Энергия полная деформации при изгибе

В (12.11) произведение ЕЗу называют жесткостью при изгибе. Равенство (12.11) фактически является записью закона Гука при изгибе. Полная потенциальная энергия деформации для балки длиной / равна [c.197]

Таким образом, полная энергия деформации при поперечном изгибе и = и и" или [c.182]

Энергию деформации поперечного сдвига можно прибавить к энергии, возникающей при деформации изгиба (формулы (6.34)), и получить в результате полную энергию деформации. Разумеется, в большинстве случаев энергия деформации сдвига пренебрежимо мала по сравнению с энергией деформации, возникающей при изгибе ). [c.254]

В некоторых случаях может существовать особый тип изгиба оболочек, при котором никакого растяжения не происходит вовсе. Так, например, цилиндрическая оболочка (с открытыми обоими концами цилиндра) может быть деформирована без растяжения, если все образующие цилиндра остаются при изгибе параллельными друг другу (т. е. оболочка как бы вдавливается по какой-нибудь из образующих). Такие деформации без растяжения геометрически возможны, если оболочка имеет свободные края (т. е. не замкнута) или же если оболочка замкнута, но её кривизна в разных местах имеет разный знак. Например, замкнутая сферическая оболочка не может быть изогнута без растяжения если же в ней прорезано отверстие (причём его края не закреплены), то такие деформации становятся возможными. Поскольку энергия чистого изгиба мала по сравнению с энергией растяжения, то ясно, что если данная оболочка допускает деформации без растяжения, то именно такие деформации и будут, вообще говоря, реально осуществляться при воздействии на неё произвольных внешних сил. Требование отсутствия растяжения при изгибе накладывает существенные ограничения на возможные смещения и . Эти условия являются чисто геометрическими и могут быть выражены в виде дифференциальных уравнений, которые должны содержаться в полной системе уравнений равновесия для таких деформаций. Мы не будем здесь останавливаться на этом вопросе. [c.707]

Обратим внимание на то, что квадратичная по смещениям часть изменения П полной потенциальной энергии не зависит от дополнительного осевого перемещения бш = и вполне определяется поперечным смещением 6v = г]ди1. Первое слагаемое в правой части последнего равенства выражает энергию изгиба, соответствующую искривлению стержня. Второе слагаемое — это либо энергия дополнительной осевой деформации, если при переходе в искривленную форму равновесия 0 [c.389]

Но теперь при подсчете изменения полной потенциальной энергии следует дополнительно учесть потенциальную энергию деформаций сдвига, а потенциальную энергию изгиба в соответствии с зависимостью (3.33) выразить через угол Тогда получим [c.110]

При рассмотрении деформаций тонкой оболочки наиболее важным является вопрос о том, подвергается ли растяжению средняя поверхность, т. е. поверхность, расположенная посредине между обеими граничными поверхностями. В первом случае деформацию можно назвать растяжением, и ее потенциальная энергия пропорциональна толщине оболочки, которую мы будем обозначать через 2А. Поскольку инерция оболочки, а следовательно, и кинетическая энергия данного движения также пропорциональны Л, то частоты колебаний в этом случае независимы от Н ( 44). С другой стороны, если никакая линия, проведенная на средней поверхности, не подвергается растяжению, то потенциальная энергия деформации является величиной высшего порядка по отношению к малой величине А. Если предположить, что оболочка разделена на слои, то растяжение каждого слоя пропорционально его расстоянию от средней поверхности, и доля данного слоя в общей потенциальной энергии пропорциональна квадрату этого расстояния. Интегрируя по всей толщине оболочки, найдем, что полная потенциальная энергия пропорциональна /г . Колебания этого рода можно назвать колебаниями без растяжения или колебаниями изгиба, и их частоты пропорциональны /г( 44), так что по мере уменьшения толщины звуки неограниченно понижаются. [c.412]

