Варьированная траектория

Одновременно со сказанным можно добавить, что данную задачу вообще можно было рассматривать без введенных дополнительных условий. Действительно, функционал / определен на отрезке линии фиксированной длины. Варьирование траектории изменяет величину подынтегрального выражения на элементе длины, однако, поскольку интервал интегрирования остается прежним, то получаем задачу с подвижными концами при закрепленных абсциссах . [c.204]

Как мы уже говорили, б-вариация соответствует виртуальным перемещениям системы, т. е. таким перемещениям, при которых время t оставляют неизменным, а координаты варьируют в соответствии со связями, наложенными на систему. Такое перемещение не всегда принадлежит к числу перемещений, которые могут иметь место при движении системы. Это будет, например, в случае связей, зависящих от времени. Поэтому движение, получающееся в результате б-вариации, может быть таким, что гамильтониан его не будет постоянным. В противоположность б-вариации полная вариация Д связана с перемещениями, которые обусловлены не только варьированием траектории, но и изменением времени t. Поэтому траектория, образующаяся при Д-вариации, состоит из точек, получающихся в результате перемещений, обусловленных также дифференциалами времени. Вследствие этого мы можем потребовать, чтобы движения, получающиеся при Л-вариациях, были физически возможными, для чего можно потребовать, чтобы И было постоям- [c.253]

Рис. 51 дает символическое трехмерное представление взаимного положения истинной траектории системы (сплошная кривая) и ее виртуальной траектории (пунктирная кривая) слагающееся из совокупности всех Sx смещение Sq должно быть вполне произвольным вдоль всей траектории, за исключением начальной и конечной точек, и должно представлять собой непрерывную и дифференцируемую функцию от причем каждые две соответственные точки действительной и варьированной траектории, связанные между собой вариацией Sq относятся к одному и тому же моменту времени t. [c.243]

Рис. 54. Вариация траектории в принципе Мопертюи. Ввиду того что энергия не варьируется, точка q исходной траектории и точка q + Sq варьированной траектории относятся к различным временам t VL t - - St. Конечной точке Р соответствует на варьированной траектории точка Q

Чтобы наглядно представить себе сущность изменений, внесенных условием (37.3), вспомним рис. 51. На этом рисунке две точки, связанные друг с другом вариацией 8q соответствуют одному и тому же моменту времени t. Теперь это не так время в варьированной точке равно не а t- -St (ср. рис. 54). Поэтому варьированная траектория достигает конечной точки Р не в момент = i, а в данном случае, согласно рис. 54, в более поздний момент времени. Точке Q нашей варьированной траектории, относящейся к моменту времени = i, на исходной траектории соответствует более ранний момент времени t — 8t. [c.273]

Если теперь А, А будут начальное и конечное положения точки т на ее первоначальной траектории. В, В — варьированные начальное и конечное положения, а а, а -—положения на варьированной траектории соответственно в моменты времени t, t, то мы имеем векторные равенства [c.273]

Если траектория между этими крайними точками несколько варьирована, то мы должны принять, что между точкой Р первоначальной траектории и точкой Р на варьированной траектории установлено некоторое соответствие, например, мы можем рассматривать дугу АР как некоторую функцию от дуги АР (= s) конечно, соответствие должно быть таким, чтобы точка Р совпадала с В, когда с этой же точкой в совпадает и Р. Пусть символ 8 обозначает результат п рехода с одной траектории в соответствующую точку другой, тогда [c.287]

Чтобы показать, что операции d vt Ь коммутативны, обозначим через PQ (= ds) элемент первоначальной траектории, а через P Q ( = 8 fs) соответствующий элемент варьированной траектории. Как очевидное векторное равенство мы имеем [c.288]

В равенстве (6.11) при варьировании траектории принимались во внимание вариации при постоянном I, [c.76]

Здесь б обозначает перемещение из точки действительной траектории в точку варьированной траектории, соответствующую тому же моменту времени, так что [c.90]

