Метрика Риманова

Якоби 251 Метрика Риманова 245 [c.447]

Следствие 8.12.4. Принцип Якоби позволяет свести задачу об определении траектории движения изображающей точки к экстремальной задаче в пространстве конфигураций с римановой метрикой. В области Г + / > 0 конфигурационного пространства зададим риманову метрику формулой [c.620]

Как известно, всегда можно выбрать компоненты метрического тензора так, что в фиксированной точке все символы Кристоффеля обратятся в нуль. Такая голономная система координат называется римановой, или нормальной, системой координат. В этой системе координат метрика пространства в ок- [c.156]

При построении теории тяготения, названной Эйнштейном общей теорией относительности (ОТО), он всецело исходил из принципа эквивалентности гравитационного поля нужным образом ускоренных систем отсчета. А так как разным системам отсчета соответствует разная метрика пространства-времени, то Эйнштейн принял за гравитационное поле метрический тензор gpv риманова пространства-времени. Так принцип эквивалентности привел к отождествлению метрики и гравитации компоненты метрического тензора в ОТО являются в то же время потенциалами тяготения. [c.158]

В пространстве конфигураций имело смысл введение определенного вида геометрии, приче.м эта геометрия оказалась римановой. В фазовом пространстве ситуация иная оно не имеет определенной метрики, и мы для удобства будем считать, что qi и р,- являются прямоугольными координатами 2п-мерного евклидова пространства. Поскольку нет особых оснований для введения метрики в фазовом пространстве, евклидова геометрия столь же хороша, как и всякая другая. [c.202]

Можно ли ввести что-нибудь подобное в гамильтоновом фазовом пространстве Имеются ли какие-либо инвариантные дифференциальные формы, которые могли бы в нем играть роль формы ds , как в лагранжевом пространстве конфигураций Такая дифференциальная форма, связанная с каноническими преобразованиями и инвариантная при этих преобразованиях, действительно существует, хотя она и отличается принципиально от римановой формы ds . Она также квадратична относительно дифференциалов, но связана при этом с двумя перемещениями и не имеет ничего общего с расстоянием. Геометрия фазового пространства имеет, таким образом, необычную метрику. Она похожа скорее на некую геометрию, в которой могут измеряться не расстояния, а площади. Поскольку основной дифференциальный инвариант канонических преобразований линеен по каждому из двух бесконечно малых перемещений, мы будем называть его билинейной дифференциальной формой . На основе этой инвариантной дифференциальной формы может быть построена полная теория канонических преобразований. [c.241]

В развитой здесь теории не имеет смысла вопрос о том, ортогонально или неортогонально пересекаются лучи и поверхности. Мы не имеем римановой метрики в пространстве QT, а понятие ортогональности кривой и подпространства неинвариантно относительно преобразований координат. Однако это возражение не относится к вектору импульса— энергии у , так как это — ковариантный [c.245]

Пусть произвольно зафиксирована область возможности движения Наряду с исходной римановой метрикой [c.170]

А. Пусть имеется точка а на римановом многообразии ЗЯ с метрикой dl. Тогда для всех точек Ь, достаточно близких к а, существует геодезическая, идущая из а в 6, причем длина ее будет минимальной в классе всех кусочно-гладких кривых, соединяющих эти точки. [c.172]

Расстояние р х ,у) между точками х к у определяется как минимум длин кривых, соединяющих точки а и у. Ф-ция р(л,у). задаёт. метрику в римановом пространстве. [c.395]

Дифференц. исчисление тензоров в римановом пространстве основано на введении симметричной связности, согласованной с метрикой g j. Её Кристоффеля символы имеют вид [c.395]

Самый известный пример системы Аносова с непрерывным временем — геодезич. поток на компактной поверхности М постоянной отрицат. кривизны. Фазовое пространство этой ДС образовано всеми касательными к М векторами длины 1, каждый из к-рых движется с единичной скоростью вдоль определяемой им геодезической линии. К геодезич. потоку приводится гамильтонова система с гамильтонианом H=T+V, если Т квадратично зависит от импульсов, а V зависит только от координат. Соответствующая риманова метрика определяется гамильтонианом, но отрицательная кривизна появляется лишь при Н спец. вида. [c.632]