Один из этих принципов впервые ввел в теорию упругости выдающийся физик Густав Кирхгоф в одной из своих фундаментальных работ, опубликованной в 1850 г. ). Стремясь в этой замечательной статье развить теорию изгиба тонкой плоской упругой пластинки, он сразу же успешно вывел из экстремального условия для потенциальной энергии линейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка для малых прогибов упругой пластинки (уравнение Лагранжа) и дифференциальные выражения для полной системы двух граничных условий, необходимых для определения формы изогнутой срединной поверхности пластинки. Таким образом, он впервые установил корректные выражения для этих двух граничных условий после многочисленных безуспешных попыток, предпринимавшихся в течение первой половины девятнадцатого столетия математиками французской школы (в том числе Пуассоном). Они утверждали, что поверхность слегка изогнутой упругой пластинки и решение указанного дифференциального уравнения четвертого порядка для прогибов пластинки должны удовлетворять трем независимым граничным условиям, тогда как Кирхгоф установил, что достаточно всего двух ). Он достиг этого применением принципа возможных перемещений, приравняв нулю первую. вариацию определенного интеграла, выражающего полную потенциальную энергию изогнутой пластинки как сумму энергии упругой деформации, вызванной внутренними напряжениями, деформирующими пластинку при изгибе, и потенциальной энергии системы внешних сил (нагрузок), изгибающих пластинку. Внеся вариацию под знак интеграла и применив ее к подинте-гральному выражению, он нашел дифференциальное уравнение [c.142]

Из каких частей состоит полная энергия деформации балки при изгибе Из каких сообршеннй определяется коэффициент, учитывающий нфавномерность райфеделения касательных напряжений щ сечении 1фн определении прогибов [c.253]

В некоторых методах затраты энергии на зарождение разрушения сводят к минимуму путем увеличения остроты надреза, а уменьшение полной работы разрушения обеспечивают созданием поверхностных (бокювых) надрезов, чтобы устранить губы среза. Работу пластической деформации в зоне сжатия при изгибе, уменьшают вставляя в образец прочные вкладьшги. [c.412]

Полное исследование равновесных состояний трубопровода при изгибе еще не завершено. Приведем здесь лишь некоторые результаты по расчету овализации. На рис.4 представлены графики зависимости безразмерной энергии деформаций, Э от длины малой полуоси овального сечения а 2 при различных значениях отношения радиуса изогнутой оси к радиусу сечения. Эти значения приведены справа от графика. Чем больше изогнута труба, чем выше проходит кривая энергии. Истинные равновесные значения соответствуют минимумам энергии. Следует отметить, что при малых изгибаниях трубы деформации упруги, и справедлива формула Бразье / 10 / [c.127]

Оуэна с сотрудниками в большинстве случаев проводили испытания при растяжении на широких пластинах с надрезами. При сравнении результатов, полученных различными исследователями, возникают определенные трудности, обусловленные тем, что различные методы дают различные результаты и не известно, какой из них даст, так сказать абсолютные результаты . Например, в двух работах [109, 116] было установлено, что для материалов, содержаш,их 40% (об.) высокомодульных углеродных волокон, Кс примерно равен 40 МН/м /а при растяжении пластин с надрезом, независимо от длины надреза. С другой стороны, при испытании аналогичных материалов при четырехточечном изгибе образцов с надрезом найденные значения составляли величину около 16 МН/м 2 при отношении глубины надреза к толщине образца от 0,3 до 0,7 и значительно более низкие значения Л"е при меньших отношениях глубины надреза к толщине. Эллис и Харрис [116] сравнивали параметры вязкости разрушения, определенные различными способами, для материалов на основе эпоксидной смолы и высокомодульных и высокопрочных углеродных волокон. Они определяли общую работу разрушения ур, работу инициирования трещины уг (площадь под кривой нагрузка — деформация до максимальной нагрузки, при которой начинается быстрый рост трещины), а также критическую скорость высвобождения упругой энергии G по методу определения податливости образца с трещиной. Все измерения проводились при низкоскоростном изгибе образцов с надрезом. По данным Кс, полученным при растяжении и изгибе, используя уравнение (2.27), они рассчитали эквивалентные значения G . Для того, чтобы сделать это, необходимо было использовать податливость С, учитывающую ортотропный характер волокнистых композиционных материалов. Зих, Пэрис и Ирвин вывели полную форму уравнения (2.27) [4], в котором С является функцией всех констант в тензоре податливости. Для ортотропных материалов с одной резко выраженной осью анизотропии, таких как однонаправленные композиционные материалы с непрерывными волокнами типа углеродных, их уравнение может быть записано в упрощенной форме [c.134]

