Элементы высшего порядка

При соединении простейших элементов конструкций в элемент высшего порядка (например, при компоновке машины из отдельных деталей и узлов) относительные положения простейших элементов определяются взаимным положением некоторых их поверхностей или линий (осей) и точек. Условимся называть эти поверхности, линии и точки базами элементов конструкций. [c.61]

Плоские изопараметрические элементы высших порядков [c.169]

Таким образом, для конечных элементов высших порядков формулы (5.99) и (5.100) следует заменить формулами [c.197]

В конце гл. 6 мы упомянули, что прямой метод граничных интегралов легко совершенствуется с помощью численных аппроксимаций, включающих элементы высшего порядка . Как иллюстрацию формулировки метода с элементами высшего порядка рассмотрим случай, в котором предполагается, что фактические смещения и усилия между узловыми точками N прямолинейных сегментов на контуре С изменяются линейно. Преимущество в использовании прямолинейных граничных сегментов (отрезков) состоит в том, что для них все интегралы можно вычислить аналитически [35]. Если допускается криволинейность сегментов, интегрирование в общем случае должно выполняться численно [28]. [c.138]

Как иллюстрацию применения элементов высшего порядка рассмотрим вновь задачу о круглом диске радиуса R, нагруженном [c.150]

На рис. 7.6 представлены результаты сравнения приближенного и точного распределения напряжений и а у в диске вдоль оси у. Численные результаты даны как для обычного прямого метода граничных интегралов, так и для прямого метода граничных интегралов, основанного на элементах высшего порядка и описанного в этом параграфе. Как видно из рисунка, в данном частном случае применение кусочно-линейной аппроксимации смещений и усилий вдоль границы приводит лишь к небольшому повышению точности. [c.151]

На рис. 7.8 для центральной части балки приведены расчетные значения напряжений изгиба и решение, полученное по элементарной теории балок. В этом случае прямой метод граничных интегралов, основанный на элементах высшего порядка, дает существенно более точные результаты, чем любой другой метод, [c.152]

В целом элементы высшего порядка обеспечивают и другие преимущества. Одно из них состоит в том, что смеш,ения и напряжения во внутренних точках рассматриваемой области вблизи границы можно вычислить более точно, чем при использовании обычных методов граничных элементов, рассмотренных ранее. Например, в прямом методе граничных интегралов с кусочно-постоянными смещениями и усилиями на границе (гл. 6) численное решение обычно ненадежно в точках внутри круга радиуса, равного длине одного элемента, и с центром в средней точке граничного элемента, за исключением самой этой точки. Если смещения и усилия между граничными узлами изменяются по линейному закону (как принято в этом разделе), получаемое решение оказывается надежным вплоть до расстояний, составляющих по крайней мере одну десятую часть расстояния между узлами (ср. [35]). Вместе с тем, как отмечено ранее, линейные изменения смещений между двумя соседними граничными узлами вызывают постоянные тангенциальные деформации (и, следовательно, постоянные касательные напряжения) между этими узлами. Если принять квадратичное изменение граничных смещений и усилий, то можно получить более детальное распределение тангенциальных напряжений вдоль границы (см. [5]). [c.154]

Другое преимущество метода граничных элементов высшего порядка состоит в том, что он обеспечивает большую гибкость при дискретизации границы. В рамках упрощенного метода граничных элементов для того, чтобы избежать неверных результатов при дискретизации какой-либо одной стороны границы, обычно рекомендуется использовать элементы одинаковых размеров. В методе, основанном на элементах высшего порядка, для получения более точного решения в областях с высокой концентрацией напряжений можно зачастую использовать неравномерное расположение узловых точек. Это в значительной мере подобно сгущению сетки, применяемому в методе конечных элементов для таких областей. [c.154]

Понятно, что это та ситуация, которая требует построения элементов с разрывами смеш,ений высшего порядка, быть может, подобных элементам с линейным изменением между узлами, описанными в предыдущем параграфе. Однако можно показать, что напряжения в узле между двумя элементами с разрывом смещений оказываются неопределенными, если только не остаются непрерывными в этом узле как функция, описывающая разрыв смещений, так и ее производная по направлению трещины. Другими словами, наклон разрыва смещений также должен быть непрерывной функцией. Если для каждого элемента задать линейное изменение разрыва смещений, то наклоны в узлах будут резко изменяться и напряжения в этих точках окажутся сингулярными. Простейший элемент еще более высокого порядка, который можно использовать, имеет квадратичное изменение разрывов смещений и должен удовлетворять ограничению, состоящему в требовании, чтобы наклоны разрывов смещений были равны в узлах смежных элементов, Мы не будем обсуждать этот метод детально, поскольку квадратичные элементы ведут только к частичному улучшению численного решения задачи о трещине под воздействием внутреннего давления. Вместо этого рассмотрим специальные элементы высшего порядка, которые учитывают природу сингулярности напряжений в конце трещины. [c.155]

