Несобственная бесконечно удаленная прямая

Б. Если удаление концов отрезка, например точек М и N на рис. 2, в, от плоскости проекций равно удалению центра проецирования 5 от этой же плоскости, то проекцией отрезка будет бесконечно удаленная прямая, называемая несобственной прямой. j 2.3. Если точка принадлежит прямой, то и проекция точки принадлежит проекции прямой. Доказательство (см. рис. 2, а) прямая D и центр проецирования 5 образуют плоскость. Точка К принадлежит прямой D, следовательно, и плоскости S D. Проецирующий луч SK и проекция D также принадлежат этой плоскости, значит они пересекутся в точке К, принадлежащей проекции D прямой D. [c.10]

Так как каждая прямая этой плоскости имеет единственную несобственную точку, то она должна пересекать упомянутое геометрическое место в одной точке. Отсюда следует, что геометрическое место несобственных точек плоскости целесообразно считать прямой линией. Таким образом, на каждой плоскости будем иметь несобственную, или бесконечно удаленную, прямую. [c.23]

Рассмотрим далее две параллельные плоскости (Й Ф) (рис.12). Если в этих плоскостях проведем две какие-либо параллельные между собой прямые, то они пересекутся в несобственной точке. Последняя должна принадлежать как одной, так и другой из параллельных плоскостей. Поэтому мы можем сказать, что каждая несобственная точка одной из параллельных плоскостей принадлежит также и второй плоскости. Другими словами, данные параллельные плоскости имеют общую несобственную прямую. Следовательно, в евклидовом пространстве, дополненном несобственными точками, каждые две параллельные плоскости пересекаются по несобственной, или бесконечно удаленной, прямой линии. Совокупность плоскостей, параллельных какой-либо одной плоскости, будет иметь одну общую несобственную прямую. Таким образом, наряду с пучками плоскостей, имеющими собственную ось (совокупность плоскостей, проходящих через собственную прямую), в нашем пространстве появятся пучки плоскостей с несобственной осью (т. е. совокупность плоскостей, параллельных какой-либо одной плоскости). [c.23]

Пусть даны две плоскости Р я (рис. 154, а), пересекающиеся по прямой т, и центр проекций 8. Построим центральные проекции точек плоскости Р на плоскость Р . Точка А проецируется в точку А1, точка В - в точку В и т. д., прямая АВ в прямую А В . Однако центральное проецирование не обеспечивает полного взаимно однозначного точечного соответствия двух плоскостей например, для точки N1, расположенной на луче 5Л/ 1, параллельном плоскости Р, не существует соответственной точки на плоскости Р. Если же дополнить каждую прямую, принадлежащую плоскости Р, бесконечно удаленной (несобственной) точкой, а плоскость Р-бесконечно удаленной прямой, содержащей все несобственные точки плоскости, то соответствие между этими двумя плоскостями при центральном проецировании будет взаимно однозначным для любых точек. [c.118]

Совокупность бесконечно удаленных прямых всех пересекающихся плоскостей пространства представляет собой несобственную плоскость. В отличие от евклидовых, прямая, плоскость и пространство, имеющие в своем составе несобственные точку, прямую и плоскость, называются проективными. [c.10]

Введение дополнительных несобственных точек позволяет сделать следующее предложение параллельные прямые Una пересекаются в несобственной (бесконечно удаленной) точке Ai, а прямая Ih, параллельная прямой Ь, пересечет ее в несобственной точке Вк. В этом случае плоскость а будет однородной. [c.15]

Добиться однородности трехмерного евклидова пространства можно путем добавления к нему несобственных прямых (бесконечно удаленных прямых). Тогда плоскости а и б, как и плоскости р и е, пересекутся по несобственным прямым п , и Шоо (рис. 2). [c.15]

Если проецирующий луч некоторой точки D параллелен плоскости проекций, то он пересекается с плоскостью проекций в бесконечно удаленной точке da,. Эту точку называют несобственной. Каждая прямая пространства имеет единственную принадлежащую ей несобственную точку. Все параллельные между собой прямые пересекаются в одной несобственной точке. [c.10]

