Линейное дифференциальное уравнение с периодическим

Теория движения систем материальных точек часто приводит к рассмотрению интегралов линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. [c.316]

Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами были рассмотрены Л. Эйлером в теории движения Луны. Эти уравнения были вновь проанализированы в конце XIX в. [c.316]

Исследование устойчивости движения многих систем, встречающихся в различных технических задачах, часто сводится к анализу линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. В матричной форме эти уравнения могут быть записаны так (см. 5.2, формула (5,19а)) [c.231]

Из этого вытекают следующие условия устойчивости системы, возмущенное движение которой описывается линейными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. [c.237]

Далее введем в рассмотрение линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами вида [c.277]

Из сказанного выше следует, что в общем случае получится система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Методы численного решения и анализа таких уравнений в общих чертах известны [91 ], однако в настоящее время в связи с большими математическими трудностями эти уравнения почти не применяются для решения конкретных задач, хотя отдельные такие работы уже появились [163]. [c.52]

Одновременное нарушение осевой симметрии в роторе и его опорах может быть учтено только с помощью аппарата. линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. [c.68]

Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. В введении было показано, что ряд задач динамики механизмов с упругими связями приводит к рассмотрению дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Теория этих уравнений значительно более сложна, чем в случае постоянных коэффициентов. Естественно, что, излагая элементы этой теории, мы по-прежнему ограничимся рассмотрением уравнений второго порядка. Начнем с отыскания обш,его решения однородного уравнения вида [c.48]

Таким образом, в случае поступательной вибрации движение механизма определяется линейным дифференциальным уравнением с периодическим коэффициентом. [c.137]

Аэроупругое поведение несущего винта или вертолета во многих случаях описывается линейными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Периодичность коэффициентов обусловлена воздействием аэродинамических сил при полете вперед, а также асимметрией, органически присущей несущему винту. Следовательно, необходимо иметь возможность оценить динамические характеристики периодических систем, в частности их собственные значения, определяющие устойчивость. [c.340]

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [c.344]

Таким образом, анализ динамики системы, описываемой линейными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами, требует определения фундаментальной матрицы ф за время одного периода (от / = О до Т) путем интегрирования уравнения ф = Лф с начальными условиями ф(0) = = /. Затем определяются собственные значения и собственные векторы матрицы а = ф(Г) и корни системы у = (1/Г)1п0. Формы составляющих движения определяются зависимостями PS = ф5е или U, = е- / фУ/ (где v, — собственные векторы а). Система неустойчива, если 9/ >1 или Re(X,/)>0 для какой-либо из мод. Часто анализ сводится лишь к нахождению собственных значений, поскольку переменные во времени собственные векторы периодической системы содержат много информации о ней. Для системы второго порядка с одной степенью свободы можно получить характеристическое уравнение непо- [c.346]

Влияние скорости полета вперед. При полете вперед коэффициенты в уравнениях махового и установочного движений лопасти становятся периодическими. Собственные значения линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами могут быть определены методами, рассмотренными в разд. 8.6.2. При больших значениях характеристики режима (р, > 0,5) учет влияния периодичности коэффициентов важен для правильной оценки устойчивости, при высоких скоростях полета необходимо учитывать и влияние зоны обратного обтекания. При малых и средних р, аппроксимация с постоянными коэффициентами может оказаться достаточно точ- [c.593]

Отметим, наконец, что уравнения в вариациях для периодических решений широкого класса нелинейных систем также представляют собой линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, которые часто могут быть истолкованы как уравнения параметрических колебаний. Такая связь между проблемой устойчивости и проблемой параметрических колебаний, естественно, не является случайной наличие неустойчивости движения нелинейной (не обязательно параметрической ) [c.97]

Естественно, что существенное значение имеет вопрос о реальном нахождении функций Эти функции, как оказывается, могут быть построены, если известно необходимое число независимых решений некоторой системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами (см. 4). Указанные решения в свою очередь могут быть найдены для ряда классов нелинейных систем (2Л), в частности, для систем квазилинейных. [c.160]

Области устойчивости. Уравнение Матье (17.3) является линейным дифференциальным уравнением с периодическими коэффициентами. Поэтому можно использовать теорему Флоке и записать обш,ее решение уравнения (17.3) в виде [c.528]

Я к у б о в и ч В. А. Замечание к некоторым работам по системам линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Прикладная математика и механика. Т. 21. Вып. 5, 1957. [c.369]

