Квадраты наименьшие—Способ чисел

Наибольшее применение при испытании ограниченного числа образцов (10— 15 шт.) нашло графическое интерполирование экспериментальных данных или построение кривой усталости по способу наименьших квадратов. Последний способ изложен в литературе [91 ), поэтому запишем лишь расчетные формулы в окончательном виде [c.32]

Дифференцирование и интегрирование. При численном дифференцировании таблицы экспериментальных данных возможность получения приемлемых результатов часто ограничена, так как последние очень чувствительны к погрешностям эксперимента. Удовлетворительные результаты в этом случае могут быть получены лишь после выполнения каким-либо, способом операции сглаживания результатов эксперимента, например, графическим путем или с помощью их аппроксимации методом наименьших квадратов-функцией с относительно небольшим числом свободных параметров (п< Ы). Последний способ удобен еще и потому, что позволяет проводить дифференцирование полученной функции аналитически. [c.100]

Параметры параболической зависимости определяются по способу наименьших квадратов. Парабола описывает все известные случаи поведения металла при однократном изменении режима нагру-жения в том числе явление тренировки, когда при малых я значения Пк>Л к (см. рис. 46, начальный участок кривой 3). [c.86]

Метод математической обработки с применением способа наименьших квадратов аналогичен описанному выше при определении коэффициентов уравнения типа (3.1). Важно подчеркнуть, что такой способ обработки результатов испытаний избавляет от необходимости отдельной оценки главного параметра критерия прочности, отражающего влияние неоднородности свойств материала. Совместная обработка результатов всех испытаний повышает достоверность оценок всех коэффициентов, в том числе и коэффициента X. [c.150]

Заметим, что метод парных корреляций значительно уменьшает объем вычислений по сравнению с определением коэффициентов регрессии по способу наименьших квадратов. Это объясняется тем, что для расчета коэффициентов парной корреляции число строк матрицы, с помощью которой представляются результаты измерений исходных факторов и погрешностей обработки, искусственно сокращается до числа заполненных клеток корреляционной таблицы. Поэтому данный метод находит широкое применение в практике многофакторного корреляционного и регрессионного анализов [20, 44, 50, 54]. [c.294]

При наличии уравнения связи число неизвестных будет п—I. Применяя правила способа наименьших квадратов, мы можем составить п—1 нормальных уравнений следующего вида [c.268]

Для определения направления касательной f и кривизны кривых, заданных чертежом, известно много способов. Из числа проверенных в практике расчетов наиболее оправдал себя известный способ проведения нормали к кривой с помощью зеркала и аналитический способ, основанный на наивыгоднейшей параболической аппроксимации, находимой по методу наименьших квадратов. [c.309]

Как правило, число условий больше, чем число свободных параметров. Возможны несколько способов решения. Наиболее рациональный — это применение метода наименьших квадратов, который позволяет принять во внимание аберрации при любых промежуточных значениях фокусного расстояния и призов [c.308]

Было проведено сопоставление значений напряжений (Ог, г г), соответствующих по корреляционному уравнению левой ветви кривой усталости числу циклов N = 10 , с фактическими пределами выносливости деталей (0 т ), определенными при испытании. Для того чтобы получить наиболее достоверную кривую усталости, при проверке метода применялась статистическая обработка результатов по способу наименьших квадратов. Разности этих величин А для некоторых автомобильных деталей приведены в табл. 15. Как следует из таблицы, характерной особенностью экстраполяции верхнего участка кривой усталости натурных деталей до 10 млн. циклов является то, что получаемые при этом напряжения всегда меньше предела выносливости, определенного экспериментально. Это объясняется тем, что у большинства испытанных деталей точка перелома кривой усталости находится ниже 10 млн. циклов. Чем меньше тангенс т угла наклона левого участка кривой усталости на графике с логарифмической сеткой, тем больше отклонение напряжения, полученного экстраполяцией, от фактического предела выносливости (см. корреляционные уравнения в табл. 15). [c.180]