В случае, если дополнительная плоскость вертикальная, то точка ssi пересечения ее с вертикальной прямой центра проецирования является бесконечно удаленной (несобственной). В этом случае носители представятся вертикальными прямыми линиями. [c.96]

При удалении двух вершин пирамид в бесконечность прямая, проходящая через них, преобразуется в несобственную прямую. Положения бесконечно удаленных вершин определяются направлениями боковых ребер призмы соответственно. [c.120]

В дальнейшем изложении курса определенную роль будут играть точки, прямые линии и плоскость, бесконечно удаленные от нас, называемые несобственными. Понятие о задании этих элементов, их свойствах и проецировании поможет в будущем упростить некоторые доказательства или даже отказаться от них, сделать ряд обобщений. [c.9]

Из рис. 1 видно, что для того чтобы точка М не отличалась от остальных точек (А , С , D ) прямой а, достаточно потребовать, чтобы параллельные прямые /, и Ь пересекались при этом точку их пересечения М будем считать бесконечно удаленной несобственной точкой (в отличие от точек евклидова пространства, которые считаются собственными). [c.16]

Все сказанное о точке пересечения двух параллельных прямых должно быть распространено на любые две параллельные прямые пространства. Поэтому каждая прямая пространства будет иметь единственную принадлежащую ей несобственную точку. Такую точку называют также бесконечно удаленной точкой . Происхождение этого названия можно объяснить, рассматривая рис. 11. На чертеже мы видим, что по мере удаления точки-проекции М проектирующий луч образует постепенно уменьшающийся угол с прямой р. Чем ближе точка-оригинал М подходит к точке С, тем дальше находится проекция М этой точки от центра проекций. Поэтому при совпадении точки М с точкой С, т. е. когда мы получаем несобственную точку С прямой р в качестве проекции [c.22]

Заметим, что все прямые пространства, параллельные между собой, проходят через одну и ту же несобственную, или бесконечно удаленную, точку. [c.23]

Поскольку все прямые, имеющие одно и то же направление, т. е. параллельные между собой, пересекаются в бесконечно удаленной (несобственной) точке 5 , то цилиндрическую поверхность можно рассматривать как частный случай конической поверхности. При этом неподвижной точкой является бесконечно удаленная точка 5 образующей прямой. [c.220]

К понятиям бесконечно удаленных или несобственных точек и прямых мы будем обращаться неоднократно, например при изучении раздела перспектива . [c.118]

Линией схода плоскости является перспектива бесконечно удаленной, несобственной прямой данной плоскости. Она служит линией схода и всех других плоскостей, параллельных данной. [c.216]

Проекцию точки Е, если основываться на представлениях евклидовой геометрии, вовсе нельзя построить, так как проецирующая прямая 8Е параллельна плоскости П. Все такие точки образуют в совокупности плоскость а, параллельную плоскости П и называемую предельной плоскостью. Однако можно строить проекции точек и этой плоскости, если дополнить евклидово пространство бесконечно удаленными несобственными) элементами — точками, прямыми и плоскостью. Дополненное такими элементами пространство называется проективным. [c.7]

Совокупность бесконечно удаленных точек всех пересекающихся прямых, лежащих в проективной плоскости, образует несобственную прямую этой плоскости. [c.9]

Родство. Ось гомологии и ее центр могут быть как собственными, так и несобственными. Если ось гомологии — несобственная прямая, то гомологичные прямые друг другу параллельны (рис. 33, а). При несобственном центре взаимно параллельны двойные прямые гомологии (рис. 33, б) когда удалены в бесконечность и ось, и центр гомологии, параллельными между собой становятся как гомологичные прямые, так и двойные прямые (рис. 33, в). Если бесконечно удаленный центр гомологии лежит на вси гомологии, то двойные прямые становятся параллельными оси. Такая гомология [c.28]

Точку Р можно рассматривать как перспективу бесконечно удаленной точки прямых, перпендикулярных картинной плоскости, а точку дальности — как перспективу бесконечно удаленной точки горизонтальных прямых, наклоненных к картинной плоскости под углом 45°. Нетрудно видеть, чтэ точка схода прямых, параллельных основанию картины, является несобственной. Она совпадает со своей перспективой. [c.385]

