узлы, а направленные ветви соответствуют расчетным переменным по аналогии со структурными схемами. Общепринятая символика графов относится к линейным зависимостям, а в расчетах ЭМП используются нелинейные зависимости. Поэтому примем следующие нестандартные обозначения О — операция алгебраического сложения — нелинейная операция умножения 0 —операция деления 0 —нелинейная операция над переменной (возведение в степень, извлечение корня и т. п.) -нелинейная функция (функция) нескольких переменных. [c.126]

ПК ПА9 имеет встроенные средства вычисления других величин, получаемых путем математических преобразований значений фазовых и расчетных переменных, определяемых в моделировании. Для этого используют элементы, выполняющие основные математические операции сложение, умножение, возведение в степень, извлечение корня, вычисление алгебраических и тригонометрических функций, дифференцирование, интегрирование и др. Для математических преобразований величин на поле схемы размещают графические образы элементов соответствующих математических операций и соединяют их входы и выходы. [c.502]

Матрица vy этого преобразования и числа Гь которые получаются в результате, определяются методами линейной алгебры. Эти п чисел Г являются корнями алгебраического уравнения rt-й степени [c.237]

Динамическая теория решетки. Метод, предложенный для вычисления теплоемкости Борном и Карманом [6—8], основан на расчете действительного вида колебательного спектра при определенных предположениях о характере межатомных сил. Частоты собственных колебаний решетки вычисляются здесь как корни секулярного уравнения, получающегося из определителя преобразования к нормальным координатам. Степень такого уравнения есть 3. (5—число атомов в одной ячейке), а число уравнений равно числу ячеек. Поэтому все-таки для окончательного вычисления g(v) должны быть развиты соответствующие приближенные методы. Борн и Карман [8] использовали метод, в основном подобный тому, каким мы пользовались при выводе формул (5.1) и (5.2), и показали, что их результаты подтверждают закон Дебая для низких температур, согласно которому теплоемкость [c.320]

Хотя изложенные выше соображения для определения действительного корня уравнения любой степени должны быть справедливы и для уравнения третьей степени. Это последнее встречается настолько часто, что целесообразно познакомиться с таким способом, который позволяет найти первое (грубое) приближение искомого корня почти без всяких вычислений. Этот предлагаемый автором способ основан на одном простом алгебраическом преобразовании и двух давно известных геометрических приемах, которые можно было бы назвать графическими способами параболической и гиперболической интерполяции. С изложения этих вспомогательных приемов мы и начнем. [c.107]

Преобразования трёхчлена второй степени. Если Хх и Ха — корни трёхчлена ах + йх + с, то [c.103]

Пусть теперь первоначальные ряды /, д преобразования (2) будут действительными, т. е. пусть 5 действительно исследуем условия вещественности [/ и С. В гиперболическом случае Т тогда также вещественно так как Хр = 1, X ф 1, а. X я будут вещественными, то А заведомо не равно корню из единицы. Далее, из проведенного выше сравнения коэффициентов следует, что II и С также вещественны. Так как ы = А +. ..иА О, то можно единственным способом найти такой степенной ряд [c.214]

В уравнении с неизвестным у модули корней, соответствующих прежним корням с равными модулями, будут уже не равны между собой. Указанным выше способом найдем комплексные корни преобразованного уравнения и понизим его степень (см. пример 1) следовательно, в уравнении могут остаться лишь близкие или равные между собой вещественные корни, число и присутствие которых обнаружатся по изменениям коэффициентов при последовательных квадрнрованиях. [c.132]

Метод Лобачевского применяется к решению алгебраических уравнений и не требует предварительного отделения корней. Он даёт возможность находить все корни алгебраического уравнения, включая и комплексные. Основная идея метода Лобачевского заключается в преобразовании данного уравнения в другое, для которого корнями служат некоторые достаточно высокие степени корней данного уравнения. При этом преобразовании абсолютные величины корней нового уравнения оказываются настолько сильно отличающимися друг от друга, что в соотношениях между коэфициентами и корнями уравнения (стр. 105) меньшими из корней можно пренебречь и, таким образом, получить простые приближённые формулы для определения корней. [c.240]

Теорема 2. Ес.ги собственное число К эллиптического кано-нонического преобразования не является корнем из единицы степени s и меньше, то это преобразование приводится канонической заменой переменных к нормальной форме Биркгофа степени s с погрешностью в членах степени s - - и выше. [c.354]

В эллиптическом случае Л = 1, 7 1. Рассмотрим прежде всего тот частный случай, когда Л является корнем целой степени из единицы. Пусть Л = 1 и Л 1 (/с = 1,. .., 5 — 1), следовательно, Л будет примитивным д-м корнем из единицы и 5 > 2. Если мы рассмотрим 5 вместо б , то придем опять к параболическому случаю Л = // = 1. Но простое рассуждение показывает, что для преобразования 5 выпадают все члены степеней от второй до (5 — 2)-й, и в соответствии с этим только что упомянутый результат Леви-Чивита дает для 5 > 3 лишь тривиальное следствие. Иначе обстоит дело для 5 = 3 для этого случая Леви-Чивита также рассмотрел ограниченную задачу трех тел. Отображение, сохрапяюгцее объем, которое следует при этом рассматривать, было введено егце в конце в 22. Если обозначить период исходного решения через т = 2тт 1о , то будем иметь Л = и, в частности, для и = 3 получим также д = 3. Леви-Чивита определил квадратичные члены преобразования при и = 3 и установил, что соотношение, выражаюгцее условие устойчивости, пе вьшолпяется, и, следовательно, устойчивости здесь пе будет. [c.284]