Однако в некоторых важных идеях теории относительности и механики Герца имеется много общего. В теории относительности движение планет вокруг Солнца объясняется без привлечения действующих сил при помощи представления об инерции как о фундаментальном свойстве тел. Планеты движутся аналогично телам в механике Герца по кратчайшим линиям в римановом пространстве. В этом отношении отличие теории относительности от механики Герца состоит в том, что в первой материальные движущиеся тела определяют метрику пространства — времени, его геометрию, в то время как у Герца такое движение определяется кинематическими условиями, создаваемыми скрытыми массами системы. [c.238]

Кроме того, так как полная кинетическая энергия при стационарном движении постоянна, то, очевидно, s = v постоянна в соответствующем римановом многообразии V. Отсюда, согласно 108, при стационарном движении вектор силы Q равен произведению вектора геодезической кривизны однопараметрической подгруппы а (h) на постоянную Следовательно, сила, действующая на твердое тело при его стационарном движении в идеальной жидкости, пропорциональна вектору геодезической кривизны соответствующей однопараметрической подгруппы евклидовой группы V при надлежащей лево-инвариантной метрике в группе V. А эта лево-инвариантная метрика определяется во всех точках уже рассмотренными в 100—102 инерциаль-ными коэффициентами Tij (0). [c.221]

Следовательно, для существования стационарного движения частицы в некотором римановом групповом многообразии О вдоль Еь требуется внешняя сила (44 ). Другими словами, лй (суммирование по /, но не по А) есть геодезическая кривизна однопараметрической подгруппы ехр (Ен) на группе О. Если мы выберем нормальный ортогональный базис Е, . .., Еп в метрике < 5 при О, то эта кривизна будет равняться просто с/, [c.226]

Риманово пространство. С точки зрения выяснения логической структуры основ механики жидкости представляет интерес вывод уравнений гидродинамики в римановом пространстве с заданной в некоторой системе координат х = (л , . .., х ) метрикой [c.37]

Б. Левовнвариантные метрики. Риманова метрика на группе Ли G называется левоинвариантной, если она сохраняется при всех левых сдвигах Lg, т. е. если производная левого сдвига переводит каждый вектор в вектор такой же длины. [c.287]

Основное содержание СТО, как подчеркивал Г. Минковский, состоит в установлении единой абсолютной пространственно-временной формы бытия материи — пространственно-временного мира (мир Минковского), геометрия которого псевдоевклидова. В этом мире различным системам отсчета соответствует в общем случае различная метрика с коэффициентами y v (х) пространства-времени. Например, в произвольной неинерциальной системе координат S метрические коэффициенты y[ v оказываются функциями координат X этой системы, что приводит в итоге к появлению ускорения свободной материальной точки относительно S и сил инерции, выражающихся через производные первого порядка от тензора по соответствующим координатам. Кинематически силы инерции характеризуются тем, что вызываемые ими ускорения свободных материальных точек не будут зависеть от их масс. Таким же свойством обладают и гравитационные силы, поскольку, как показывает опыт, гравитационная масса тела равна его инертной массе. Этот фундаментальный факт привел Эйнштейна к мысли, что гравитационное поле должно описываться подобно полю сил инерции метрическим тензором, но уже в римановом пространстве-времени. [c.158]

Такое положение в ОТО обусловлено отождествлением в этой теории гравитационного поля со структурой (метрикой) пространства-времени, с его римановым искривлением. Первичным в ОТО является не материя, а пространство-время. Первичную роль,— говорил Эйнштейн,— играет пространство, материя же должна быть получена из пространства, так сказать, на следующем этапе . Эта методологически неверная основа ОТО и ответственна за все в теории. В самом деле, поскольку в действительности пространство-время является формой существования материи, то, исследуя структуру этой формы, мы можем получить в ряде случаев хорошо согласующиеся с опытом результаты о свойствах гравитационного поля как вида материи. Именно это и имеет место в случаях, о которых упоминалось выше. С другой стороны, в тех явлениях, в которых определяющую [c.159]

Геометризация динамики. Неримановы геометрии. Метрическая интерпретация уравнения в частных производных Гамильтона. Снова и снова мы убеждаемся в том, сколь успешно наглядный язык геометрии помогает более глубокому пониманию проблем механики. Пространство конфигураций с его римановой метрикой дало возможность изобразить сколь угодно сложную механическую систему в виде одной точки в соответствующим образом определенном многомерном пространстве. Благодаря этому законы, определявшие движение одной частицы, удалось обобщить на произвольные механические системы. [c.319]

