Пересечение плоскости с конусом

Пересечение плоскости с конусом [c.102]

На рис. 358 построена линия пересечения коноида с конусом. Коноид задан направляющими линиями аЬ, а Ъ и d, d и плоскостью параллелизма Nh, а конус — направляющей линией, лежащей в плоскости Му, и вершиной ss. [c.248]

На рис. 368 построена линия пересечения сферы с конусом, направляющей линией которого служит параллель аЬ, а Ь сферы, а вершина ss находится во фронтальной меридиональной плоскости сферы. Эти поверхности заданы фронтальными очерками. [c.258]

Итак, начинаем с построения линии пересечения плоскости основания конуса с плоскостью, касательной к конусу (рис. 216, в). Это делаем путем нахождения точек пересечения прямых АЗ и D с плоскостью треугольника EFG. Через АВ и D проведены вспомогательные горизонтально-проецирующие плоскости и Q. [c.165]

На фронтальной проекции большая ось ЛВ эллипса — линии пересечения фронтально-проецирующей плоскости с конусом — проецируется в натуральную величину [АВ = а Ь ]. Малая ось МЫ эллипса перпендикулярна большой и проецируется в точку т (п ) в середине фронтальной проекции а Ь большой оси. [c.114]

Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения сферы с конусом вращения (рис. 10.2). [c.129]

На фронтальную плоскость проекций линии пересечения призмы с конусом спроектируются в трапецию 1у—1у—2у—2у, так как приз.ма является фронтально-проектирующей поверхностью. [c.157]

Строим характеристику оси вращения и соединяем с ней плоскостями данные линии пересечение плоскостей с соответствующими конусами, проходящими через данные линии, дает соответствующие им нормали неподвижных плоскостей проведя эти плоскости, найдем в их пересечении третью не изменяющую направления линию. [c.54]

Простейшие секущие плоскости оказываются особенно удобными при определении точек пересечения прямой с конусом и цилиндром, что будет рассмотрено ниже, в 46, а также при построении линии пересечения двух многогранников. [c.104]

На основании изложенного можно найти круговые сечения эллиптического конуса и эллиптического цилиндра (см. стр. 194). Пример дан на рио. 405. Взята некоторая сфера так, чтобы она имела двойное соприкосновение с поверхностью эллиптического конуса. В пересечении сферы с конусом получаются две плоские кривые — окружности в профильно-проецирующих плоскостях 7 и Р (показаны профильные следы этих плоскостей). Плоскости, параллельные плоскостям Г и О, дают две системы круговых сечений эллиптического конуса [c.279]

Вид линии пересечения плоскости с цилиндром и конусом изменяется в зависимости от угла ф наклона секущей плоскости к оси вращения (табл. 14). [c.121]

При последовательном качении большого круга по основным конусам Кг и /Са получаем сопряженные сферические эвольвенты Эх и 5а, описываемые на сфере точкой Р. Если точки полученных сферических эвольвент Э и 5а соединить с центром О сферы, то получим сопряженные конические поверхности, очерчивающие боковые части зубьев касание их в момент зацепления будет всегда происходить в плоскости большого круга, часть которого, ограниченная линиями пересечения его с конусами головок, будет представлять собой плоскость зацепления. [c.291]

Заключим прямую а в плоскость, проходящую через вершину конуса (см. /129/), задав ее прямыми а и В5 (В — произвольная точка прямой а). Прямая а пересекается со своей вторичной проекцией в точке А, прямая В8 со своей проекцией — в точке С. Соединив точки А я С прямой, получим линию пересечения плоскости основания конуса со вспомогательной плоскостью а X В8. [c.341]

Заднюю поверхность с пересечением плоскости и конуса получают следующим образом. После конической заточки с повыщенным задним углом наносят вдоль главных кромок узкие фаски с нормальным углом а. Такое сверло работает лучше, чем при конической заточке и по своему внешнему виду и эксплуатационным качествам приближается к двухплоскостной заточке. [c.45]