Подчерки л, что приведенные рагсуждения применимы, строго говоря, лишь к совместным конечным элементам. Если элементы удовлетворяют условию полноты я совестны, то при сгущении сетки сходимость конечноэлементного решения к точному по энергии будет монотонной. Другими словами, при сгущении сетки полная энергия системы %дет уменьшаться, оставаясь при этом выше своего точного значения. Можно показать [26], что погрешность рассмотренных выше элементов в энергии имеет порядок Р", где п — порядок полных полиномов в аппроксимирующих функциях. Если в выражении для энергии деформации встречаются вторые производные от перемещений (это имеет место, например, для некоторых конечноэлементных моделей пластин, работающих на изгиб, и оболочек), то ошибка в энергии будет иметь порядок [c.211]

Вместо того чтобы пользоваться принципом виртуальных перемещений при вычислении коэффициентов в выражении (а) для прогибов, мы можем достигнуть того же результата из рассмотрения полной энергии системы. Если система находится в состоянии устойчивого равновесия, то полная энергия ее принимает минимальное из всех возможных значений. Прилагая этот принцип к исследованию изгиба пластинки, заметим, что полная энергия в подобных случаях состоит из двух частей, а именно из энергии деформации изгиба, данной выражением (Ь), и из потенциальной энергии нагрузки, распределенной по пластинке. Если положение элемента qdxdy нагрузки определять вертикальными его расстояниями w от горизонтальной плоскости лгу, то соответствующая ему потенциальная энергия может быть принята равной —wqdxdy, и потенциальная энергия всей нагрузки будет [c.382]

В пределах точности численного интегрирования кривая для р = 0 совпадает с кривой Аа на рис. 2, соответствующей полной передаче энергии критической форме колебаний. Кривые при р —0,01 0,02 и 0,04 резко падают с ростом р к наименьшему значению коэффициента повышения напряжений при из-за большого числа циклов, необходимого для передачи энергии в этом диапазоне.. При р = 0 кривые опускаются ниже Ла==1 даже при учете окружных напряжений в Ла= Ерастяж/ра. Это происходит потому, что максимальная окружная деформация растяжения в момент пика первого направленного наружу полуцикла радиального симметричного движения благодаря демпфированию уменьшается ниже начальной окружной деформации сжатия ра. При Р = 0,04 коэффициент повышения напряжений не превышает 1,2 ни при каком значении р. Поскольку в типичных композитных пластиках, армированных волокнами, р 0,05,, в таких материалах фактически невозможно разрушение от изгиба при внезапном начальном окружном сжатии. [c.42]

Расчеты показывают, однако, что законы распределения толщин, стрелок изгиба средней линии и углов установки весьма разнообразны, вследствие чего н расчет частот на базе указанной работы не всегда получается достаточно точным. В то же время в работах И. И. Меерович показано, что при определении частот простейших форм колебаний вполне допустимо пренебрегать искажением формы профиля при колебаниях и энергией деформации сдвига. Использование этих упрощающих предположений позволяет свести двумерную задачу колебаний оболочки к одномерной (с использованием метода Канторовича — Власова [2], [4]). Указанный прием дает возможность более полно учесть особенности профилирования конкретной 2 339 [c.339]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...