Это в точности символы Кристоффеля для римановой метрики dS = Zakidqkdqi. Что касается коэффициентов (индексы сверху), то они образуют матрицу, обратную к ам =А. Итак, в векторном виде уравнения движения суть [c.96]

В римановом пространстве с метрикой и элементом длины ds" gfjiv dx -dx" коэф. связности (Кристоф-феля си.кволы) выражаются через след, образом [c.436]

Близкие точки х, у риманова пространства всегда можно соединить локально единственной геодезической, длина к-рой и будет равна расстоянию р(ж,у). Риыаново пространство наз. геодезически полным, если любая геодезическая ж ( ) неограниченно продолжается по . В полном римановом пространстве любые две точки можно соединить геодезической (вообще говоря, не единственной). Изучение глобальных свойств геодезических риманова пространства составляет важный раздел вариационного исчисления в целом. Поскольку многие ур-ния классич. механики могут быть записаны в виде ур-ний геодезических, методы теории геодезических применимы для получения качеств, информация о характере механич. движения. В общей теории относительности, где массивные частицы движутся по времениподобным (а беэмассовые — по изотропным) геодезическим индефинитной метрики, в основном изучаются именно такие геодезические. Нек-рые их глобальные свойства допускают физ. интерпретацию. Так, наличие. замкнутых геодезических означает нарушение причинности. Геодезич. неполнота трактуется как наиб, универсальный способ определения сингулярности пространства-времени. [c.396]

В римановом пространстве (или псевдоримановом пространстве) С. однозначно определяется по римановой метрике (индефинитной метрике) glj условиями = 0, 2" = 0. Параллельный перенос при [c.472]

Гиперкалерова структура (на 4п-мернои вещественном многообразии) состоит из трёх комплексных структур /, У, К, удовлетворяющих соотношениям для образующих алгебры кватернионов Н, и такой метрики Дирака (, ), что соответствующие кососкалярные произведения о)т, иJ, ии замкнуты. Т.о., касательные пространства к гиперкэлерову многообразию несут структуру кватернионного пространства, а само многообразие — риманову метрику, согласованную ч тремя вещественными С. с., или в комплексной интер- [c.521]

Отметим, что риманова метрика на 4-мерном (га = 1) гиперкэлеровом многообразии имеет антиавтодуальную ферму кривизны и автоматически удовлетворяет ур-нию Эйнштейна (см. Тяготение). Само гиперкэлерово многообразие ваз. в атом случае гравитац. инстантоном, чем подчёркивается, что речь идёт не о метрике Минковского, а о евклидовой версии общей теории Относительности. [c.521]

T, в многообразии определяется так подмножество в М" открыто, если открыто его пересечение с каждой картой. Дополнительно в определении многообразия требуется, чтобы пересечение любых двух карт было открыто, а также чтобы М" было хаусдорфовым тоггологич. пространством. Многообразие наэ. чамкнутым, если оно компактно и связно. Все понятия дифференц. исчисления ф-ций многих переменных и локальной дифференц. геометрии (гладкие ф-пии и отображения, векторные и тензорные поля, дифференц. формы, римановы метрики и др.) несложно переносятся на многообразия. Многообразия М" и iV" наз. диффеоморфными, если определены взаимооб-ратные гладкие отображения и [c.145]

Исследуем вопрос о существовании систем размешивающегося типа. При этом мы будем опираться на принадлежащие Хедлюнду и Хопфу [37] исследования о распределении элементов геодезических линий на поверхностях с заданной римановой. метрикой. [c.184]

Пусть F — риманова поверхность с заданной метрикой ds = gikdx dx . Предполагается, что квадратичная форма положительно определенна, обладает неприводимой к однопараметрической форме коэффициентов таблицей производных, и что коэффициенты этой квадратичной формы дифференцируемы нужное число раз. [c.184]

Пусть теперь а изменяется рассматривая V как групповое многообразие евклидовых групп, мы видим, что V имеет просто транзитивную ) группу изометрий (т. е. движений, оставляющих инвариантной метрику ds ). Подобное многообразие мы будем называть римановым групповым многообразием и мы всегда можем рассматривать изометрйи как левые переносы. [c.220]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...