Так как все кривые второго порядка — плоские (плоскость, проходящая через три точки кривой, должна содержать всю кривую целиком), то простейшие пространственные алгебраические кривые — третьего порядка. Получить все возможные пространственные кривые третьего порядка можно на основе следующего предложения кривая и-го порядка проектируется из своей обыкновенной точки конусом я—1-го порядка. Действительно, плоскость, проходящая через вершину конуса, пересечёт его только по образующим, проходящим через точки её пересечения с кривой число же их, не считая вершины конуса, равно п—1. Из этого же рассуждения видно, что если вершину конуса выбрать в особой, двойной точке кривой (узел и изолированная точка являются двойными, см. [1]), то порядок конуса снизится по сравнению с порядком проектируемой кривой на две единицы, так как на счёт вершины конуса придётся относить не одну, а две точки пересечения плоскости с кривой. Если Ж и — две точки кривой третьего порядка, то, проектируя её из этих точек, мы получим её, как пересечение двух конусов второго порядка с вершинами в точках уИ и имеющих общую образующую МЫ. Здесь кривая пересечения конусов распалась на пространственную кривую третьего порядка и на прямую — кривую первого порядка . Характерно то, что сумма порядков частей распавшейся кривой равна порядку полной кривой пересечения двух конусов второго порядка — четырём. Пример кривой третьего порядка мы видели на черт. 10, где два конуса второго порядка пересекались по образующей и кривой третьего порядка. Следующее за кривыми третьего порядка место по простоте занимают биквадратные кривые. [c.266]

При пересечении плоскостью многогранника (например, призмы, пирамиды и др.) в сечении получается многоугольник с вершинами, расположенными на ребрах многогранника. При пересечении плоскостью тел вращения (цилиндра, конуса и др.) фигура сечения часто ограничена кривой линией. Точки этой кривой находят при помощи вспомогательных линий-прямых или окружностей, взятых на поверхности тела. Точки пересечения этих линий с секущей плоскостью будут искомыми точками контура криволинейного сечения. [c.94]

Изометрическую проекцию линии пересечения можно построить и при помощи нахождения точек пересечения изометрических проекций образующих цилиндра с овалами, по которым вспомогательные горизонтальные плоскости пересекают конус. Эти построения представлены на рис. 196,6. Как видно из этого рисунка, вычерчивание многих овалов различных размеров, более затруднительно, чем в предыдущем координатном способе. [c.111]

Если поверхности двух конусов (рис. 203, в) описаны около шара, то они касаются шара по двум окружностям. Окружности пересекаются в двух точках, которые проецируются на фронтальную плоскость проекций в точку F. Плоскости, в которых лежат эти окружности, пересекаются по прямой, соединяющей точки пересечения линий касания конусов с шаром. Окружности проецируются на фронтальную плоскость проекций в виде прямых линий. [c.114]

На рис. 328 показана схема построения точки пересечения кривой линии D с конусом, заданным верщиной S и направляющей линией А В, лежащей в плоскости Q. [c.224]

Проводя вспомогательную секущую фронтальную меридиональную плоскость конуса вращения, определяем точки пересечения главного меридиана конуса вращения с параллелью (окружностью) проецирующего цилиндра. [c.230]

Для построения линии пересечения проводим следы вспомогательных секущих плоскостей через вершины направляющего многоугольника пирамиды и точки направляющей линии конуса, принадлежащие его очерковым образующим, а затем проводим ряд промежуточных следов. Образующие заданных поверхностей, проходящие через точки пересечения следов вспомогательных плоскостей с направляющими линиями, пересекаются между собой в точках, принадлежащих искомой линии пересечения. [c.236]

Точки пересечения производящей линии коноида с конусом определяются с помощью вспомогательной плоскости производящей, проходящей через вершину ss заданного конуса. Для построения точки пересечения, например, производящей линии IJ, 1 Г коноида с конусом, проводим через вершину конуса прямую линию, параллельную положению II, 1 Г производящей линии, и находим точку ее пересечения а с плоско- [c.248]

На рис. 373 показан пример пересечения поверхностей второго порядка. Здесь цилиндр вращения, ось которого перпендикулярна к профильной плоскости проекций, пересекается с конусом. [c.260]

Через данную точку К и вершину S конуса проведем прямую SK и определим точку М пересечения ее с плоскостью Р направляющей линии конуса. Из точки М проводим касательные Ml и М2 к направляющей линии и через полученные точки касания проводим образующие S1 и S2. [c.268]