На рис. 7.10 приведены значения вычисленные тремя различными способами с использованием обычных элементов разрыва смещений, с применением специальных концевых элементов в каждом из концов трещины и с использованием элементов высшего порядка с квадратичным изменением разрыва смещений, упоминавшимся в начале этого параграфа. Связь между энергией дефор- [c.159]

В предыдущих главах мы рассматривали задачи, которые были достаточно хорошо определены геометрия, свойства материала и граничные условия были всегда точно известны. Методы граничных элементов использовались при этом как инструменты для вычисления распределений и концентраций напряжений (например, у концов трещин) с той точностью, какая была возможна. В некоторых задачах для оценки или улучшения точности строилось несколько решений (с помощью использования большего числа элементов или элементов высшего порядка). [c.198]

К этому нужно добавить уже упоминавшуюся легкость восприятия МКЭ инженерами, его привычность, высокий уровень численного развития и хорошую оснащенность коммерческими программами (в том числе программами с элементами высших порядков). [c.272]

Элементы высшего порядка 114—115, 136, 138—160 [c.326]

При составлении схем сборочного состава изделия каждая деталь и сборочная единица обозначаются прямоугольником, разделенным на несколько частей, внутри которых проставляются индекс сборочного элемента, его наименование и количество элементов, необходимое для сборки элемента высшего порядка. [c.44]

За базу, как правило, принимается геометрический элемент высшего порядка. В нашем случае принято считать, что задана точка относительно плоскости, а не наоборот. [c.109]

Рис. 3.7. Прямоугольные элементы высших порядков а — второго порядка б — третьего порядка (узловые переменные — значения функции) в — третьего порядка (узловые переменные — значения функции и ее производных)

Замечания о других элементах высших порядков. Наиболее широко конечноэлементные модели высших порядков использовались в связи с приложениями к задачам изгиба тонких пластин и оболочек. При использовании теорий, основанных на гипотезах Кирхгофа — Лява, деформации элемента пластины или оболочки описываются полем перемещений точек срединной поверхности и первыми производными этого поля. Вследствие этого для непрерывности всего поля перемещений требуется не только непрерывность перемещений срединной поверхности, но и непрерывность первых частных производных Это в совокупности с требованием, что модель должна обеспечивать возможность описания случая постоянных кривизн ), приводит к значительным трудностям построения соответственных конечных элементов ). Эти трудности — один из многочисленных примеров того, как упрощающие предположения (например, гипотезы Кирхгофа — Лява, предположение о несжимаемости и т. д.), предназначавшиеся первоначально для того, чтобы облегчить применения теории, существенно усложняют построение удобных конечноэлементных моделей. Практически очень часто при использовании более фундаментальной (неупрощенной) теории проще строить приемлемые конечноэлементные модели. [c.164]

Свяжем теперь секториальную площадь с координатами х, у в сечении. Пусть начало координат совпадает с полюсом (рис. 377), Очевидно, с точностью до бесконечно малых высшего порядка элемент секториальной площади равен разности удвоенных площадей треугольников РАС и РВС, т. е. [c.330]

При сравнении различных диспергирующих элементов следует учитывать, что призма в отличие от дифракционной решетки дает всего один спектр, поэтому не требуется отделения спектров высших порядков. Это облегчает эксперимент и в некоторых случаях позволяет более эффективно исследовать малые световые потоки. Однако здесь возникает весьма сложный вопрос о светосиле спектральных приборов. Ее оценки требуют дополнительного исследования и обоснования. Эту важную характеристику спектрального прибора мы рассмотрим весьма кратко. [c.325]

Геометрические образы высших порядков. Свободный плоскостной элемент [c.30]

В предыдущих параграфах мы рассмотрели простейшие геометрические образы — точку и вектор. Образы высших порядков являются системами простейших геометрических образов. В этом параграфе мы рассмотрим один из таких образов — свободный плоскостной элемент. [c.30]

Относительные удлинения элементов длины вдоль направлений главных осей тензора деформации (в данной точке) равны теперь с точностью до величин высших порядков [c.12]

Отметим, что при исследовании напряженного состояния в точке мы пренебрегли весьма малыми различиями напряжений на бесконечно близко расположенных параллельных площадках, а также объемными силами как малыми высшего порядка. Рассматривая равновесие элемента, эти малые усилия нужно учитывать. [c.190]

При рассмотрении условий равновесия малой треугольной призмы объемными силами можно пренебречь как величинами высшего порядка малости. Подобным образом, если вырезанный элемент очень мал, можно пренебречь изменениями напряжений по граням и предположить, что напряжения распределены равномерно. Тогда силы, действующие на треугольную призму, можно определить путем умножения компонент напряжений на площади граней. Пусть N — направление нормали к плоскости ВС, а косинусы углов между нормалью N и осями х и у обозначаются следующим образом [c.36]

Следует отметить, что приложенная к элементу объемная сила, которой мы пренебрегали как малой величиной высшего порядка при рассмотрении тетраэдра (рис. 126), теперь должна приниматься в расчет, так как она имеет тот же порядок, что и рассматри- [c.245]