Рассмотрим траекторию изображающей точки в пространстве q и выразим принцип Гамильтона вместо переменных х в переменных д. Строим варьированный путь, выбирая в каждый момент времени виртуальное перемещение bq и получая точку на варьированной траектории, соответствующую этому моменту времени. Это виртуальное перемещение произвольно, за исключением того условия, что каждая вариация б г представляется функцией времени класса Сг, обращающейся в нуль в моменты to и ty. Поскольку вариация синхронна, [c.90]

В этом заключается принцип наименьшего действия. Таким образом, для истинной траектории действие имеет стационарное значение по сравнению с его значениями на варьированных траекториях с теми же концевыми точками (в д-пространстве) и той же энергией. [c.545]

Но эти последние уравнения получаются из уравнений связей, если дифференциалы координат заменить вариациями координат эти уравнения, следовательно, соответствуют верному требованию, чтобы вариации положений были виртуальными перемещениями. Теперь выясняется, почему точка зрения Герца на принципы Мопертюи и Гамильтона внесла ограничение голо-номными системами. Именно, Герц принимает варьированную траекторию за возможную, т. е. за такую, которая удовлетворяет тем же условиям, что и действительная траектория ). [c.550]

Но если мы хотим варьировать так, чтобы варьированная траектория удовлетворяла тем же условиям, что и первоначальная, то уравнение (13) должно иметь силу для двух малых, соответствующих одна другой частей обеих траекторий. Вычитая полученные таким образом уравнения, получаем [c.551]

В последнем случае мы встречаемся с варьированием совсем особого рода, с варьированием траектории в самое себя, что соответствует варьированию, примененному в 5. Но уравнение (15) допускает более общий вид решения. Точно так же уравнению (17), т. е. ) уравнению [c.552]

Если сначала считать вариации конечными и если варьированная траектория должна удовлетворять тому же условию (13), что и первоначальная, то это попросту означало бы существование уравнения [c.552]

Составим теперь то же самое уравнение, но при другой точке зрения на варьирование. Мы теперь не будем больше требовать, чтобы вариации положений были виртуальными перемещениями, но мы потребуем, чтобы варьированная траектория удовлетворяла тому же самому дифференциальному уравнению (13), которому мы подчиняем траекторию, подлежащую варьированию. Теперь перед нами стоит совсем другая задача вариационного исчисления, из которой, вообще говоря, не вытекают действительные траектории материальной точки. В этой задаче вариации следует подчинить условию (17), т. е. уравнению [c.554]

Применим теперь принцип Гамильтона ко всем варьированным траекториям, которые переводят систему из начального состояния А в конечное состояние В и которые соответствуют определенному значению энергии Поскольку tl и 2 — константы, можно написать [c.654]

То же уравнение можно получить и при другом определении варьирования. Требование, чтобы вариации положений были виртуальными перемещениями, теперь устраняется. Вместо него выдвигается требование, чтобы варьированная траектория подчинялась тому же уравнению [c.839]

Так как О > О, а Аф < О, то остается определить знак р для описанных выше способов варьирования траектории. Выразив из (4.2) р через р и, как и ранее, опустив индекс с , найдем, что теперь [c.323]

Упомянутую последовательность решений задачи теории упругости можно получить формальным варьированием траектории трещины и ее длины. [c.31]

В интеграле (8.1) дифференциал (1з не является полным (в механике СТО время не считается независимым, поскольку связано с пространственными координатами), поэтому при варьировании траектории (по 5) пределы интегрирования Р1 и Р2 будут меняться. Лля устранения этого недостатка вводят независимый параметр Л такой, чтобы его значения Л1 = А(Р1) и Л2 = КР2) были фиксированными. Имеем тогда [c.239]

Применение в принципе Гамильтона малых вариаций для координат и скоростей соответствует предположению, что варьированные траектории находятся в окрестности первого порядка или, иначе, слабой окрестности траектории действительного движения [127. Действительное и варьированное состояния сравниваются в одни и те же моменты времени, т.е. изохронно. [c.31]

