Тензорные функции тензорного аргумента

В уравнении (3-5.4) использовалась тензорная функция тензорного аргумента ехр А. Определение и свойства этой функции приведены ниже. [c.118]

Это определение обобщается на тензорные функции тензорного аргумента Q (А) — монотонно возрастающая функция А, если условие [c.177]

Тензорные функции тензорного аргумента [c.458]

ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ ТЕНЗОРНОГО АРГУМЕНТА 461 [c.461]

Теперь кратко рассмотрим вопрос о скалярных функциях тензорного аргумента. Они вводятся соотношениями, которые ставят в соответствие любому заданному тензору некоторую скалярную величину [c.27]

Имеются две категории скалярных функций тензорного аргумента те, для которых указанное соотношение зависит от выбора некоторой другой величины, и те, для которых это соотношение определяется единственным образом. Последние называются инвариантами, или изотропными функциями. Например, соотношение, которое ставит в соответствие любому заданному тензору одну из его компонент, является скалярной функцией, которая зависит от выбора векторного базиса. Так, соотношение [c.27]

Конечно, простейший пример функции имеет место в случае, к гда как аргумент (или аргументы), так и значение функции являются скалярными величинами. Тем не менее распространение этого понятия на другие случаи оказывается интуитивно весьма несложным. В частности, мы трактовали тензоры как векторные функции векторных аргументов, обладающие специальным свойством линейности. Кроме того, мы встречались с функциями тензорных аргументов, значения которых могут быть скалярами, векторами или тензорами. [c.134]

Различие между функцией и функционалом заключается в том, что, в то время как аргументом функции является некоторая величина (будь то скалярная, или векторная, или тензорная), аргументом функционала является функция. Здесь возникает некоторое затруднение, поскольку тензоры сами были определены как функции однако специальное свойство линейности предполагает, что тензоры однозначно определены их девятью компонентами, так что функцию тензорного аргумента можно рассматривать фактически как функцию девяти скалярных аргументов. [c.135]

В книге с единой точки зрения излагаются математические основы метода ориентационного усреднения, рассматривается его приложение в разных областях механики материалов. Обсуждаются методы конструирования тензоров инвариантным интегрированием по группе вращений, интегральные представления тензоров второго ранга, конструирование функций тензорного аргумента и др. На основе общего математического аппарата получены определяющие уравнения статистических теорий пластичности, в частности локальных деформаций. Метод ориентационного усреднения использован для расчета прочности и накопления повреждений. На основе метода развита структурная теория неупругого деформирования пространственно армированных композитов при простом и сложном нагружениях с учетом пластических и вязкопластических свойств компонентов. [c.299]

Таким образом, классические тензорные функции (1.42) симметричного тензора-аргумента имеют вид [c.34]

Здесь Р(х, и), Q(x, и) — дважды непрерывно дифференцируемые тензорные функции аргументов х, i в области определения (7 С х 0, где [c.85]

Направление развития трещины определяется изотропной векторной функцией тензорных и векторных аргументов [c.770]

Конвективная производная функции тензорного аргумента Q, следуя определению производной по тензору, вводится соотношением [c.32]

Вторая вариация скалярной функции тензорного аргумента [c.35]

Для функции тензорного аргумента этому определению сопоставляется соотношение [c.188]

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ ТЕНЗОРНОГО АРГУМЕНТА 447 [c.447]

Скалярная функция тензорного аргумента. Производная скаляра по тензору [c.448]

Понятие изотропной функции обобщается на тензорные функции от тензорного аргумента. Функция F (Q, S,. ..) называется изотропной, если для всех тензоров О ортогональной группы выполняется соотношение [c.458]

В первой из них развита обш ая теория симметрии в трехмерном пространстве, проблема классификации кристаллов с точечной симметрией и теория структуры нелинейных тензорных функций от нескольких тензорных аргументов. Во второй содержится систематическое изложение общего метода построения усложненных моделей сплошных сред с внутренними степенями свободы на основе универсального базисного вариационного уравнения. [c.7]

НЕЛИНЕЙНЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ТЕНЗОРНЫХ АРГУМЕНТОВ ) [c.436]

Целые числа pJ ,. .., Рщ определяют ранги тензоров Т . В общем случае числа р ,. .., р различны между собой и не равны г. По определению назовем тензор Ш функцией тензоров Т ,. .., Т г. Тензоры 2, среди которых могут быть как переменные, так и постоянные, являются тензорными аргументами тензорной функции Н. [c.439]

Ниже рассмотрены только такие тензорные функции, когда среди тензорных аргументов содержится тензор д. [c.439]

Ниже даются способы построения общих формул вида (1.3) для тензорных функций. Для этого потребуется строить линейно независимый тензорный базис Н (s =1, , р) через тензорные аргументы [c.440]

