Отображение фрактальная размерность

Фрактальные свойства движения в фазовом пространстве, которые указывают на присутствие странного аттрактора (и характеризуются отображениями Пуанкаре и фрактальными размерностями (гл. 6)). [c.47]

Понятие фрактальной размерности связано с обсуждением отображения подкова , приведенным в гл. 1. Мы видели, что в системах с хаотической динамикой области фазового пространства вытягиваются, сжимаются, складываются и отображаются обратно на исходную область. При этом отображении в фазовом пространстве остаются лакуны. Это значит, что орбиты стремятся заполнить менее чем целое подпространство фазового пространства. Фрактальная размерность — мера степени заполнения орбитой определенного подпространства, и нецелая размерность — визитная карточка странного аттрактора. Имеется много определений фрактальной размерности, но основное следует из процедуры подсчета числа сфер N размера е, необходимых для покрытия орбиты в фазовом пространстве. Функция N (в) существенным образом зависит от подпространства данной орбиты. Если эта орбита перио- [c.72]

Двумя другими примерами множеств, для которых удается точно вычислить фрактальную размерность, служат множества, возникающие при отображении подкова и преобразовании пекаря. [c.218]

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЙ ПУАНКАРЕ [c.233]

Изменяется ли фрактальная размерность странного аттрактора в зависимости от фазы отображения Пуанкаре [c.234]

Влияние затухания на фрактальную размерность аттрактора в задаче о потенциале с двумя ямами определялось с помощью численного моделирования по методу Рунге—Кутта. Полученная зависимость показана на рис. 6.11. Мы видим, что при слабом затухании аттрактор заполняет фазовое пространство (0=2, отображение Пуанкаре становится одномерным, и размерность аттрактора убывает до [c.235]

Вычисления фрактальных размерностей с использованием корреляционной функции С( г) показали, что для измерения углового коэффициента существует оптимальный диапазон значений радиуса г. При малых г мы сталкиваемся с погрешностью, обусловленной шумом, которым сопровождается порождение отображения (эта погрешность приводит к увеличению углового коэффициента). При больших г мы достигаем размера самого аттрактора, и поэтому С(г) выходит на насыщение (что приводит к уменьшению углового коэффициента). График зависимости углового коэффициента от г представлен на рнс. 6.20. Нетрудно видеть, что в некотором диапазоне значений г, или расстояний L между негативами, кривая выходит на плато. Значение, соответствующее этому плато, было выбрано за фрактальную размерность. Данные были получены путем моделирования по схеме Рунге—Кутта уравнения (6.3.7) вынужденного движения в потенциале с двумя ямами 4000 точек были полу- [c.247]

В той же таблице проведено сравнение оптического и численного методов для отображений Пуанкаре, построенных по экспериментальным данным для колебаний продольно изогнутой балки. В этой серии экспериментов фаза проведения сечения Пуанкаре изменялась. Оптическое измерение фрактальной размерности подтверждает результаты численных расчетов, а именно независимость размерности от фазы отображения Пуанкаре. Отсюда следует, что размерность самого странного аттрактора равна 1 -I- D, где D — размерность плоского отображения. [c.248]

В работе [531] на примере отображения (4.50) с Ь = О показано, что при критическом значении К, равном единице, области значений Q, где W = p/q, образуют канторовское множества с фрактальной размерностью d = 0,87. [c.261]

В первом параграфе этой главы обсуждаются основные свойства диссипативных систем, такие, как сжатие фазового объема и регулярное движение на простых аттракторах. Затем вводится понятие странного аттрактора со стохастическим движением. В 1.5 уже приводился пример странного аттрактора. Здесь же обсуждаются два других примера диссипативных систем со странными аттракторами система Рёслера и отображение Хенона. Особое внимание обращается на те свойства хаотического движения, которые связаны с возможностью перехода к одномерному отображению, а также с геометрической структурой странного аттрактора. Эта геометрия описывается в терминах канторовых множеств дробной фрактальной размерности. Обсуждаются способы вычисления такой размерности и ее связь с показателями Ляпунова. [c.410]

Численные данные для отображения Хенона показывают, как мы видели выше, что структура аттрактора повторяется на все более и более мелких масштабах. Ее можно сопоставить с канторовым лгаожеством, свойства которого позволяют значительно лучше понять природу странного аттрактора. Рассмотрим вначале размерность кантор она множества. Для этого нам понадобится общее определение фрактальной размерности. Затем мы рассмотрим простой пример канторова множества и найдем его размерность. И наконец, обсудим некоторые методы вычисления и измерения фрактальной размерности странных аттракторов, уделяя основное внимание ее связи с показателями Ляпунова. Наше изложение следует частично обзорам Треве [411 ] и Отта [324]. [c.422]

Цель этой книги как раз и состоит в том, чтобы помочь перевести эти математические идеи н методы на язык, который инженеры и экспериментаторы могли бы использовать в своих исследованиях хаотических колебаний. Хотя я и экспериментатор в области динамики, мне пришлось разобраться до определенной степени в этих новых математических идеях, таких, как странный аттрактор, отображение Пуанкаре, фрактальная размерность, для того, чтобы экспериментально изучать хаотические явления. Недавно появился ряд прекрасных математических исследований хаотической динамики. Я попытался прочитать эти труды и вьщелить с помощью моих коллег-теоретиков по Корнеллскому университету суть новых представлений. Книга, лежащая перед Вами, — попытка объяснить важность этого нового языка динамики инженерам, особенно тем, кто намерен изучать колебания в эксперименте. Я полагаю, что но- [c.6]

