Схема со свойствами транспортивности

Исследовать схему на устойчивость. Выяснить, обладает ли данная схема свойством транспортивности. [c.532]

Метод исследования устойчивости, который мы называем методом дискретных возмущений, представляет собой обобщение метода, впервые использованного Томом и Апельтом [1961] и развитого Томаном и Шевчиком [1966]. Этот метод полностью отвечает уже данному нами описанию неустойчивости. Он прям и прост по идее, применим для анализа как устойчивости, так и свойства транспортивности, которое будет определено ниже. Коротко говоря, в уравнения в некоторой точке вводится дискретное возмущение величины и прослеживается влияние этого возмущения конечно-разностная схема будет устойчивой, если возмущения затухают. [c.62]

Рассматриваемая схема обладает еще одним важным свойством, связанным с двумя последними пунктами, а именно свойством транспортивности. Три группы авторов с успехом использовали физическую особенность схемы с односторонними разностями. Для того чтобы избежать введения пустых ячеек и улучшить свойства устойчивости Джентри, Мартин и Дали [1966] применяют разности с донорными. ячейками в методе FLI (метод жидкости в ячейках). При решении задачи о течении несжимаемой жидкости Томан и Шевчик [1966] определяют величину вихря в граничных ячейках в соответствии с направлением составляющих скорости на соответствующей границе и таким образом пользуются средним вихрем для ячеек, из которых он переносится . Франкел [1956] говорит об однонаправленном потоке информации . Все эти подходы тесно связаны с понятием свойства транспортивности , которое мы теперь определим. [c.106]

И это указывает на то, что возмущение не переносится вверх по потоку. Таким образом, схема с разностями против потока обладает свойством транспортивности. Она обеспечивает однонаправленный поток информации (Франкел [1956]). [c.108]

Однако выбор разностей против потока отнюдь не всегда гарантирует свойство транспортивности схемы. Рассмотрим двумерную задачу, используя необычную схему с разностями против потока, в которой потоки определяются пространственным осреднением по обоим направлениям. Простоты ради предположим, что составляющие скорости постоянны. Тогда для уравнения [c.108]

Таким образом, возмущение из точки (а, Ь) переносится в направлении V в точку [а, Ъ — ) несмотря на то, что скорость и тождественно равна нулю. Данная схема не обладает свойством транспортивности, хотя она представляет собой некоторую разновидность схемы с разностями против потока. [c.109]

Формальное разложение в ряды Тейлора указывает на то, что схемы с центральными разностями точнее односторонних схем с разностями против потока. Как было отмечено в разд. 3.1.3 при обсуждении свойства консервативности, нри использовании неконсервативной схемы можно точнее аппроксимировать производную, но если в каком-либо критерии точности учитывается свойство консервативности, то система в целом не будет точнее. Оказывается, свойство транспортивности имеет такой же физический смысл, как и свойство консервативности. Схемы с разностями против потока, обладающие свойством транспортивности, точнее, чем схемы с центральными разностями для первых производных именно в этом смысле, а не в смысле порядка ошибки аппроксимации. [c.109]

Чтобы подчеркнуть значение свойства транспортивности в противоположность схеме с разностями против потока, рассмотрим схему с разностями по потоку или наветренные разностные схемы (Франкел [1956]). Такая схема неустойчива, но предполагается, что ее можно сделать устойчивой при помощи некоторого конечно-разностного представления производной по времени. С точки зрения точности представления только производных эта схема и схема с разностями против потока одинаково приемлемы. Однако в схеме с разностями по потоку возмущение будет переноситься за счет конвекции только вверх по потоку, а вовсе не в направлении скорости Это физический абсурд ), и стоит еще раз напомнить то, что было сказано относительно свойства консервативности точность конечно-разност-ного представления производных не эквивалентна точности представления дифференциального уравнения. [c.109]

Легко проверить, что эта схема является консервативной и транспортивной. Эту схему просто интерпретировать с точки зрения метода контрольного объема, если величины скоростей на границах ячеек находятся как средние значения, а соответствующие величины определяются направлением потока. (Замечание. Если величины на сторонах ячеек определять тоже как средние, то получится схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным, не обладающая свойством транспортивности.) [c.113]

Пространственных производных. Подобно схемам чехарда , в них для расчета значений на некотором слое по времени используются значения на двух предшествующих слоях, но в то же время они не являются схемами типа чехарда , так как в них значение вычисляется как старое значение Щ непосредственно в предшествующий момент времени плюс соответствующее приращение. Следовательно, эти схемы не приводят к расчленению решений по временньш шагам, как схемы чехарда . Они не обладают свойством транспортивности и не дают точного решения при С = 1. [c.117]

