Первое неравенство Корна

Первое неравенство Корна [c.17]

Установим теперь оценку (3.16). Для этого положим в (3.17) ш=ы—ф, ю=и—ф. Пользуясь неравенством Фридрихса (12) и первым неравенством Корна (2.2), а также равенствами (3.13), устанавливаем [c.33]

Доказательство. Неравенство (4.4) вытекает из первого неравенства Корна (2.2) гл. I в области й, поскольку можно продолжить хю нулем на множество й й до вектор-функции из Я (й). [c.142]

И, естественно, будем иметь совершенно аналогичные неравенства для производных по /, и З/. Наконец, комбинируя, как уже говорилось, неравенства, полученные для ж У, с первой теоремой Корна, получим искомое неравенство вида [c.228]

Условия (П. 7. 13) являются не только необходимыми, но и достаточными условиями устойчивости. Действительно, из них следует, что модуль одного из вещественных корней лежит в интервале а < 1 1 < 1. Если два других корня комплексны, то в силу равенства (П. 7. 9) и первого неравенства (П. 7. 13) их модули меньше единицы. Если же эти корни вещественны, то на основании равенства (П. 7. 9) по крайней мере один из них по модулю меньше -единицы. Но в таком случае в силу второго неравенства (П. 7. 13), равносильного неравенствам (П. 7. 8), остающийся корень также же может быть > 1 или < — 1. [c.289]

II) 61 и 62 имеют, противоположные знаки. В данном случае первое неравенство из (35) заведомо выполняется. Но корни уравнения (34) должны иметь противоположные знаки, т. к. произведение теперь отрицательно. Положительный корень приводит к членам вида следовательно, система обладает обыкновенной неустойчивостью. [c.48]

Вопросам усреднения уравнений с частными производными и их приложениям посвящена обширная литература. Настоящая книга почти не имеет пересечений с другими монографиями, в которых излагаются задачи усреднения дифференциальных операторов. Особое внимание в ней обращено на задачи, связанные с линейной стационарной системой теории упругости. Поэтому для удобства читателя первая глава книги содержит материал, относящийся к исследованию стационарной системы теории упругости. В ней рассматриваются вопросы существования и единственности решений основных краевых задач теории упругости, неравенства Корна и их обобщения, априорные оценки решений и их свойства, краевые задачи в так называемых перфорированных областях и свойства их решений, а также приводятся некоторые вспомогательные сведения из функционального анализа. Все эти результаты используются в последующих главах, многие из них излагаются впервые. [c.6]

Замечание 2.12. Неравенство вида (2.20) имеет место для любой гладкой ограниченной области 2 (достаточно, чтобы 5 2 удовлетворяла условию Липшица), так как в этом случае 2 можно представить как сумму конечного числа звездных областей. Замечание 2.13. Несколько усложняя доказательство теоремы 2.10, можно уточнить коэффициент при первом интеграле в правой части (2.20). Именно, при предположениях теоремы 2.10 имеют место неравенства Корна вида [c.27]

Граница устойчивости (по мере увеличения v) определяется появлением вещественного корня трехчлена в левой стороне этого неравенства (комплексные значения не удовлетворяют условию конечности возмущения во всей плоскости X, у). Первое такое появление происходит для возмущения с п = I. Для него находим критическое растяжение и соответствующее значение ft = кр ) [c.235]

В области 1 неравенство (25.20) имеет один корень, в области 2 два корня, в области О — ни одного. Н есть область неустойчивости системы. При всех сочетаниях значений параметров, лежащих в первых двух областях, существуют такие интервалы частот, в которых [Ф > Л8, т. е. имеют место резонансные явления, iФl [c.134]

Абсолютная величина квадратного корня полученного выражения при < О больше абсолютной величины первого слагаемого. Это указывает на то, что одно из граничных значений фактора торможения положительное, а другое 2 — отрицательное. Ограничиваясь лишь положительным значением д, можно сделать вывод, что неравенство (274) удовлетворяется лишь при > [c.294]

Непосредственное отыскание корней вида (81) характеристического уравнения (75) сопряжено с громоздкими вычислениями, поэтому заметим, что производная по о , от выражения — mg al — аз)(а2 — аз), стоящего в левой части первого из неравенств (77), не равна нулю при ш (так как J > О, < 0), и докажем, что это возможно лишь при условии а ф 0. Действительно, при указанных условиях два других корня уравнения (75) могут иметь вид [c.453]

В силу неравенства (2-9-9) каждый последующий член ряда (2-9-7) с увеличением Fov/ будет исчезающе малым по сравнению с предыдущим, а сумма всех корней будет отличаться лишь на малую величину от величины первого члена. Поэтому, начиная с определенного значения числа Фурье Fo , можно ограничиться одним первым членом ряда, т.е. [c.165]

Происшедшее в точке Л кр своеобразное расщепление вещественной части комплексных выражений 1,2 = —а /Р на два равных отрицательных вещественных корня —а далее при возрастании коэффициента при первой производной г выше этого критического значения, т. е. г 2]/ кт, сохраняет вещественность и отрицательность корней Я.1 и Яг, но приводит к неравенству их, что, в свою очередь, ведет их к расположению также парами — но уже на вещественной отрицательной оси О. Таким образом, можно резюмировать все рассуждения о влиянии изменения параметра г следующим образом. [c.69]

Область значений К в первой зоне Бриллюэна описывается неравенством —л/а К п/а, где а — период решетки второй случай отвечает границам первой зоны, где значения К максимальны, т. е. Л тах — п1а тогда имеем корни [c.192]