Нет лучщего примера теории, новые модели и парадигмы которой обещают значительные перемены в естественнонаучном и математическом мышлении, чем нелинейная динамика, испытывающая сейчас революционные изменения. Двумя главными парадигмами здесь являются аттрактор Лоренца (см. уравнения (1.3.9)) и логистическое уравнение (1.3.6). Эти два примера заключают в себе многие особенности хаотической динамики, такие, как разбегающиеся траектории, субгармонические бифуркации, удвоение периода, отображения Пуанкаре и фрактальные размерности. Как для освоения теории линейных колебаний необходимо изучить все тонкости модели из массы с пружиной, без которых нельзя понять колебания сложных систем, так же и каждому, кто ищет свой путь в современной нелинейной динамике, не обойтись без понимания явлений, скрытых в модели Лоренца и логистическом уравнении. Другие, менее яркие парадигмы также важны для понимания и развития теории динамических систем. Среди них вынужденные движения осциллятора Ван дер Поля (уравнение (1.2.5)), модели осциллятора [c.74]

В то же время если затухание слишком сильно, слои канторовского множества могут оказаться стягивающимися в линию. Влияние затуханий на отображения Пуанкаре и фрактальную размерность обсуждается в гл. 6. [c.139]

Вычисление емкостной фрактальной размерности для отображения типа подковы производится по аналогии с тем, как это было сделано в случае канторовского множества, за исключением того, что вертикальное направление дает вклад в размерность, равный 1. Используя определение (6.1.2), можно показать, что [c.218]

Мы видим, что а и / некоторым образом характеризуют неоднородность отображения. При а = 1/2 и / = 1 отображение похоже на подкову или канторовское множество, и все определения размерности d,, d , i/. совпадают. Из сказанного следует, что различные определения фрактальной размерности, по-видимому, могут приводить к различным результатам, когда динамический процесс приводит к неоднородному отображению Пуанкаре. [c.228]

Фрактальная размерность хаотической цепи (диод, индуктивность и сопротивление, соединенные последовательно, возбуждаются генератором) была измерена Линсеем [113], построившим отображение Пуанкаре. Линсей измерял ток в выборочные моменты времени через интервалы, равные периоду генератора, и построил псевдофазовое пространство (/(О. I(t т), 1(1 2т)) (см. следующий раздел). Полученная фрактальная размерность отображения Пуанкаре оказалась равной О = 1,58, поэтому размерность аттрактора равна 2,58. [c.237]

Для иллюстрации этих идей применим метод пространства вложения для нахождения размерности аттрактора в задаче о движении в потенциале с двумя ямами (или о колебшиях продольно изогнутой балки) (5.2.2). Ранее мы видели, что этот аттрактор живет в трехмерном фазовом пространстве (х, х, и/) и имеет фрактальную размерность с1 = 2,5 (рис. 6.8). По тем же данным мы можем теперь вычислить фрактальную размерность из отображения Пуанкаре (рис. 6.9, 6.10). По тем же численным данным, интегрируя по методу Рунге—Кутта, мы можем восстановить движение в псевдофазовом пространстве, используя дискретизованное значение х( О и выбирая пространства вложения размерности т = 1 - Ь. Графики на рис. 6.13а, б показывают корреляционную функцию и вычисленную размерность аттрактора в каждом пространстве вложения. [c.239]

Все рассмотренные выше методы вычисления фрактальной раз мерности странных аттракторов требуют использования мощные Ш1фровых микро- или мини-компьютеров. Однако с точки зрения экспериментатора естественно спросить, нельзя ли измерять фрактальные размерности динамических систем непосредственно, используя аналоговые устройства так же, как мы измеряем другие динамические свойства, например скорость и ускорение. В общем случае для динамической системы с многими степенями свободы ответ неизвестен но в некоторых простых задачах фрактальная размерность двумерного отображения Пуанкаре может быть измерена оптическими методами (см. [102]). В основе такого подхода лежит оптическая иитерпреташм корреляционной функции (6.2. Схема, иллюстрирующая этот подход, представлена иа рис. 6.17. Напомним, что вычисление корреляционной функции включает подсчет числа точек в кубе или сф , описанных вокруг каждой точки фрактального множества. Оптический метод использует параллельную обработку информации, позволяющий находить число точек в окрестности всех точек фрактального множества сразу. Свет, идущий от одной пленки, создает на другой пленке освешен ный кружок. Если каждая пленка представляет собой точную копию сечеиия Пуанкаре странного аттрактора, то полный световой поток, испускаемый второй пленкой, пропорционален корреляционной функции. Изменяя расстояние между пленками на рис. 6.17, мы [c.244]

Если у вас имеется программа для вычисления показателей Ляпунова, то полезно иметь в виду, что в литературе приводится зна-ч 1ие показателя Ляпунова X, = 0,2, а фрактальная размерность аттрактора в отображении Энона равна = 1,264. Варьируя параметры в иЬ, можно попытаться определить область тех значений, при которых аттрактор существует, и найти область удвоения периода на плоскости (а,Ь) [57, с. 268 151]. [c.280]

Располагая такой установкой, можно получать отображения Пуанкаре хаотических даижений (гл. 4), измерять критическую силу для хаотического движения как функш1ю частоты (гл. 5) или фрактальную размерность движения по экспериментальным временным рядам (гл. 6). [c.292]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...