Точки схода различно расположенных горизонтальных параллельных прямых расположены на горизонте, поэтому горизонт представляет собой перспективу совокупности несобственных точек горизонтальных плоскостей, или, иначе говоря, перспективу несобственной прямой горизонтальных плоскостей. Действительно, чем дальше от картинной плоскости расположена параллельная ей горизонтальная прямая (рис. 555), тем ближе к горизонту лежит ее перспектива. Перспектива каждой из таких прямых получена в результате построения линии пересечения с картинной плоскостью проецирующей плоскости, проведенной через данную прямую. По мере удаления прямых от картинной плоскости угол между предметной и проецирующей плоскостью уменьшается и в конечном счете становится равным нулю, иначе говоря, проецирующая плоскость становится параллельной предметной. Это происходит, когда проецирующая плоскость пересекается с предметной в бесконечности, а с картинной — по линии горизонта. Такая плоскость называется плоскостью горизонта. [c.385]

Источник света. Источником света могут быть Солнце, лампа, фонарь и др. Из-за большой удаленности Солнца от Земли принято считать, что солнечные лучи взаимно параллельны, а само Солнце представляет собой светящуюся, несобственную точку (см. /5/). Лампа или фонарь рассматриваются как собственные светящиеся точки. Лучи света в этом случае представляют собой связки пересекающихся прямых. В параллельных проекциях — ортогональных, с числовыми отметками и аксонометрии источник света принимается бесконечно удаленным, в перспективных проекциях возможны оба варианта расположения источника света. [c.235]

НЕСОБСТВЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. В эвклидовом пространстве все элементы его имеют только собственные точки, а в проективном простраь стве существуют еще несобственные бесконечно удаленные точки. К-аждая прямая имеет одну несобственную точку, которая одновременно принадлежит и всем прямым, параллельным данной. Каждая плоскость имеет одну несобственную прямую, которая принадлежит и всем плоскостям, парал- [c.69]

Проецирующая прямая (8В) образует с линией / угол ф. Чем дальше по прямой точка В будет удаляться от плсйкости П, тем меньше будет угол ф. В пределе угол ф будет стремиться к нулю. Если на прямой / взять бесконечно удаленную точку 1 , то проецирующий луч (5Ь ) станет параллельным (в понятии геометрии Евклида) прямой / и перюсечет плоскость П в точке Е . Следовательно, Ь - центральная проекция бесконечно удаленной точки Е прямой /, а отсюда следует, что Е = / П(5Е а,), т.е. параллельные прямые / и пересекаются в бесконечно удаленной точке Е . Точка Е называется несобственной точкой. Это противоречит аксиоме Евклида, которая утверждает, что параллельные прямые не пересекаются. [c.23]

Имея А В и Л[В[, можно определить две характерные точки прямой перспективу / бесконечно удаленной (несобственной) точки F и начало прямой N (началом прямой принято называть точку пересечения прямой с картиной). Вторичная проекция первой из них (точка F, ). цолжна быи, иа линии горизонта, а второй на основании картины (точка Л/, ). Проведя через F, всрш-кальпую прямую до пересечения с А В пол>-чим перспективу F бесконечно удаленной точки прямой. В этой точке с картиной пересече1ся проецирующий луч, направленный в бесконечно удаленную точку данной прямой А В (параллель-1П.1Й АВ). Перпендикуляр к основанию О О картины, проходящий через N,. пересекаясь с А В, определяет начало прямой (точку N ) [c.162]

Операцию центрального проецирования мы рассматривали в геометрическом пространстве, которое изучается в элементарной геометрии. Это пространство называется евклидовым по имени великого греческого геометра Евклида, изложившего основные его свойства и 3aK0H0 viepH0 TH (Евклид Начала , 3 в. до н. э.). В евклидовом пространстве параллельные прямые не пересекаются. Условимся считать параллельные прямые пересекающимися в бесконечно удаленной (несобственной) точке. Рассмотрим множество прямых, принадлежащих одной плоскости. На каждой из прямых имеется теперь несоб- [c.10]