Если же выполнено неравенство О <27 х (1 — р,) <1, то уравнение (3.8) имеет четыре различных чисто мнимых корня и ТОЧКИ либрации устойчивы в первом приближении. Полностью вопрос об устойчивости в этом случае не может быть решен рассмотрением линейной задачи. Согласно теореме Ляпунова об устойчивости ПО первому приближению строгое решение возможно лишь при учете нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения. [c.27]

В главе 1 получены пять точек либрации г (1 = 1, 2,.. 5) ограниченной задачи трех тел и в случае круговой задачи исследована их устойчивость в первом линейном приближении. Показано, что прямолинейные точки либрации 1, 2 и Ьз неустойчивы в линейном приближении, так как соответствующие им характеристические уравнения имеют корни с положительными вещественными частями. Отсюда следует неустойчивость точек либрации 1, и и в строгой нелинейной постановке. Треугольные точки либрации линейном приближении устойчивы только при достаточно малом отношении масс основных притягивающих тел 5 и / более точно, при выполнении неравенств (3.1) главы 1. [c.122]

Так как все эти значения положительны, то (см., например, [351) при и 4 уравнение /(и) О не имеет корней. Тем самым доказана выполнимость неравенства Ф О при всех ц из области устойчивости в первом приближении (кроме ц = и ц = = Цг)- А значит, доказана и сформулированная в начале параграфа теорема об устойчивости точек либрации для большинства начальных условий. [c.135]

Достаточным условием устойчивости резонатора по первому приближению является требование, чтобы корни уравнения (134) были различны и принадлежали интервалу (—1, 1). Это требование приводит к системе неравенств [c.276]

Естественно, определив и 7, надлежит проверить выполнение неравенства В связи с этим в принципе возможны три случая. Во-первых, может оказаться, что в некоторой области значений волнового вектора величина 1т ( , ш) = 0 и, следовательно, т( ) = 0. Тогда уравнение (18.7) будет точным, и вещественные корни его определят незатухающие колебания. Комплексные корни (18.7), по-видимому, не представляют интереса, ибо вещественные и мнимые части их будут, вообще говоря, одного порядка. Во-вторых, возможен случай, когда 1т (к, — 0 где > ,г( ) — вещественный корень уравнения (18.7). Тогда в данном приближении 7 (й) = 0 иначе говоря, затухание есть величина высшего порядка по е. Наконец, может случиться (в 20 мы увидим, что это действительно бывает), что при определенных значениях к неравенство 7 не выполняется. Это будет обозначать невозможность существования плазменных колебаний с такими волновыми числами, и таким путем возникает одна из естественных границ плазменного спектра. [c.166]

Что касается случая систем без предварительного напряжения в ненагруженном состоянии, то при их расчете, очевидно, следует использовать более тонкие оценки модуля корня, чем те, которые даются первым из неравенств (182), либо использовать приемы вычисления корпя нелинейного уравнения, не требующие двусторонних оценок области существования корня. [c.110]

Неравенство (8) остается в силе, но знак первого выражения будет уже положительным. А значит все корни вещественные, причем два из них больше нуля. Наличие положительных корней говорит о том, что если вывести механизм из состояния равновесия, то он апериодически уйдет как угодно далеко от этого состояния. [c.18]

Согласно (40) и (41) характер экстремума функции Л + В или — Л — В, соответствующего устойчивым движениям, меняется в зависимости от характера анизохронизма объектов, а действие связей первого и второго рода в известном смысле противоположно В отличие от систем с почти равномерными вращениями условия устойчивости, выражаемые с помощью уравнения (8) или условия минимума функции D, в данном случае являются лишь необходимыми кроме того, для устойчивости корни уравнения (8) должны быть вещественными и отрпцательными. Дополнительные соотношения, дающие систему необходимых и достаточных условий, можно получить на основе результатов работы [31]. В частном случае квазиконсервативных объектов с одной степенью свободы при наличии связей, ие вносящих в систему новых степеней свободы, указанные дополнительные условия устойчивости сводятся к неравенствам [30] [c.226]

Решение такой задачи возможно на основании исследования одной матрицы II Pij ( o) II- В зависимости от свойств корней характеристического уравнения pij ( o) — О Каменков указал все случаи, когда вопрос о наличии или отсутствии устойчивости в указанном смысле не зависит от членов выше первого порядка малости. В случае устойчивости Каменков указал способ определения оценки снизу для величины интервала т, отметив при этом, что эта оценка не определяет максимального значения времени I, гарантирующего соблюдение неравенства [c.64]

Если же хотя бы одно из неравенств (9.111) не выполняется, то уравнение (9.110 ) необходимо будет иметь корни с положительными вешественными частями, откуда следует, что нулевое решение системы (9.110) будет неустойчиво в первом приближении. Но тогда из теорем 3 главы II следует, что и нулевое решение полной системы (9.98) также будет неустойчиво, каковы бы ни были члены высших порядков в разложении функции [c.452]

В 16 нами также была установлена разрешимость краевых задач нелинейной теории пологих оболочек в перемещениях. Представляет интерес сравнительная оценка приведенных двух методов доказательства разрешимости. В связи с зтим, во-первых, укажем их некоторые общие корни. Читателю уже, видимо, ясно, что в корне зтих двух доказательств лежит неравенство (16.19) в лемме 16.3. Вместе с зтим оба метода идейно существенно раз- [c.186]

И Принимая во внимание знаки свободного члена и коэффициента при X в первой степени, мы придем к неравенству (7.85), которое указывает на то, что хотя бы у одного корня имеется положительная вещественная часть, т. е. что равновесие неустойчиво. Следовательно, диссипативные силы разрушают гироскопическук> стабилизацию. [c.474]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...