Схемы с разностями против потока

Схемная диффузия. Одно из проявлений схемной (или искусственной) диффузии было отмечено выше при анализе схемы с разностями против потока. Однако основной причиной возникновения схемной диффузии [47] являются локально-одно-мерные аппроксимации для потоков через грани КО. Для случая, изображенного на рис. 5.15, значение Ф, переносимое наклонным потоком со скоростью и к узловой точке Р, на самом деле приходит из угловой точки 5 fF. Однако на пятиточечном пространственном шаблоне Р, Е, W, N, S этот перенос представляется как действие двух отдельных одномерных потоков, поступающих от узловых точек W и S. Схемы, которые обеспечивают меиьший вклад искусственной диффузии, должны учитывать многомерную природу потока. Для этого шаблон должен содержать большее количество точек (в том числе и диагональные). Хотя несколько таких схем и разработано [51, 73], они не могут быть рекомендованы, так как пока недостаточно опробованы. [c.164]

Упражнение. Используя метод дискретных возмущений, исследовать устойчивость схемы с разностями против потока (см. разд. 3,1.7—3.1.9) [c.68]

Упражнение. Повторить предыдущее упражнение для схемы с разностями против потока и найти условие устойчивости, используя на этот раз анализ по фон Нейману. [c.73]

Анализ устойчивости при помощи метода дискретных возмущений менее надел<ен. По сравнению с систематичным и формализованным методом фон Неймана успех применения этого метода является делом удачи. Для схемы с разностями против потока он приводит к тому же результату, что и метод фон Неймана (см. последние три упражнения). Дополнительное требование об отсутствии осцилляций, обусловленных чрезмерно большим шагом по времени (которое, впрочем, не является очевидным требованием устойчивости в смысле ограниченности решения), также приводит в этом методе к результатам, совпадающим с результатами метода фон Неймана для схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной, но при существенно меньших затратах труда. Однако совсем не очевидно, что этот критерий дает правильные результаты для более сложных схем, поэтому в настоящее время его применимость в общем случае находится под вопросом. Тем не менее с помощью метода дискретных возмущений можно исследовать устойчивость в граничных и во внутренних точках в тех случаях, когда метод фон Неймана оказывается непригодным. [c.82]

Упражнение. Применить метод Неймана для исследования устойчивости схемы с разностями против потока для уравнения переноса в случае нулевой вязкости [c.84]

Первая схема с разностями против потока 101 [c.101]

С учетом этого при переводе принято название схема с разностями против потока . — Прим. ред. [c.101]

Схему с донорными ячейками Джентри, Мартина и Дали мы будем рассматривать ниже, называя ее второй схемой с разностями против потока (см. разд. 3.1.11). [c.102]

Рассмотрим теперь применение схемы с разностями против потока к уравнению плоского течения, учитывающему как конвекцию, так и (физическую) диффузию. При постоянных положительных Ui, Vi получаем [c.103]

Как мы увидим позже, представление коэффициента схемной вязкости а.е для схемы с разностями против потока не единственно. [c.103]

Таким образом, оказывается, что полезные решения можно получать при помощи схем с разностями против потока, но при оценке точности результатов следует учитывать влияние схемной вязкости. Схемы с разностями против потока обладают [c.105]

Сравним полученный результат с результатом, который дает схема с разностями против потока при м > 0 [c.107]

Сполдинг предложил называть схему с разностями против потока схемой свинарника . Его мысль- заключается в том, что если рассматривать как концентрацию некоторого вещества, то мы должны почувствовать запах свинарника, когда находимся на его подветренной, а не на наветренной стороне (если исключить влияние диффузии). [c.109]

Применяя схему с разностями против потока, получаем Ag М.- м., [c.111]

В двух модификациях схемы с разностями против потока можно устранить появление искусственного источника. Первая модификация основана на первой схеме с разностями против потока (3.176), когда скорость не меняет знак ни между точками I — 1 и г, ни между точками I и /+ 1. Если же скорость меняет здесь знак, то конечно-разностная схема строится при помощи метода контрольного объема, охватывающего точку ). Итак, мы имеем [c.112]

По сравнению с первой схемой с разностями против потока в рассматриваемой схеме требуется проведение дополнительных вычислений для скоростей дополнительное численное дифференцирование функции тока я) для получения и и дополнительные расчеты средних значений (3.213). Однако эта схема точнее первой схемы при аппроксимации производной д(и1)/дх, так [c.113]

Упражнение. Определить фазовую и дисперсионную ошибки для схемы с разностями против потока. [c.124]

