Принципы наименьшего действия и стационарного действия

ПРИНЦИПЫ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ И СТАЦИОНАРНОГО [c.338]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

В свете всего сказанного о параметрических системах формулировка принципа наименьшего действия для консервативных систем, данная Эйлером и Лагранжем, получает новый смысл. Напомним, что этот принцип требует минимизации интеграла по времени от величины 2Т при условии, что для движущейся точки выполняется энергетическое уравнение Т + V = . При переходе от пространства конфигураций к фазовому пространству принцип Эйлера — Лагранжа принимает следующую форму. Требуется найти условия стационарности интеграла [c.221]

Казалось бы, из наших рассуждений следует, что принцип Ферма является истинным минимальным принципом, а не принципом стационарного значения, если сравнение происходит в локальном ) смысле, т. е. если истинные траектории сравниваются с траекториями, находящимися поблизости. Однако для справедливости нашего вывода требуется, чтобы вдоль всей траектории Т волновые поверхности были хорошо определенными, однозначными поверхностями с определенными нормалями. Между тем может возникнуть и другая ситуация (рис. 22). Рассмотрим пучок лучей, исходящий из точки М. Эти лучи вначале расходятся, но затем они могут снова начать сходиться, так что соседние траектории Т и Т могут пересечься в какой-то точке /И. В этом случае волновая поверхность, которой принадлежит точка М., вырождается в точку, (В оптических инструментах каждому точечному источнику световых волн М должно соответствовать изображение Л1, где волновые поверхности вырождаются в точку.) Наше заключение о настоящем относительном минимуме справедливо лишь до точки Л1, но не может быть распространено на область яа точку /И, так как в этом случае близкие траектории проходят через область, где они не пересекают никаких волновых поверхностей. Тогда величина О перестает быть действительной, а неравенство > становится иллюзорным. При соответствующе ситуации в механике точка М называется кинетическим фокусом , сопряженным с точкой М на траектории Т. После того как мы проходим через кинетический фокус, принцип наименьшего действия перестает быть минимальным принципом. [c.310]

В этом заключается принцип наименьшего действия. Таким образом, для истинной траектории действие имеет стационарное значение по сравнению с его значениями на варьированных траекториях с теми же концевыми точками (в д-пространстве) и той же энергией. [c.545]

Исключение координат. Теория исключения координат, развитая в 10.1, может быть выведена из вариационного принципа, аналогичного принципу наименьшего действия. Мы будем рассматривать функционал, который принимает стационарное значение не во всем классе кривых сравнения, соединяющих концевые точки, а лишь в классе кривых, подчиненных известному ограничению. В этом параграфе мы выведем снова некоторые полученные ранее формулы (см. 10.1), и хотя здесь мы не получим никаких новых результатов, однако рассуждения, приводящиеся ниже, представляют известный самостоятельный интерес. Возьмем голономную систему с п степенями свободы, причем первые тп координат i, 2. ч Чт будем считать циклическими. [c.552]

Рассмотрим некоторые частные видоизменения принципа наименьшего действия. Пусть наложенные на систему связи идеальны и стационарны, а активные силы на систему не действуют. В этом случае из теоремы об изменении кинетической энергии механической системы следует, что [c.138]

Как известно, в динамике дискретных систем подобная вариационная задача, приводящая к уравнениям Лагранжа 2-го рода, составляет содержание принципа стационарного (или наименьшего) действия. Согласно этому принципу рассматривается совокупность траекторий движения изображающей точки в пространстве конфигураций системы, характеризуемой функцией Лагранжа между двумя положениями и (/1) при этом утверждается, что по сравнению с соседними траекториями вдоль траектории действительного движения [c.434]

Рассмотрим движение материальной системы с конечным числом степеней свободы относительно инерциальной системы отсчета. Предположим, что связи голономные, идеальные и стационарные, активные силы потенциальные, и что функция Лагранжа, построенная для системы, не зависит явно от времени. Следовательно, рассматриваемая система консервативная (может быть, обобщенно-консервативная). Требование консервативности системы свидетельствует о том, что область применимости принципа наименьшего действия значительно уже области, в пределах которой справедлив принцип Гамильтона. [c.252]

Условие стационарности действия реализуется на функции м(х), удовлетворяющей уравнению (2.1). Таким образом, квантовая теория индуцирует эволюцию классического поля м(х), т.е. отсутствие его бифуркаций. Более того, она позволяет понять, почему существуют вариационные принципы классической механики и, в частности, принцип наименьшего действия Гамильтона. Сначала покажем, почему возникает этот вопрос. Дело в том, что принцип наименьшего действия (2.113), постулируемый в классической механике [40] приводит не к начальной задаче, в которой заданы координата и скорость в начальный момент времени а к [c.66]

Уильям Роуан Гамильтон, видный ирландский математик, в статьях Об общем методе динамики , написанных в 1834—1835 гг., для определения движения вводит новые переменные и новые функции, формулируя общий принцип наименьшего действия. "При этом главная функция, зависящая от начальных и конечных координат и времени, равна сумме живых сил (Г) и сил напряжения (Я). Последние, называемые силовой функцией, для стационарных, то есть не изменяющихся во времени, консервативных систем (механических систем, при движении которых сумма Т- П постоянна), выражают полную энергию системы. [c.117]

Продолжая исследования М. В. Остроградского, Ф. А. Слудский ) и затем М. И. Талызин ) показали, что принцип наименьшего действия в форме Эйлера—Лагранжа и принцип Гамильтона—Остроградского существенно различны. Дело в том, что в принципе Гамильтона вариации координат 6 , изохронны и время не варьируется, так как каждой точке действительной траектории ставится в соответствие точка на другой бесконечно близкой кривой, причем обе точки проходятся в один и тот же момент времени. В случае же принципа Эйлера— Лагранжа связи стационарны и имеет место закон живых сил Т = U + h. При этом допущении время должно варьироваться. [c.834]

Принцип Остроградского — Гамильтона часто называют принципом наименьшего действия. Такое наименование может быть присвоено этому принципу только с некоторыми существенными оговорками. Дело в том, что наименьшее значение действие. 8 имеет не между двумя любыми положениями, а только тогда, когда начальное положение (А) и конечное (Б) достаточно близки друг к другу1>. Па перемещениях, превышаю1цих некоторую границу, действие 5, оставаясь стационарным, может не иметь минимума и даже оказаться максимумом. Впрочем, для приложений принципа Остроградского — Гамильтона в теории колебаний достаточно установленного факта — обращения в нуль первой вариации 8 на действительном перемещении. Поэтому другие свойства действия 5 здесь не рассматриваются [Ф. Р. Гантмахер, 12]. [c.37]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...