Каждая плоскость, касающаяся конуса вдоль его образующей, касается поверхности вращения в точке пересечения образующей касания с параллелью. Таким образом, касательная к конусу вращения плоскость является касательной плоскостью и к поверхности вращения в заданной точке. [c.274]

Точка 3 (рис. 127, в) принадлежит поверхности усеченного конуса, расположенного в верхней части предмета. Эта поверхность является частью конической поверхности вращения с горизонтально проецирующей осью вращения. Следовательно, для решения необходимо через точку 3 провести горизонтальную плоскость уровня, найти линию пересечения этой плоскости с конической поверхностью вращения (параллель т) и искомую проекцию точки. [c.145]

Выбирают вспомогательные горизонтальные плоскости, например, Р,, Fj и Pj. которые пересекают конус и цилиндр по окружностям (рис. 198,6). Диаметр окружностей, образованных в результате пересечения этих плоскостей с цилиндром, одинаков и равен D диаметры окружностей от пересечения плоскостей с конусом различные. Взаимное пересечение горизонтальных проекций этих окружностей дают искомые горизонтальные проекции точек 1-9 линии пересечения (см. рис. 198, а). Фронтальные проекции Г-9 этих точек находят при помощи линий связи на фронта.ггьных следах [c.111]

На фронтальную плоскость проекций линии пересечения призмы с конусами спроецируются в трапецию Ivlv2v2v, так как призма является фронтально-проецирую-щей поверхностью. [c.115]

Для нахождения горизонтальной проекции линии сечения нижней грани призмы с поверхностями конусов проводят через 2у2у вспомогательную плоскость Г—Г и аналогично предыдущему построению находят горизонтальную проекцию 2н2н. Найденные точки / и 2 являются точками перелома кривых пересечения призмы с конусом. [c.115]

Для нахождения горизонтальных проекций линий сечения верхней грани призмы с конусом проводят через Ivlv вспомогательную горизонтальную секущую плоскость, линия сечения которой обозначена А—А, и находят радиус Ra окружности сечения. Этим радиусом проводят на горизонтальной проекции окружность, которая в пересечении с вертикальными линиями связи 1у1н определяет искомые горизонтальные проекции линий сечения. При помощи секущей плоскости Б—Б аналогично находят горизонтальные проекции 2н2и линий сечения нижней грани призмы с конусом. Найденные точки / и 2 являются точками перелома кри-Еых пересечения призмы с конусом. [c.121]

Пересечение конуса с плоскостью. Для построения кривой линии, получаемой при пересечении конической поверхности плоскостью, в общем случае находят точки пересечения прямолинейных или круговых образующих конической поверхности с секущей плоскостью. Соответствующий пример в случае пересечения фронтально-проецирующей плоекостью Р конуса с вершиной приведен на рисунке 9.8. Построение линии пересечения плоскости с конической поверхностью обычно выполняют в следующем порядке. Основание конуса делят на несколько равных частей (обычно 12), проводят горизонтальные проекции 5—7, —2,. .., з—12 образующих и строят их фронтальные проекции. На фронтальной проекции отмечают фронтальные проекции точек пересечения построенных образующих на видимой поверхности конуса с секущей плоскостью Р (Р у. с, ё, д, а также крайних точек а и Ь. Горизон- [c.114]

Проведём проецирующую плоскость у(у2) параллельно круговому сечению цилиндра. Она рассечет цилиндр по окружности m(m2), которая изобразится отрезком внутри очерка цилиндра. Из проекции центра т2Пч2 окружности проводим прямую п(п2) перпендикулярно плоскости 7(72)- В точке О2 П2П/2 (пересечения нормали с осью конуса) будет центр сферы радиуса R (центр окружности, для которой прямая m2 является хордой). Точка пересечения очерка сферы с очерком конуса определяет положение параллели р(рг) пересечения сферы с конусом. Вторая точка пересечения очерков сферы и конуса, а следовательно вторая параллель, лежит за пределами опорной точки В2 и нам не нужна, т.к. она не будет пересекаться с проекцией m2 кругового сечения. В пересечении кругового сечения m(m2) с параллелью конуса р(р2) получим пару конкурирующих случайных точек 1, Г. На изображении отмечена проекция Ь = П12ПР2 точки 1 линии пересечения, а конкурирующая точка не обозначена, чтобы не загромождать изображение. [c.213]

