Индикатриса поверхности (индикатриса Дюпена)

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ о КРИВИЗНЕ ПОВЕРХНОСТИ. ИНДИКАТРИСА ДЮПЕНА [c.409]

В зависимости от вида поверхности, индикатриса Дюпена может иметь вид эллипса, гиперболы или двух параллельных прямых линий. Если индикатриса Дюпена касается поверхности только в одной точке, то она является эллипсом. В этом случае все точки поверхности, достаточно близкие к рассматриваемой точке, находятся по одну сторону касательной плоскости. Такие точки поверхности, как известно, называются эллиптическими. [c.409]

Ф - угловой параметр индикатрисы кривизны поверхности (индикатрисы Дюпена), индикатрисы конформности поверхностей Д м И [c.19]

Подобно тому, как наряду с индикатрисой кривизны (индикатрисой Дюпена) (44) выше в рассмотрение введена индикатриса собственно кривизны (54), так и наряду с уравнением (83) индикатрисы конформности 1пй,,мги), построенном исходя из соотношений радиусов кривизны поверхностей Д и И (см. (79)), [c.226]

С целью упрощения аналитического описания вместо (34) в рассмотрение могут быть введены геометрические аналоги производительности формообразования. Для выяснения сущности этого вопроса предварительно рассмотрим индикатрисы кривизны (индикатрисы Дюпена), построенные в точке К касания поверхностей Д н И. [c.451]

Некоторые поверхности имеют точки, в которых индикатриса Дюпена является окружностью, т. е. кривизна всех нормальных сечений поверхности в этой точке одинакова. Такие точки поверхности называют омбилическими. Все точки поверхности сферы омбилические. [c.409]

Направления, в которых кривизны нормальных сечений имеют минимум и максимум, взаимно перпендикулярны и совпадают с главными диаметрами индикатрисы Дюпена. Их называют главными направлениями на поверхности в рассматриваемой точке. [c.410]

Минимальные поверхности с гиперболическими точками имеют индикатрисами Дюпена равнобочные гиперболы. [c.410]

Индикатриса Дюпена в рассматриваемой точке поверхности дает возможность определить кривизну любого нормального сечения поверхности, а также главные направления кривизн, главную и среднюю кривизны. [c.411]

Его применяют для определения главных радиусов кривизны и построения индикатрисы Дюпена рассматриваемой поверхности. [c.411]

В начертательной геометрии при исследовании кривизны поверхностей не представляется возможным широко пользоваться построением индикатрисы Дюпена, так как во многих случаях здесь рассматриваются поверхности, не имеющие аналитических выражений. Для этого используют методы дифференциальной геометрии. [c.411]

Кинематическая поверхность основного вида имеет в заданной на поверхности точке гу же самую индикатрису Дюпена, что и соприкасающийся в пой точке ее эталон. [c.411]

Если индикатриса Дюпена поверхности — эллипс, то точка М называется эллиптической, а поверхность — поверхностью с эллиптическими точками (рис. 206). В этом случае касательная плоскость имеет с поверхностью только одну общую точку, а все линии, принадлежащие поверхности и пересекающиеся в рассматриваемой точке, расположены по одну сторону от касательной плоскости. Примером поверхностей с эллиптическими точками могут служить параболоид вращения, эллипсоид вращения, сфера (в этом случае индикатриса Дюпена - окружность и др.). [c.142]

При проведении касательной плоскости к торсовой поверхности плоскость будет касаться этой поверхности по прямой образующей. Точки этой прямой называются параболическими, а поверхность — поверхностью с параболическими точками. Индикатриса Дюпена в этом случае — две параллельные прямые (рис. 207 ). [c.142]

Сечение поверхности плоскостью, параллельной касательной плоскости и близкой к ней в точке М, имеет вид кривой, с точностью до малых 2-го порядка, подобной индикатрисе Дюпена для точки М. [c.219]