Траектории действительного движения и варьированные траектории ( окольные пути ) сравниваются при одинаковых начальных и одинаковых конечных положениях (см. (26)) на фиксированном промежутке времени, что не позволяет считать обоснованным применение уравнений движения (27) (а также (29) и (31)), полученных с помощью интегрального принципа, для определения ускорений в моменты времени 0 и 1. В противном случае возникает вопрос являются ли условия фиксированности начального и конечного положений связями, из которых следуют уравнения (26) для виртуальных перемещений, и не требуется ли рассматривать их реализацию с помощью реакций Иначе говоря, является ли область интегрирования, в которой вычисляется действие, замкнутой или открытой При применении общего уравнения динамики (15) этот вопрос не возникает, так как виртуальные перемещения на концах временного промежутка могут быть любыми из множества, определяемого ограничениями, в том числе и не равными нулю. Однако в отличие от силовой механики , действие применяется и при рещении проблем квантования, связанных с проблемой краевых условий. Эти проблемы существуют в механике, математике и физике (вообще в естествознании). [c.32]

Вариация обобщенной скорости 130 Варьированная траектория 128 Ветчинкин 12 [c.393]

Из предположения о независимости локальных инвариантов как в смысле соблюдения соответствующих локальных законов, так и сохранения значений физических констант) при калибровке их посредством любых приемлемых процедур макроскопического характера, например используем диаграммы деформирования или ползучести. Это принципиальное по своему содержанию положение является ключевым, так как в результате его справедливости можно гарантировать работоспособность теории в условиях широкого варьирования траекторий нагружения в пространстве напряжений или деформаций режимов температурного, скоростного, силового, деформационного и других воздействий. [c.13]

Рис. 13. Варьирование траектории в пространстве кон )игураций.

Асинхронное варьирование. Принцип Гёльдера ). В принципе Гамильтона операция варьирования производилась для одного и того же момента времени точке Р (в -пространстве) на действительной траектории в момент t ставилась в соответствие точка Р на варьированной траектории соответствующая тому же самому моменту времени. Это было возможно, так как в принципе Гамильтона задаются не только концевые точки, но и соответствующие им моменты времени, так что движение по исходному и варьированному путям совершается за одно и то же время. Теперь мы рассмотрим случай, когда точке q на исходной траектории, соответствующей положению системы в момент t, ставится в соответствие точка g + на варьированной траектории, характеризующей положение системы в момент t + Будем предполагать, что вариации 6 i, 6q2, , 6g , 8t являются функциями времени, принадлежащими к классу Сг. [c.534]

Рассмотрим теперь траекторию системы в дг-прострапстве и варьированный путь. Точке q на исходной траектории в момент t поставим в соответствие точку g + бд па варьированной траектории в момент t -f bt. Вычис- [c.536]

См. Voss, Math. Ann., т. 25, стр. 280. Если рассматривать варьированную траекторию как расположенную в развертывающейся поверхности а предыдущего параграфа, то условие O ds дает действительную траекторию как геодезическую линию поверхности а в обычном смысле слова. Но тем самым мы сейчас же приходим к геометрическому свойству, высказанному в тексте. [c.554]

Таким образом, Слудский и Талызин показали, что принцип наименьшего действия Лагранжа и пр11нцип Гамильтона — Остроградского существенно различны. В последнем принципе точке действительной траектории соответствует точка на варьированной траектории, причем обе точки проходятся в один и тот же момент времени, т. е. [c.219]

Информацию, необходимую для построения при р ф О или So ф onst концевых участков оптимальной траектории в схемах рис. 1, и г, получим, как упоминалось, методом неопределенного контрольного контура (МНК). Для этого, согласно (1.9), выразим А через интеграл по пока неопределенному, по фиксированному контрольному контуру alf. Интеграл по части контура, лежащей ниже (7 -характеристик или ас, при варьировании траектории не изменяется. Поэтому при решении вариационной задачи важен лишь его отрезок If. Если If в плоскости 0ж задать уравнением х = х(ф) и его следствием х = х (ф) то для А с учетом сказанного получим [c.325]