Колебания, возникающие при резонансе п-го рода, иногда также называют автопараметрическими. Этот термин возник в связи с математическим аппаратом, при.меняемым при исследовании условий устойчивости двпншния при резонансе -го рода. При исследовании вопроса об устойчивости движения приходится рассматривать линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. Эти уравнения будут рассмотрены ниже, при изучении квазигармонических колебаний и параметрического резонанса. [c.306]

Для получения критериев устойчивости таких систем кратко остановимся на некоторых общих вопросах теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, принадлежащей Флoкe(Floquet). [c.232]

При рассмотрении аналогичных задач ряд авторов делают линеаризацию исходных дифференциальных уравнений. Сущность линеа-. ризации состоит в том, что в уравнении (1) после замены переменного Ф или же в нелинейных членах его делают не совсем обоснованную подстановку ф = (ut, где (о — средняя угловая скорость. Таким путем из уравнения (1) получается линейное дифференциальное уравнение с периодическими или постоянными коэффициентами. [c.68]

Фурье-преобразование координат, описанное в разд. 8.4, часто рассматривают вместе с обобщенным анализом Флоке линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Действительно, эти направления анализа связаны между собой общим фактором — вращением системы. Однако, поскольку любое из них может потребоваться при анализе несущего винта без использования другого, они различны по существу. Например, фурье-преобразование координат необходимо для представления движения лопасти несущего винта в осевом потоке при возникновении связи с невращающейся системой (движение вала или отклонение управления), но несущий винт при этом остается стационарной системой. С другой стороны, при полете вперед и неподвижном вале винта приемлемо представление движения лопасти во вращающейся системе координат, однако в уравнениях движения появляются периодические коэффициенты, и для оценки устойчивости системы требуется применение анализа Флоке. [c.350]

Математической основой теории резонанса в сосредоточенных системах с периодически изменяющимися параметрами служит, по существу, известная теорема А.М. Ляпунова [3.49] о том, что любая система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами может быть преобразована в систему линейных же уравнений с постоянными коэффициентами при помощи невырожденного линейного преобразования. Она позволяет в принципе перенести все известные результаты теории резонанса для систем с постоянными параметрами на системы с периодически изменяющимися параметрами. Для уравнений же в частных производных подобная теорема в общем случае не доказана. Однако, применительно к рассматриваемому классу систем, ее доказательство заключается в существов ании невырожденных инвариантных преобразований (3.6), сводящих решение волнового уравнения с условиями на движущихся границах к решению такого же уравнения с условиями на неподвижных границах [3.4Г. [c.114]

Во втором издании Теории звука рассматривается обобщение линейных колебаний и в другом направлении,— когда параметры системы периодически изменяются. В обоих случаях Рэйли имел предшественников уравнение колебаний с третьей степенью скорости встречалось и раньше в небесной механике, и Остроградский посвятил ему небольшую, но во многих отношениях замечательную работу в 1836 г. А при анализе влияния периодически изменяющихся параметров Рэйли рассматривает частный случай уравнения, полученного Матье в 1868 г. при исследовании колебаний эллиптической мембраны к тому же общие результаты по теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими (общего порядка) коэффициентами были получены еще в 1883 г. в работе, которая, по-видимому, осталась неизвестной Рэйли Но в обоих случаях Рэйли исходил из общей постановки вопроса — и с целью показать границы линейной теории, и с целью выявить (притом самыми скромными средствами) некоторые новые свойства колебаний, обусловленные нелинейностью. Так на исходе XIX в. подготавливалась почва для оформления в самостоятельную дисциплину теории (как линейных, так и нелинейных) колебаний. [c.279]

М. Г. Крейн, В. А. Якубович. Гамильтоновы системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами,— Труды Междунар. симпозиума по нелинейным колебаниям, т. I. Киев, Изд-во АН УССР, 1963, стр. 277—305. [c.133]

В первой из двух статей Ф. Р. Виньерона рассматривается применение метода осреднения В. М. Волосова к исследованию динамики колебаний спутника с двойным вращением, снабженного демпферами. Этот метод применяется к линейным дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами, к которым при некоторых допущениях приводится исследование устойчивости стабилизируемого состояния спутника. Вторая [c.5]

Метод Ляпунова оценки характеристичной постоянной, системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, развитый для уравнения Хилла, был распространен на общий случай системы двух линейных уравнений с периодическими коэффициентами В. М. Старжинским (1953—1960, 1964) и на некоторые типы линейных систем произвольного порядка В. М. Старжинским (1958—1959) и В. А. Якубовичем (1957). [c.37]

Вопросу о вычислении характеристических показателей системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, близкими к постоянным, в общем случае критических корней посвящены, в частности, работы С. Н. Шиманова (1952, 1956) и М. Я. Кушуля [c.163]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...