Ошибки, связанные с различными свойствами схемы, включают в себя ошибки, обусловленные нарушением консервативности, ошибки, обусловленные нарушением свойства транспортивности, ошибки, связанные с численным затуханием и схемной вязкостью, ошибки, обусловленные нарушением принципа инвариантности Галилея (т. е. преобразования, связанного с обращением скорости невозмущенного потока), ошибки, связанные с ограниченностью рещения (или появлением осцилляций, обусловленных чрезмерно большим шагом по времени), фазовые ошибки и ошибки, обусловленные неразличимостью. Все эти ошибки являются ошибками аппроксимации в том смысле, что они стремятся к нулю при Ах->0, А/->0, но в действительности это лишь грубое определение. Например, ошибки, обусловленные нарушением консервативности, можно устранить независимо от ошибок аппроксимации (хотя при этом сохранится некоторый вклад от ошибок округления). Аналогично некоторые методы обладают свойством транспортивности, другие [c.169]

Схемы с конечными разностями против потока обладают свойством транспортивности (см. разд. 3.1.9, 3,1.10), которое существенно как для дозвуковых, так и для сверхзвуковых течений. Имеющая при этом место утрата второго порядка точности аппроксимации по пространственным переменным играет значительно меньшую роль в сверхзвуковых течениях, чем в дозвуковых мы сейчас переходим к обсуждению этого вопроса. [c.355]

Конечно, по-прежнему было бы весьма желательно сохранить второй порядок точности анпроксимации, присущий схемам с центральными разностями по пространственным переменным, как это было в случае несжимаемой жидкости. Однако в случае сверхзвуковых течений для достижения свойства транспортивности приходится жертвовать немногим. Оценка точности аппроксимации центральными разностями, проведенная в разд. 3.1.1, основана на разложении функций, описывающих течение, в ряды Тейлора в предположении непрерывности этих функций и их производных. Однако в случае сверхзвуковых течений невязкого газа производные, входящие в уравнения, не обязательно будут непрерывными. Действительно, характеристики определяются как линии, ири переходе через которые производные могут претерпевать разрыв (Курант и Фридрихе [1948], Шапиро [1953]) ). Значит, разложения в ряды Тейлора здесь ие всегда пригодны, и в случае сверхзвуковых течений снижение точности анирокспмации не столь важно ). [c.358]

Диффузионная схема дважды нарушает свойство транспортивности. Если, например, схема чехарда (см. разд. 3.1.6) переносит возмущения вверх по потоку против направления скорости, то диффузионная схема переносит их, кроме того, и в направлениях, перпендикулярных скорости. [c.364]

Мы уже указывали выше, что конечно-разностные аналоги могут воспроизводить некоторые свойства дифференциальных уравнений даже без перехода к пределу при Дх->-0, Д/->-0. Таковыми свойствами являются свойство независимости порядка дифференцирования б //бхбу = б //бубх, свойство консервативности, равенство единице множителя перехода для схемы чехарда и свойство транспортивности, которое будет кратко рассмотрено ниже. Уравнение диффузии, рассмотренное выше, обладает свойством ограниченности, которое заключается в том, что (х,/) никогда не превосходит максимальных значений начальных и граничных условий ), поставленных для уравнения (9 /(9/ = ад%/дх . Это справедливо и для конечно-разностной схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной при условии, что расчет устойчив. (Как указывалось в разд. 3.1.5. а, это свойство можно вывести из условия отсутствия осцилляций, обусловленных чрезмерно большим шагом по времени.) Гордон [1968] показал, что схема Дюфорта — Франкела не отражает такого поведения из-за наличия членов порядка 0(А/, Дх) и это является ее дополнительным недостатком. [c.98]

Схема слабо неустойчивая 135 со свойствами транспортивности а конвективности 110—113 Схемы для стационарных уравнений 161-168 [c.609]

Рассматриваемая схема обладает еще одним важным свойством, связанным с двумя последними пунктами, а именно свойством транспортивности. Три группы авторов с успехом использовали физическую особенность схемы с односторонними разностями. Для твго чтобы избежать введения пустых ячеек и улучшить свойства устойчивости Джентри, Мартин и Дали [c.106]

Конечно, по-прежнему было бы весьма желательно сохранить второй порядок точности аппроксимации, присущий схемам с центральными разностями по пространственным переменным, как это было в случае несжимаемой жидкости. Однако в случае сверхзвуковых течений для достижения свойства транспортивности приходится жертвовать немногим. Оценка точности аппроксимации центральными разностями, проведенная в разд. [c.358]

Первая схема с разностями против потока (3.176) является консервативной, а также транспортивной до тех пор, пока составляющие скорости не меняют свой знак. Покажем для одномерного течения, когда все ы,- > О, что эта схема обладает свойством консервативности. Проводя такие же выкладки, как в разд. 3.1.3, получаем [c.110]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...