Выберем далее в качестве меры механического движения функционал 8н, называемый действием по Гамильтону. Выведем вариационный принцип Гамильтона из уравнения гинерреактивного движения материальной точки переменной массы и установим экстремальные свойства действия 8н для реально происходящих движений. Будем при этом пользоваться известными понятиями и конструкциями вариационного анализа при синхронном варьировании траекторий [413]. [c.178]

Принцип Гамильтона, рассматриваемый как вариационный принцип стационарного действия, справедлив только для голономных систем. Невозможность непосредственного распространения интегральных принципов, установленных для голономных систем, на неголоном-ные системы была отмечена ещё Герцем [27]. Он обратил внимание на то, что не всякие две точки конфигурационного пространства могут быть соединены траекторией системы с неинтегрируемой дифференциальной связью. Первым, кто предложил интегральный принцип, пригодный для неголономных систем, по-видимому, был Гёльдер его принцип имеет форму интегрального равенства, не являющегося условием стационарности функционала он был получен при предположении перестановочности операций d w 5 (см. заметку 16). При этом, во-первых, варьированные траектории не удовлетворяют уравнениям неголономных связей, и во-вторых, уравнения движения неголономной системы не совпадают с уравнениями Эйлера вариационной задачи Лагранжа. Обсуждению этих двух вопросов посвящена обширная литература с начала двадцатого века и до настоящего времени. Приведём некоторые результаты [101. [c.142]

Наложим дополнительные ограничения на варации Ьг . Чтобы представить геометрически эти ограничения, рассмотрим движение системы в 5-мерном пространстве конфигураций. Действительному движению системы соответствует некоторая линия ( траектория системы ), проходящая через две заданные точки Л и . Точка А соответствует конфигурации системы в момент и, точка Е — конфигурации системы в момент Метод синхронного варьирования, разъясненный нами выше, есть не что иное, как строго определенная процедура проб. Мы слегка изменяем истинную траекторию системы в пространстве конфигураций и сравниваем величины действия, по Гамильтону, на истинной и варьированной траектории. Мы будем считать далее, что действительная и варьированная траектории ( трубка траекторий сравнения) проходят через заданные начальную А и конечную Е точки в пространстве конфигураций и, следовательно, время движения системы от Л до для всего пучка (множества) траекторий сравнения остается одним и тем же. Фиксация точек Л и в пространстве конфигураций означает также, что вариации координат системы в положениях А и В равны [c.127]

Для пояснения способа выбора траекторий сравнения при синхронном варьировании рассмотрим случай одной материальной точки, движущейся по идеально гладкой, стационарной неосвобождающей поверхности. В этом случае и действительная траектория и варьированные траектории будут лежать на заданной поверхности (фиг. 23) и точка должна пробегать соответствующие дуги на истинной траектории и траекториях сравнения за одно и то же время. Множество всех трактерий срав- [c.128]

При осуществлении полной вариации, когда учитывается изменение времени 1, можно всегда требовать, чтобы движения по истинной траектории и траектории сравнения выполнялись при 7-1-1/=сопз1, т, е пучок траекторий сравнения можно физически реализовать. Время движения вдоль изоэнергетических траекторий между соответственно выбранными конфигурациями может и не сохраняться, так как требование изоэнергетичности может в ряде случаев приводить к ускорению или замедлению движения по траекториям сравнения в пространстве конфигураций (координаты действительной и варьированных траекторий различны, следовательно, в общем случае будут различны и скорости). При полной вариации или Д-вариации время варьируется и на концах траекторий сравнения (т. е. МФО при 1=1 А, г = й), но полные вариации обобщенных координат в конечных точках пучка траекторий сравнения равны нулю. [c.137]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...