Асимптотическими линиями на поверхности называются такие, вдоль которых касательные к ним совпадают с асимптотами к индикатрисе Дюпена. [c.220]

Сопряжённые направления. Две касательные прямые к поверхности в точке М называются сопряжёнными, если они сопряжены относительно индикатрисы Дюпена в этой точке. [c.220]

Индикатриса Дюпена в весьма наглядной форме показывает, как в дан ной точке поверхности изменяется кривизна нормального сечения поверхности в зависимости от направления этого сечения. Если ар — угол, который составляет интересующее нас сечение с а -линией (рис. 3), то радиус-вектор, проведенный под углом гр к оси I из начала координат до пересечения с индикатрисой Дюпена, равен V R. [c.18]

Индикатриса Дюпена в данной точке поверхности может оказаться [c.18]

Типичным примером поверхности, которая всюду имеет положительную гауссову кривизну, является эллипсоид (индикатриса Дюпена имеет вид эллипса). Однополостный гиперболоид является примером поверхности всюду [c.19]

Если главные кривизны к и к имеют одинаковые знаки, то кривизна поверхности в исследуемой точке положительна и сама поверхность в окрестности этой точки имеет внд, показанный на рис. 7 (индикатриса Дюпена в этом случае — эллипс). [c.22]

Если главные кривизны к и 2 имеют разные знаки, то гауссова кривизна поверхности в исследуемой точке А отрицательна, а сама поверхность в окрестности этой точки имеет седлообразный внд, изображенный ла рис. 9 (индикатриса Дюпена представляет собой в этом случае гиперболы). [c.22]

Если одна из кривизн равна нулю, то гауссова кривизна в исследуемой точке А равна нулю и поверхность в окрестности этой точки имеет внд, изображенный на рис. 10 (индикатриса Дюпена представляет собой в этом случае две параллельные прямые). [c.22]

Сопряженными линиями сети называются линии, в кажДой точке поверхности касающиеся сопряженных диаметров индикатрисы Дюпена. Сопряженными называются такие диаметры в центральных кривых второго порядка, для которых характерно следующее все хорды, параллельные одному диаметру, делятся-дру-гим диаметром, пополам. [c.46]

Структуру нормальных кривизн в заданной точке на поверхности Д И удобно графически изображать при помощи характеристической кривой - индикатрисы кривизны, которая дает наглядное представление о распределении нормальных радиусов кривизны в окрестности точки на поверхности Д и В геометрии для этих целей используется индикатриса Дюпена - плоская характеристическая кривая второго порядка, которая [c.109]

Это уравнение определяет плоскую центрально- и зеркально-симметричную кривую, которая является индикатрисой Дюпена поверхности S в точке Р на ней. Кривизна индикатрисы Дюпена в текущей ее точке связана с производными этой кривой уравнением [c.111]

Поскольку в теории формообразования поверхностей при механической обработке деталей поверхности Д И рассматриваются не сами по себе как геометрические образы, а как технические поверхности -совместно с деталью (или инструментом), носителями формы поверхности, это требует различать с какой стороны поверхности Д и) расположено тело детали или инструмента. В этой связи под индикатрисой кривизны гладкого регулярного участка поверхности Д И будем понимать участок плоскости, ограниченный индикатрисой Дюпена этой поверхности. Тогда, для выпуклого локального участка поверхности Д и) индикатриса кривизны будет представлять собой участок плоскости, расположенный внутри индикатрисы Дюпена, а ее точки будут удовлетворять соотношению [c.111]

Аналогично для вогнутого локального участка поверхности Д И индикатриса кривизны будет представлять собой участок плоскости, расположенный вне индикатрисы Дюпена поверхности ее точки удовлетворяют неравенству [c.111]