Косинусы же углов, образуемых после деформации линейным элементом 2 с осями X, у, 2, мы найдем из уравнений (7) десятой лекции, опираясь на уравнения (27а) одиннадцатой лекции (в которых надо подставить и, V, ю вместо т , если пренебрежем величинами высшего порядка малости по сравнению с выражениями расширений [c.373]

В описанной процедуре предполагалось, что пбрядок аппроксимации напряжений в пределах каждого конечного элемента соответствует порядку аппроксимации перемещений, т. е. в (5.93) используются те же функции которые фигурируют в матрице а. Такой подход дает более или менее удовлетворительные результаты лишь для конечных элементов первого порядка. Но для элементов высших порядков наиболее эффективная процедура получается в том случае [36], если в (5.93) вместо г )г берут функции гу соответствующие конечному элементу, на один порядок ниже данного. При этом число узлов, в которых вычисляются напряжения 5г, не совпадает с числом узлов, в которых определяются перемещения. [c.196]

Для идеализации одной и той же конструкции могут быть использованы различные конечные элементы. Выбор во многом определяется той библиотекой конечных элементов, которая имеется в данной программе большую роль играют знания и опыт расчетчика. В настоящее время широкое применение получили конечные элементы изопараметрического типа, позволяющие легко моделировать тела с криволинейными границами именно поэтому в данной книге им уделено большое внимание. При работе с ними приходится решать вопрос о том, какие элементы лучше взять — простейшие элементы первого порядка или же более сложные многоузловые элементы высших порядков. Здесь следует иметь в виду, что элементы первого порядка позволяют получить достаточно точные значения напряжений лишь в центральной точке, но не в узлах. Поэтому область эффективного применения элементов первого порядка ограничивается, как правило, такими задачами, в которых градиенты напряжений не слишком велики (например, расчет крыла самолета без вырезов). [c.388]

Время расчета для программы BINTEQ было порядка 1 ч по сравнению с 11 мин, требуемыми для программы BASQUE, это убедительно доказывает преимущества моделирования с использованием дискретных элементов высшего порядка. [c.239]

TWOBI. На рис. 7.5 изображена гранично-элементная сетка, использованная при анализе. Она покрывает четверть границы и содержит 25 элементов (длиной я7 /50) и 26 узловых точек. Из рисунка видно, что усилия в узловой точке 2 терпят разрыв (i i)i = —Р sin (я/50), ( 1 = —р OS (я/50), но (ё)а = О и (фч = = 0. Преимущество метода граничных элементов высшего порядка состоит в том, что разрывы усилий такого рода можно моделировать непосредственно из (7.2.12) видно, что с каждой узловой точкой связаны два значения каждой компоненты усилия и эти значения не обязаны быть одинаковыми. [c.151]

Рикарделла [35 ] и Круз [18 1 полагают, что преимущества подхода, использующего элементы высшего порядка, более отчетливо проявляются в задачах изгиба. На рис. 7.7 показан пример свободно опертой балки, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки. Балка имеет единичную толщину и отношение длины к высоте 10 1. На рисунке изображена гранично- [c.151]

Укажите, как можно получить четырехугольный элемент д.пя тела вращения, применяя численное интегрирование. ОбосЕ1уйте кратко возможность перехода к изопараметрическим элементам высшего порядка. [c.182]

Примеры элементов высших порядков. В большинстве приложений, рассматриваемых в последующих параграфах, мы ограничиваемся копечноэлементными представлениями первого порядка. Однако для полноты картины приведем ряд примеров конечноэлементных представлений высших порядков ). [c.160]

Ряд примеров элементов высших порядков был рассмотрен Фелиппой [1966], который классифицировал их по признаку С-дг-совместимости . По этой классификации элемент относится к С-О-совместному типу, если на межэлементных границах непрерывны только сами локальные функции. Если же непрерывны и первые д частных производных, то элемент считается С-д-совместимым. В соответствии с определением 10.2 элемент С- -совмести-мого типа является -соответственным. Кроме того, Фелиппа классифицировал элементы по признаку существования внутренних узловых точек, числу степеней свободы и т. д. См. также Фелиппа и Клаф [1968 . [c.160]

Этот же результат можно получить непосредственно, исходя из выражения элемента дуги ds в полярных координатах на плоскости. Рассматривая бесконечно малый криволинейный треугольник /VfiMjP (рис. 54), мы можем его, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, считать за прямолинейный и прямоугольный (угол Р — прямой, так как ЯМ, есть дуга окружности радиуса г). Тогда по теореме Пифагора получим [c.65]

Мы считаем, не оговаривая этого специально, что бесконечно малое ортогональное преобразование является вращением. По своему смыслу это утверждение является очевидным, так как бесконечно малая инверсия есть понятие, противоречащее "самому себе. Формально указанное утверждение вытекает из антисимметричности матрицы 8, так как вследствие этого все диагональные элементы матрицы 1 + е будут с точностью до величин высшего порядка малости равны единице. Поэтому детерминант такого преобразования будет равен -j-1, что является признаком вращения. [c.145]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...