Упражнение. Применить схему с разностями против потока в случае двух пространственных переменных и отсутствия вязкости для уравнения переноса с постоянными коэффициентами [c.127]

Это аналогично тому случаю, когда во второй схеме с разностями против потока, формально имеющей точность О (Ах), остается кое-что от второго порядка точности при расчете конвективного поля, если слабо меняется в зависимости от пространственной переменной (см. разд. 3,1.11). [c.141]

Вторая схема обладает несколько меньшей фазовой ошибкой, чем первая, но обе эти схемы существенно лучше схем второго порядка точности. Все эти схемы не оказывают воздействия на компоненту возмущения с длиной волны Л = 2Ах, т. е. для нее имеет место полная фазовая ошибка, как п во всех схемах (за исключением схем с разностями против потока). [c.157]

В табл. 5.3 дополнительно приведены две схемы, названные в [47] комбинированной и степенной. Комбинированная схема представляет собой, по существу, гибрид центрально-разностной схемы (при I 2) и схемы с разностями против потока (при I > 2), в которой диффузия полагается равной нулю. Схема со степенным законом является хорошей аппроксимацией экспоненциальной схемы и при этом требует меньших затрат времени ЭВМ. Коэффициенты А (Iдля рассмотренных схем изображены на рис 5.12. Описанные выше схемы можно получать просто с помощью выбора различной зависимости А ). [c.163]

Упражнение. Повторить предыдущие два упражнения по определению условий устойчивости для схемы с разностями против потока, используя метод Хёрта. [c.77]

Эту схему Рихтмайер [1957] сначала приписывал Лелевье, впервые применившему ее для исследования течения невязкой сжимаемой жидкости при условии симметрии слоя. Робертс и Вейс [1966], Курцрок [1966] и Крокко [1965], по-видимому следуя Рихтмайеру, тоже связывали ее с именем Лелевье. В более поздней работе того же Рихтмайера (Рихтмайер [1963]) эта схема была названа схемой с разностями против потока [c.101]

Аналогично, результаты расчетов естественной конвекции, выполненных Торрансом [1968] также с использованием второй схемы с разностями против потока при большом числе Грасгофа (эквивалентном Ре 300), отличаются от решения, полученного при помощи схемы второго порядка, менее чем на 5%. Кемпбелл и Мюллер [1968], а также Мюллер и О Лири [1970] установили хорошее согласование результатов расчетов с данными физических экспериментов для нескольких отрывных течений при больших числах Рейнольдса. [c.105]

На примере расчета течения внутри замкнутой прямоугольной области с одной подвижной границей Торранс с соавторами [1972] показали, что результаты, полученные при помощи второй схемы с разностями против потока для уравнений в консервативной форме, значительно точнее результатов, полученных при помощи схемы второго порядка для уравнений в неконсервативной форме. [c.105]

И это указывает на то, что возмущение не переносится вверх по потоку. Таким образом, схема с разностями против потока обладает свойством транспортивности. Она обеспечивает однонаправленный поток информации (Франкел [1956]). [c.108]

Однако выбор разностей против потока отнюдь не всегда гарантирует свойство транспортивности схемы. Рассмотрим двумерную задачу, используя необычную схему с разностями против потока, в которой потоки определяются пространственным осреднением по обоим направлениям. Простоты ради предположим, что составляющие скорости постоянны. Тогда для уравнения [c.108]

Таким образом, возмущение из точки (а, Ь) переносится в направлении V в точку [а, Ъ — ) несмотря на то, что скорость и тождественно равна нулю. Данная схема не обладает свойством транспортивности, хотя она представляет собой некоторую разновидность схемы с разностями против потока. [c.109]

Формальное разложение в ряды Тейлора указывает на то, что схемы с центральными разностями точнее односторонних схем с разностями против потока. Как было отмечено в разд. 3.1.3 при обсуждении свойства консервативности, нри использовании неконсервативной схемы можно точнее аппроксимировать производную, но если в каком-либо критерии точности учитывается свойство консервативности, то система в целом не будет точнее. Оказывается, свойство транспортивности имеет такой же физический смысл, как и свойство консервативности. Схемы с разностями против потока, обладающие свойством транспортивности, точнее, чем схемы с центральными разностями для первых производных именно в этом смысле, а не в смысле порядка ошибки аппроксимации. [c.109]