В дифференциальной геометрии поверхности рассматриваются как бесконечно тонкие оболочки, т.е. без учета стороны, с которой расположен материальный носитель формы поверхности. В теории формообразования поверхностей деталей в обязательном порядке учитывается сторона поверхности, с которой расположено тело детали или инструмента, т.е. различают открытую и закрытую стороны поверхности (см. выше, рис. 1.6). Вследствие этого появляются особенности в определении понятия индикатриса кривизны поверхности Д иУ. В указанном смысле понятие индикатриса кривизны поверхности Д И представляет собой не кривую линию, а участок плоскости, расположенный внутри или вне собственно индикатрисы Дюпена. Поэтому уравнение индикатрисы кривизны для поверхности Д И требует уточнения и может быть записано так (1.117), (1.118) [c.214]

Индикатрису Дюпена точнее следовало бы называть не индикатрисой кривизны, а индикатрисой нормального радиуса кривизны, поскольку она определяет характер распределения в дифференциальной окрестности точки М на поверхности Д и) не собственно кривизны а нормального радиуса кривизны [c.214]

Определение 4.2. Квадратичная индикатриса Дюпена гладкой регулярной поверхности Д(И) в текущей точке на ней - это кривая, определяемая совокупностью векторов W = , координаты [c.222]

Кривая, построенная аналогично квадрике Коши в двухмерном случае (см. анализ напряженного состояния в точке), называется в теории поверхностей индикатрисой Дюпена. Поясним ее построение. Пусть на плоскости, касающейся поверхности в точке А, проведено направление V, проходящее через точку А. Направляющие косинусы V в прямоугольной системе осей X, у суть I и т. Кривизна нормального сеченйя проведенного через V, есть [c.20]

Очевидно кривизну в заданных точках кинематических поверхностей осгювных видов с плоскими производящими линиями можно определить, например, построив индикатрису Дюпена для точек вин toboi о юра, вводя в расче1ные уравнения соответствующие параметры [c.412]

Для этого в плоскости, касательной к рассматриваемой поверхности в точке М (рис. 205, 206), на касательных к нормальным сечениям по обе стороны от данной точки откладываются отрезки, равные корням квадратным из величин соответствующих радиусов кривизны этих сечений. Множество точек - концов отрезков задают кривую, называемую индикагрисой Дадпена. Алгоритм построения индикатрисы Дюпена (рис. 205) можно записать [c.141]

В каждой точке поверхности, в которой она имеет определенную касательную плоскость, можно построить кривую второго порядка (или пару параллельных прямых), являющуюся индикатрисой Дюпена. В связи с этим в теории поверхностей используются некоторые термины, заимствованные из аналитической геометрии. Направления сопряженных диаметров индикатрисы называются сопряженными направлениями на поверхности. Главные направления индикатрисы называются главными направлениями поверхности. Наконец, направления асимппют индикатрисы (если они действительны) называются асимптотическими направлениями поверхности. [c.19]

Тот факт, что названия трех типов конических сечений оказываются соответствующими поверхностям, имеющим в каждой своей регулярной гочке вторую фундаментальную форму с соответствующей сигнатурой (индикатрисой Дюпена), является чистым совпадением, не имеющим исторического смысла. Действительно, в те времена дифференциальная геометрия, этих поверхностей еще совсем не затрагивалась в литературе. [c.504]

Линии на поверхности, в каждой точке касающиеся сопряженных диаметров индикатрисы Дюпена, называются сопряженными. Если в качестве сопряженных в каждой точке приняты главные диаметры, то соответствующие сопряженные линии на поверхности называются линиями кривизн или линиями- главных кривизн. Совершенно очевидно, что, так как не всякие ортогональные направления являются сопряженными, не всякая ортогональная сеть является сетью линий главных кривизн.. Линии на поверхности, всюду касающиеся асимптот индикатрисы Дюпена в той области поверхности, где таковой являются гиперболы или параллельные линии, называются асимптотическими (в случае, если индикатрисой Д1рпена являются две параллельные линии, то обе асимптоты сливаются в одну). [c.32]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...