Две прямые линии пересекаются в точке. Согласно законам элементарной геометрии две параллельные прямые не пересекаются, но иногда их можно считать пересекающимися в бесконечности. Бесконечно удаленные точки на.чывают несобственными . [c.61]

По теории много.мерной геометрии две плоскости в четырех-мериом пространстве могут быть параллельными и полупарал-лельиыми. В первом случае они находятся в одной гиперплоскости и пересекаются по бесконечно удале1П10Й (несобственной) прямой, во втором — не лежат в одной гиперплоскости н имеют только одну бесконечно удаленную несобственную точку. Когда трехмерный куб с его тремя координатными осями ОХ, 0Y н 02, перемещаясь в направлении четвертой оси ОТ, перейдет в четырех.мерное пространство, он останется и в трехмерном пространстве, т. е. в прежней гиперплоскости. [c.65]

У параллельных плоскостей -у и fipn этих условиях будет только одна общая бесконечно удаленная (несобственная) точка, а не прямая. [c.66]

Если, как было условлено, дополним каждую прямую несобственной точкой, а каждую плоскость — несобственной прямой, то получим все множество несобственных элементов пространства. Рассматривая последнее как геометрическое место точек, видим, что это геометрическое место имеет с каждой прямой одну общую точку и с каждой плоскостью — одну общую прямую. Поэтому естественно считать геометрическое место несобственных точек пространства несобственной, или бесконечно удаленной, плоскостью. [c.24]

Таким образом, точечное соответствие, установленное с помощью центрального проецирования, обладает существенными нарушениями, без устранения которых применение метода центральных проекций невозможно. Это нарушение можно устранить, если дополнить каждую прямую бесконечно удаленной или несобственной точкой. Тогда можно считать, что параллельные прямые пересекаются в бесконечно удаленной, несобственной точке С . Собственными элементами приня- [c.210]

Несобственные элементы проективного пространства. Проведем проецирующую прямую SF , параллельную прямой AD. В точке она пересекается с плоскостью П. Точка с позиций евклидовой геометрии не является проекцией какой-либо точки прямой AD, так как прямые SF x, и AD параллельны. Представим себе, что проецирующая прямая SD скользит по прямой AD, проходя все время через точку S. По мере приближения точки D к точке точка D будет неограниченно удаляться отточки = O и в пределе уйдет в бесконечность. Это произойдет, когда точки В я Fa, совпадут. Следовательно, точку можно рассматривать как проекцию бесконечно удаленной точки Рсо, принадлежащей прямой AD. Таким образом, на каждой прямой, кроме обычных, собственных, точек, есть одна, особая, бесконечно удаленная, или несобственная, точка, которую при дальнейших геометрических построениях мы ни в чем не будем отличать от остальных точек прямой. [c.8]

Начертательная геометрия, в равной мере как и другие науки, использует ряд понятий, для которых легко найти аналогию в повседневной жизни. Так, понятия параллельность или пересечение не вызывают никаких сомнений, так как легко представить себе, например, параллельные прямые (натянутые проволоки) или пересечение прямой с плоскостью (труба, проходящая через отверстие в стене) и т. д. Однако понятия бесконечно больишя или бесконечно удаленная не соответствуют привычным представлениям, из-за чего их осмысливание на первых порах происходит с трудом. Введенные нами несобственные точки, прямые и плоскость следует принять, не пытаясь вначале искать аналогии, раскрывающие их смысл. Можно привести много примеров того, как понятия, вначале трудно воспринимаемые, с течением времени становятся привычными. Например, принятые вначале как должное представления о том, что линия и поверхность не имеют толщины, что точка не имеет никаких измерений, становятся в процессе изучения элементарной геометрии привычными и не требуют пояснений. В последующем, в связи с изучением других разделов начертательной геометрии и курса высшей математики бесконечно удаленные элементы проективного пространства станут такими же привычными, как и те, что заимствованы из повседневной жизни. [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...