Типовые вычислительные схемы метода наименьших квадратов. Вычислительные процедуры получения оценок МНК входят в математическое обеспечение ИВК и отличаются в основном способами вычисления обратной матрицы С , что существенно для случаев, когда она плохо обусловлена методами минимизации Ф(0) в (1.75) и получения сходимости итерационной процедуры. Опубликованы достаточно подробные обзоры методов, например [20, 21, 36]. Приведены описания программных модулей на базе алгоритмов МНК, разработанных для математического обеспечения ЕС ЭВМ [35]. Поэтому кратко остановимся только на процедурах, обладающих относительной устойчивостью при нарушениях предположений МНК. При обработке сигналов приборов это особенно важно, поскольку из-за наличия ошибок измерений как зависимой, так часто и независимых переменных трудно высказать определенное суждение о вырожденности или невырожденности системы (1.79). В этом случае задача относится к числу некорректно поставленных и процедура отыскания нормального решения (в смысле классического МНК) будет неустойчивой [37]. [c.46]

Выведем уравнение, выражающее зависимость числа оттисков (копий) от величины кинетической энергии вращающего буквенного рычага и твердости резинового вала. На основании исходных данных, способом наименьших квадратов установим аппроксимацию, которая отразит общий ход данной функции без копирования местных отклонений. [c.60]

На практике часто приходится иметь дело со случаем, когда величины, к-рые нужно определить, недоступны непосредственному измерению, но мы можем измерить целый ряд ф-ий от этих величин. Тогда возникает вопрос о наилучшем возможном использовании полученных результатов измерений для определения искомых величин. В случае, когда число измерений превосходит число неизвестных, эта задача становится проблемой теории вероятностей. Метод, найденный Гауссом для ее решения и основанный на теории О. и., носит название способа наименьших квадратов. [c.284]

Решение таких систем уравнений может быть осуществлено либо известным из практики прикладного анализа методом наименьших квадратов, либо более простым и грубым приемом, но практически более быстро ведущим к цели, который неоднократно применялся автором. Можно из этого числа уравнений большего числа неизвестных выбрать (подряд или вразбивку — безразлично) то число различных уравнений, которое равно числу неизвестных, и решать их известным уже нам способом, после чего результаты, полученные из этих решений, усреднять или уравновешивать так, чтобы ординаты, получающиеся по этой аппроксимации, наилучшим образом приближались бы к заданной кривой переходного процесса у 1). [c.155]

Вообще говоря, число измерений М должно быть по крайней мере равно числу неизвестных N, а обычно М > N. Простейшим способом получения наилучшего возможного значения неизвестной f из измеренных данных g является метод наименьших квадратов. [c.255]

Практически же результаты измерений содержат некоторые погрешности, а число измерений ограничено. Для того чтобы найденное решение было наиболее вероятным, авторы работы [170] требуют, чтобы сумма квадратов разностей между искомым решением и результатами измерений была минимальной (способ наименьших квадратов). Из составленных нормальных уравнений вычисляют коэффициенты Ai, а затем, дифференцируя температуру по координате, находят уравнение для потока. [c.43]

Разложение полученных при эксперименте напряжений на компоненты Од, о , Оу и сводится к решению системы линейных уравнений, число которых равно числу приборов, стоящих в сечении, т. е. в нашем случае 16 уравнений. Таким образом, число уравнений превышает число неизвестных, и для решения задачи прИ ходится прибегнуть к статической обработке, решая систему по способу наименьших квадратов. [c.76]

Установление характера смещения центра группирования во времени по скользящей средней, по нарастающей средней и по способу наименьших квадратов. Скользящие средние рассчитываются по обычной формуле, как и мпирические групповые средние значения х - Первой рассчитывается среднее значение для первых измерений (в порядке изготовления деталей). Далее отбрасывается первое измерение, добавляется (ris + 1)-е, затем отбрасывается второе измерение, добавляется (га +2)-е и т. д. до конца, т. е. до группы от (га — га )-го измерения до я-го измерения. В результате получаются п — эмпирических средних значений (кружки на фиг. 24), каждое из которых соответствует постоянному числу измерений скользящей группы значений. [c.639]

Если имеют место только одиночные измерения каждого из значений, то подобное же сопоставление можно сделать, пользуясь вместо ошибки среднего арифметического значения ст-ошибкой измерения а . Другим приемом, использующим в обоих рассматриваемых случаях способ наименьших квадратов, является установление параметров линейных зависимостей не только для того сочетания значений величины, которое получено из опыта, но и для нескольких других разнообразных сочетаний, отличающихся от первых на а , 2а- или соответственно на огц, 2стц. Если для всех таких сочетаний будут получаться линейные зависимости одного типа (например, все возрастающие или все убывающие), то вывод об истинности соответственного изменения исследуемого свойства можно считать надежным. В противном случае следует увеличить число наблюдений, до получения установленных в указанном выше смысле результатов. [c.231]