Пересечение конуса с нлоскостью. Для построения кривой линии, получаемой при пересечении конической поверхности плоскостью, в общем случае находят точки пересечения образующих конической поверхности с секущей плоскостью. Соответствующий пример в случае пересечения фронтально проецирующей плоскостью а (а ") конуса с вершиной (г приведен на рис. 9.8. Построение линии пересечения плоскости с конической поверхностью обычно выполняют в следующем порядке. Основание конуса делят на равное число частей, обычно 12, проводят горизонтальные проекции ОТ, G 2, G 12 образуюпщх и строят их фронтальные проекции. На фронтальной проекции отмечают фронтальные проекции точек пересечения построенных образующих на видимой поверхности конуса с секущей плоскостью а (а ") С" D", F , Г, а также крайних точек А" т В . Горизонтальные проекции строят в проекционной связи на соствеггствующих проекциях образующих — точки С, D, F, Г, В на проекциях образующих G l, G 2, G 3, G 5, G 6, G 7, a также симметричные им точки на проекциях образующих G42, G ll, G 9, G 8. Горизонтальную проекцию Е точки Е на образующей С 4 и симметричной точки на образующей G 10 строят с помощью окружности радиуса E"Ei", проведенной на поверхности конуса. [c.103]

На фронтальной проекщш большая ось АВ эллипса —линии пересечения фронтально проецирующей плоскости с конусом — проецируется в натуральную величину АВ = [А "В "]. Малая ось MN эллипса перпеццикулярна большой и проецируется в точку М "(N ") в середине фронтальной проекции А "В "бсшлпой оси. [c.103]

Асимптоты — касательные в бесконечно удалённых точках кривой — можно построить следующим путём. Прежде всего чаходим те из образующих конуса, которые параллельны плоскости Р, т. е. пересекают её в бесконечно удалённых точках . Они построены с помощью вспомогательной плос- сости Q, проходящей через 5 параллельно (3. Их горизон-гальные проекции — занзЬ. Линии пересечения плоскостей, касающихся конуса вдоль этих образующих с плоскостью Р, л дают нам асимптоты и На чертеже построена [c.249]

Как и ранее, вначале определяют проекции очевидных /, 7 и характерных 4, 10 гочек линии пересечения. Для определения промежуючных ючек прежде всего выбирают b homoi а ельные, взаимно параллельные секущие плоскости. Если взять в качестве вспомогательных плоскостей фронтальные или профильные плоскости, то они пересеку конус по гиперболам, а не по простым линиям, как ipe-буется для построения. Следовательно, гакие плоскости неудобны. Если взять в качестве вспомогательных горизонтальные плоскости Р, ю они буду г пересекать конус по окружностям, а цилиндр -по образующим. Та и другая линия являются простыми. Искомые точки находят на пересечении образующих с окружностями. [c.110]

Здесь сначала определены точки линии пересечения, расположенные на главном меридиане. Фронталь 12, Г2, расположенная в главной меридиональной плоскости, пересекает образующие фронтального очерка в точках 33 и 44, а. ось конуса — в точке кк. Затем построена горизонталь 5к, 5 к плоскости и намечен след Nsh меридиональной плоскости, перпендикулярной к горизонтали. В плоскости Nsh находятся высшая и низшая точки линии пересечения. Эти точки ЬЬ и аа определены как точки пересечения прямой к8, к 8 плоскости Nsii и заданной плоскости с образующими 6s, б s и 7s, 7 s, расположенными в меридиональной плоскости Nsii. [c.218]

Для нахождения горизонтальных проекций точек, принадлежащих линиям сечения боковых граней призмы с конусами, намечают на фронтальных проекциях этих кривых ряд точек 3v, 4v,. ..) и проводят через эти точки вспомогательные секущие горизонтальные плоскости Б—Б, В—В,. ... Радиусами Rb, Rb, проводят на горизонтальной проекции окружности, которые при пересечении с соответствующими вертикальными линиями связи ЗуЗн, 4 г4н,. .. определяют точки Зн, 4н,. ... принадлежащие горизонтальным проекциям гипербол сечения. [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...