При рассмотрении принципа детерминизма напряжения мы столкнулись с проблемой, когда текущее напряжение определяется всей историей деформирования. Таким образом, требуется некоторое правило, посредством которого напряжение можно было бы вычислить (хотя бы в принципе) по заданной истории деформирования. История деформирования сама является функцией, а именно тензорной функцией скалярного аргумента (времени). Это означает, что существует необходимость в отображении, преобразующем тензорную функцию в тензор. Скалярным аналогом этого является отображение, переводящее обычные скалярные функции в числа, т. е. некоторое правило, посредством которого [c.134]

Тензорной функцией s тензорных аргументов называется отображение, став5гщее в соответствие каждой совокупности тензоров различного ранга рк (к=1, 2,. .. s) из некоторого множества. тензор ранга q [c.17]

В работе В. В. Лохина (1963) было отмечено удобство классификации анизотропных сред по их точечным группам симметрии. Показано, что любой тензор, инвариантный относительно данной точечной группы, можно представить в виде линейной комбинации тензоров, составленных при помощи тензорных операций из некоторого минимального набора тензоров. Л. И. Седов и В. В. Лохин (1963) выявили такие системы тензоров для 7 типов текстур и всех 32 классов кристаллов. Установлен общий вид формул для тензоров произвольного ранга, являющихся нелинейными тензорными функциями скалярных и тензорных функций произвольного ранга (см. также В. В. Лохин и Л. И. Седов, 1963). Показано, что для построения тензорных функций необходимо и достаточно знание полной системы функционально независимых совместных инвариантов рассматриваемых тензоров и тензорных аргументов. Выявлена структура тензорных функций, описывающих состояние текстур и некоторых классов кристаллов (В. В. Лохин, 1963). [c.74]

Постулат изотропии и исследования по вопросам общей теории тензорных функций и функционалов, возникшие в связи с проблемами реологии пластических сред. Множество ш всех симметричных двухвалентных тензоров, которые можно определить для фиксированной точки сплошной среды, замкнуто относительно линейных композиций своих элементов и потому представляет некоторую шестимерную линейную систему. С точки зрения линейных свойств эта система вполне аналогична шестимерному евклидову пространстбу. Но между этими линейными системами имеется и существенное различие. Так, вектор в евклидовом пространстве (независимо от числа измерений пространства) имеет лишь один скалярный инвариант , в то время как элемент системы ш — три независимых таких инварианта. Это обстоятельство было главным аргументом одной из сторон в дискуссии о постулате изотропии (Д. Д. Ивлев, 1960 В. В. Новожилов, 1961). Позднее В. В. Новожилов более точно охарактеризовал специфику линейной системы ш и наметил путь построения ортонормированного базиса такой системы (1963). К. Ф. Черных (1967) детализировал эти соображения, построив конкретный пример такого базиса. [c.94]

Символ vR (Р) в этих формулах следует рассматривать просто как ошзначение тензорной функции аргумента Р. Если, однако, придать этому имволу смысл градиента, как это сделано в (9), то получается принцип допол-ительной работы в форме (11). Доказательство того, что указанный символ действительно можно считать градиентом, следует ниже- [c.143]

Предположение о том, что ip, t, т] и q — функции одного и того же множества аргументов, можно назвать гипотезой равно-представленности-, ей не следует придавать больЩое значение это всего лишь мера предосторожности Разумеется, скалярные, векторные и тензорные функции ip, t, rj и q считаются достаточно дифференцируемыми в области их определения D. Множество из семи функций (F, 0, G, ip. t, q), удовлетворяющих определяющим уравнениям (2.10.1), локальным балансным уравнениям и второму закону термодинамики, определяют, как говорят, допустимый термоупругий процесс. Такой процесс приобретает конкретную форму, если известны решения [c.124]

Легко цроверяется, чтр если, - изотропная Й нкция тензора 6, то ЬЗ / Ъй есть тензорная изотропная функция тензора < . Поэто из сйомЕ Т2, формулы (I) И первой формулы (6) следует, что тензор также является изотропной тензорной йгнкцией тензора 6 Отсюда, согласно теореме о тензорах изотропных функциях тензорного аргумента (см, МЛ.И), -получавтся представление [c.17]

Фактическое построение целого рационального базиса для текстур и для кристаллических групп производилось в работах Дёринга [ ], Смита и Ривлина [ ], Пипкина и Ривлина [ ] и Ю. И. Сиротина [ > ]. Ниже показано, что для построения тензорных функций необходимо и достаточно пользоваться полной системой функционально независимых совместных инвариантов [ > 1 ], образованных из компонент тензоров, задающих группы симметрии, и других тензорных аргументов. [c.437]

Тензоры, являющиеся функциями тензорных аргументов, рассматривались в случае тензоров второго ранга. В этом случае функциональные связи между тензорами сводятся к функциональным соотношениям между квадратными матрицами. В этой области основные результаты сводятся к формуле Гамильтона — Кэли и к ее обобщению на случай нескольких матричных аргументов [ -г, 26-28] [c.437]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...