В 1 оследнее время для нахождения оценок способом наименьших квадратов успешно применяются цифровые вычислительные машины. Поэтому точность оценок истинных значений измеряемых величин может быть существенно повышена путем увеличения числа условных уравнений до нескольких десятков или даже сотен, а в некоторых случаях и больше. [c.168]

Теорию крыла конечного размаха позволило создать использование основополагающей теоремы Н. Е. Жуковского о связи подъемной силы с циркуляцией и модели течения с присоединенным вихрем, так что эта теория является логическим продолжением и развитием идей, составляющих фундамент теории крыла бесконечного размаха, В 1910 г. С. А. Чаплыгин в докладе на тему Результаты теоретических исследований о, движении аэропланов сформулировал общие представления о вихревой системе крыла конечного размаха. В 1913 и 1914 гг. им были получены первые формулы для подъемной силы и индуктивного сопротивления. Они были доложены на третьем воздухоплавательном съезде в Петербурге. В дальнейшем основное распространение получила теория несущей линии, предложенная в Германии Л. Прандтлем для крыльев большого относительного удлинения. В рамках этой схемь было получено интегро-дифференциальное уравнение, связывающее изменение циркуляции и индуктивный скос потока. Задача свелась к отысканию различных приближенных методов его решения. В работе Б. Н. Юрьева (1926) был применен геометрический прием, в котором использовалось предположение о том, что распределение циркуляции близко к эллиптическому и что отклонения от этого распределения повторяют форму крыла в плане. Аналитические методы, применявшиеся на начальном этапе развития теории для получения приближенных решений, состояли в требовании удовлетворения основному уравнению в ограниченном числе точек по размаху. Так, в методе тригонометрических разложений В. В. Голубев (1931) заменил бесконечный тригонометрический ряд тригонометрическим многочленом, сведя бесконечную систему уравнений к конечной системе, в которой число неизвестных соответствует числу членов разложения циркуляции и числу точек на крыле. С целью более точного учета формы крыла в плане при ограниченном числе решаемых алгебраических уравнений Я. М. Серебрийский (1937) предложил для решения интегро-дифференциального уравнения использовать способ наименьших квадратов. [c.92]

В литературе появился целый ряд новых сводок формул для теплоемкостей газов, определенных разными способами на основе спектроскопических данных, в том числе сводка степенных формул теплоемкостей газов, вычисленных В. Брианом [24] на основе формул Планка — Эйнштейна с использованием значений характеристической температуры 0 сводка формул для степенных уравнений теплоемкостей газов, вычисленных X. Спенсером и И. Джюстисом [25] методом наименьших квадратов по данным спектроскопических измерений сводка новых упрощенных формул для теплоемкостей газов, вычисленных О. Фуксом и К. Рин-ном [26], в которых изменение теплоемкости с температурой выражено линейной зависимостью. [c.24]

Способ наименьших квадратов. В виду возможных при выполнении наблюдений ошибок (например в астрономии, в геодезии) делаются дополнительные наблюдения, т. е. производится наблюдений больше, чем это необходимо для определения искомых величин. При измерении независимых величин имеют место прямые наблюдения. Если же искомые величины не могут быть измерены непосредственно и представлены как явные функции измеряемых величин, то измеряют величииы ф-ий, зависящих от искомых величин, и получают систему ур-ий, в к-рые искомые величины входят как неизвестные (вспомогательные наблюдения). Вследствие ошибок, содержащихся в ур-иях, ни одно из последних не м. б. с.ледствием остальных—между ур-иями будут противоречия. Когда число ур-ий, полученных из наблюдений, больше числа неизвестных, то ур-ия решаются по способу наименьших квадратов (Лежандр, 1806 г. и Гаусс, 1809 г.). Задача этого способа и состоит в том, чтобы уравновесить ошибки, т. е. подобрать такие величины неизвестных, при которых эти противоречия были бы наименьшими. (Предполагается, что при наблюдениях не допущено грубых, постоянных или систематических ошибок.) В задачу входит таклсе нахождение меры точности полученных значений величин. Наблюдения бывают кроме того или независимыми друг от друга или-условными. В основанде способа наименьших квадратов положено требование, чтобы сумма произведений квадратов ошибок на веса была наименьшей. [c.278]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...