Чтобы подчеркнуть значение свойства транспортивности в противоположность схеме с разностями против потока, рассмотрим схему с разностями по потоку или наветренные разностные схемы (Франкел [1956]). Такая схема неустойчива, но предполагается, что ее можно сделать устойчивой при помощи некоторого конечно-разностного представления производной по времени. С точки зрения точности представления только производных эта схема и схема с разностями против потока одинаково приемлемы. Однако в схеме с разностями по потоку возмущение будет переноситься за счет конвекции только вверх по потоку, а вовсе не в направлении скорости Это физический абсурд ), и стоит еще раз напомнить то, что было сказано относительно свойства консервативности точность конечно-разност-ного представления производных не эквивалентна точности представления дифференциального уравнения. [c.109]

Первая схема с разностями против потока (3.176) является консервативной, а также транспортивной до тех пор, пока составляющие скорости не меняют свой знак. Покажем для одномерного течения, когда все ы,- > О, что эта схема обладает свойством консервативности. Проводя такие же выкладки, как в разд. 3.1.3, получаем [c.110]

Легко проверить, что такая модификация делает первую схему с разностями против потока консервативной и транспор-гивной. При этой модификации требуется меньше арифметических операций, но по точности она уступает второй схеме с разностями против потока, к обсуждению которой мы теперь приступим. [c.113]

Во второй схеме с разностями против потока, называемой также схемой с донорными ячейками (Джентри, Мартин и Дали [1966]), по каждую сторону от узловой точки пространственной сетки находятся некоторые средние значения скоростей на границах ячейки знак этих скоростей определяет, из какого именно узла сетки надо взять значения для паписания разностей против потока. В одномерном случае будем иметь [c.113]

Схема Ранчела с соавторами [1969] алгебраически эквивалентна второй схеме с разностями против потока. За счет некоторых усложнений и увеличения числа арифметических операций в ней удается избежать связанных с определением знаков и и V логических операторов 1Р Фортрана. Прайс с соавторами [c.114]

В противоположность схемной вязкости в схеме с разностями против потока (3.179) вязкость в схеме Мацуно для нестационарного решения убывает с уменьшением М. Для стационарного решения коэффициент схемной вязкости равеи нулю. В этом легко убедиться, замечая, что при достижении стационарного решения результаты, полученные на каждом из обоих шагов схемы, будут совпадать (Аллен [1968], Аллен и Чен [1970]), так как обе формулы идентичны. (Все прочие двухшаговые схемы не обладают этим желаемым свойством.) Использование в этом случае центральных разностей для производной б /бх приводит к равенству ае = 0. [c.137]

При использовании неявных схем метода чередующихся направлений для расчета течений при больших Не (или при больших числах Грасгофа для течений со свободной конвекцией) многие исследователи обнаруживали вычислительную неустойчивость (или, возможно, очень малую скорость сходимости итераций). Они либо не смогли получить решение при больших Ке (напрпмер, Парис и Уитекер [1965], Торранс [1968]), либо были вынуждены осреднять с весом рассчитанные данные на старом и новом слоях по времени (Пирсон [1965а]), что эквивалентно уменьшению А/, либо переходили к схемам с разностями против потока для конвективных членов (Бао и Догерти [c.143]

Объем вычислений при этом существенно увеличивается. Моленкамп [1968] отмечает, что при использовании схемы с расположением узлов в шахматном порядке требуется в 45 раз больше машинного времени и в 4 раза больший объем памяти, чем при использовании схемы с разностями против потока. Формальная ошибка аппроксимации Е — 0 АР,Ах ) не выдерживается глобально во всех точках, если граничные условия тоже не будут иметь ошибку порядка 0 Ах ), что, как правило, не выполняется (см. разд. 3.3.2). [c.157]

Наконец, при оценке быстроты проведения серийных расчетов в зависимости от сложности метода и времени разработки программы необходимо рассматривать оба эти уравнения вместе. Если при решении уравнения Пуассона для функции тока используются итерационные методы, а в уравнении переноса вихря для дЦд1 берется простейшая одношаговая явная схема, то при нестационарном подходе обычно около 90% машинного времени затрачивается на решение уравнения У я] = Поэтому, если при представлении (3 /(3/ перейти к двухшаговой явной схеме (например, к схеме Аллена — Чена из разд. 3.1.15), то машинное время при решении всей системы уравнений для г]) и не удвоится, а только увеличится приблизительно на 10%. Тогда отношение скоростей расчета по схеме с разностями против потока и по схеме Робертса — Вейса четвертого порядка точности (разд. 3.1.19), равное 45, при решении всей системы уравнений для я1) и намного уменьшится (хотя и останется все еще значительным) и станет равным примерно 6. [c.211]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...