Исходя из вышеизложенного, число мод движения тела как твердого целого, содержащихся в матрице жесткости элемента, можно определить, преобразуя матрицу жесткости к диагональному виду (к главным направлениям) число диагональных нулевых элементов равно числу указанных мод. Чтобы выполнить требуемое преобразование, найдем собственные векторы и соответствующие им собственные значения матрицы жесткости. С этой целью определим вначале характеристическое уравнение для матрицы [к]. Характеристическое уравнение для матрицы [к] есть алгебраическое уравнение, получающееся в результате раскрытия детерминанта к—(о11=0. Если [к] — матрица порядка пХп, то для со получается алгебраическое уравнение /г-й степени, а корни уравнения oi,. ... .., СО ,. .., со являются собственными значениями матрицы [к]. Собственный вектор, отвечающий собственному значенню СО , есть ненулевой вектор d , удовлетворяющий уравнению [k] di = da o,. [c.63]

Отличные от нуля решения системы уравнений (29) возможны лишь при определенных нормальных частотах oj, обращающих в нуль детерминант, образованный членами в квадратных скобках (29). Таких мод будет ровно Зге—6. Остальные 6 корней системы уравнений (29) равны нулю, поскольку трансляционные (3 степени свободы) и вращательные (еще 3 степени свободы) движения всех частиц как целого не сопровождаются появлением возвращающих сил. Это положение строго обосновывается в курсах аналитической механики (см., например, [164]), где доказывается, что при определенном выборе линейного преобразования координат в выранче-нии (27) исчезают смешанные произведения qlq) и остаются только Зге—6 квадратичных членов ( ) , здесь — новые координаты. При этом Зге уравнений движения (28) преобразуются в Зге—б уравнений для гармонических осцилляторов, имеющих Зге—б нормальных частот колебаний. Согласно квантовой механике дискретный энергетический спектр каждого осциллятора описывается формулой [c.39]

Следует добавить, что при определении корней характеристического уравнения и принадлежащих к каждому корню напряженных состояний систематически применяется разложение неизвестных по степеням малого параметра, т. е. относительной толщины. Конечно, это самый надежный метод исследования проблемы приведения, но, к сожалению, он применим только для весьма ограниченного класса задач. Например, при изучении распространения волн напряжения метод однородных решений применим без осложнений лишь при определенных краевых условиях, допускающих sin — os-интегральное преобразование по координате (У. К. Нигул, [c.262]

Подобным же образом, как и в только что приведенном примере, можно также показать [8], что суш ествует каноническая система дифференциальных уравнений с аналитической функцией Гамильтона Н, для которой вообще нет никаких сходящихся интегралов д(х, у), кроме самой Н и сходящихся степенных рядов относительно Н. В случае п = 2 для построения такой функции Н можно исходить опять из формул (18) и (19), но нри этом 1/q нужно заменить еще более быстро стремящейся к нулю функцией от q. Точнее, любую функцию Гамильтона с квадратичной частью i xiy + РХ2У2) произвольно малым изменением коэффициентов членов высших порядков можно превратить в такую, которая уже обладает указанным свойством, т. е. у которой отсутствуют другие сходящиеся интегралы. В связи с этим можно упомянуть теорему Пуанкаре [9]. В ней рассматриваются функции Гамильтона H z, 11), которые, кроме z, . .., Z2n, зависят еще от параметра , причем аналитически около точки = 0. Тогда теорема гласит, что при некоторых предположениях относительно H z, 0) и производной H z, 0), которые в общем случае вьшолнены, не существует других сходящихся степенных рядов по 2п + 1 переменным, . .., Z2n и /i, являющихся интегралами системы Гамильтона, соответствующей функции H(z, 11), кроме степенных рядов по самим Н ъ л. Однако в теореме Пуанкаре ничего не говорится о фиксированных значениях параметра jjL. Мы уже упоминали выше, что система Гамильтона в случае линейно независимых собственных значений Ai,. .., Л может приводиться к нормальной форме подстановкой, задаваемой расходящимся степенным рядом, если не существует п независимых сходящихся интегралов здесь мы построили такой пример. Теперь можно было бы думать, что множество чисто мнимых корней (f = 1,. .., гг), для которых преобразование в нормальную форму представлено расходящимися рядами, имеет п-мерную меру Лебега, равную нулю, как это было [c.280]

Ири замене (7) существенно, чтобы было д 4, так как иначе (т = 0. Но если предыдущее отображение б построить для д = 8, то собственные значения для 3 будут примитивными корнями четвертой степени из единицы, и оба преобразования будут, очевидно, одинаково вести себя в смысле устойчивости. Таким образом, показано, что для каждого собственного значения Л, являющегося корнем из единицы, существует сохраняющее объем отображение с собственными значениями Л, Л, которое будет неустойчивым. Данное отображение имеет и дополнительное свойство, а имеппо оно является алгебраическим. [c.287]

Стационарные решения этих уравнений могут быть найдены посредством несложных преобразований (упр. 19.7). Исследование их устойчивострг сводится к анализу корней уравнений третьей степени. Известно много методов анализа колебательного поведения таких систем [25], но в нашу задачу не входит рассмотрение в деталях поведения колебательных химических систем. Колебательные свойства этих уравнений можно без особого труда исследовать (рис. 19.8 и 19.9) численно с помощью программы Mathemati a (приложение 19.1). Для расчетов можно использовать следующие данные [25] [c.419]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...