Контравариантные координаты

Аналогично для контравариантных координат [c.40]

Установим связь ковариантными и контравариантными координатами тензора второго ранга [c.42]

Найдем связь между физическими и ко-, контравариантными координатами. Рассмотрим выражение [c.57]

Связь между физическими и ко-, контравариантными координатами задается выражением [c.57]

Преобразование координат X/ выражаемое формулой (1.108), обратно преобразованию базисных векторов (и преобразованию 1.107)). Поэтому координаты X/ называются контравариантными координатами вектора R. [c.63]

При изменении координатной системы меняются также ковариантные и контравариантные компоненты вектора. Изменение координат определяется системой трех соотношений типа [c.19]

В декартовой системе координат контравариантные и ковариант-ные метрики совпадают с единичной матрицей. [c.26]

Чтобы сделать это, мы должны немного отклониться и показать, что дифференциалы координат dx суть контравариантные компоненты вектора dX, характеризующего различие между точкой с координатами х - + и точкой с координатами x . [c.30]

Заметим, что различие между контравариантными и ковариант-ными компонентами в данном случае несущественно, поскольку выбрана декартова система координат. [c.56]

Косоугольные координаты. Контравариантные и ковариантные компоненты векторов [c.49]

Коэффициенты преобразования а), являются контравариантными компонентами векторов нового координатного базиса в старой системе координат. Коэффициенты обратного преобразования являются контравариантными компонентами вектора е в новой системе. [c.51]

Величины dx можно рассматривать на основании (П.49Ь) как контравариантные компоненты вектора dr. Заметив, что ds является инвариантом, заключаем (см. 24), что g,-ft— компоненты симметричного ковариантного тензора второго ранга. Это заключение совпадает с тем, которое мы сделали в ч. I, рассматривая косоугольные системы декартовых координат. [c.92]

Отметим некоторые особенности найденных выражений абсолютных дифференциалов. Эти выражения показывают, что величины da и ёа , рассматриваемые в отдельности, не подчиняются формулам преобразования контравариантных или ковариантных векторов. Также можно убедиться в том, что символы Кристоффеля не принадлежат к тензорным величинам, так как закон их преобразования при переходе к новой системе координат не является законом преобразования компонент некоторого тензора. Мы не будем здесь рассматривать эти формулы преобразования. Они будут приведены в т. II настоящей книги ). [c.94]

Конечно, в этих формулах не надо суммировать по одинаковым верхним и нижним индексам. В ортогональных системах координат вместо контравариантных и ковариантных компонент векторов пользуются их проекциями на оси местного координатного базиса. [c.96]

Рассмотрим теперь вычисление контравариантных компонент ускорения в цилиндрических координатах. На основании (И.67а) и (11.77) получим [c.97]

В 46 мы рассмотрели абсолютные дифференциалы векторных функций и криволинейных координатных системах. Применяя формулу (II.60), мы получим следующее выражение контравариантных компонент абсолютной производной от векторной функции а(б, определенной в криволинейной системе координат [c.135]

Основой построения дифференциальных форм, инвариантных относительно преобразований координат х , определенных равенствами (11.389), является вектор элементарного перемещения 6г. Полное количество его компонент равно 2 V. Первые N компонент — контравариантные 6г = (/= 1, 2,. .. [c.389]

Обозначим контравариантные и ковариантные компоненты вектора а через A и Ак, а его компоненты в прямоугольной декартовой системе координат — через йт- Далее и обозначают проекции вектора а соответственно на вц и e . Учитывая, что а — = — орты прямоугольной декартовой системы коорди- [c.17]

Величины называются физическими проекциями вектора а. Обозначим теперь тензор второго ранга в прямолинейных прямоугольных координатах Xi через pih, физические проекции этого тензора в криволинейных ортогональных координатах через Рх , а его контравариантные компоненты через тогда по формулам преобразования компонентов тензора (1.10) будем иметь [c.18]

Возьмем теперь криволинейную систему координат и пусть обозначает контравариантный вектор, определяющий в системе координат х вектор а - Учитывая, что величина является скаляром, будем иметь [c.28]

В криволинейных координатах дивергенция вектора определяется ковариантной производной контравариантного вектора (2 .88) [c.116]

Лапласиан вектора а в криволинейных координатах определяется формулой (2 . 100). Входящие в нее контравариантные компоненты метрического тензора g l на основании (2 .25) и (11.3) равны [c.366]

Рассмотрим преобразование контравариантных компонент вектора а, который в старой и новой системах координат представляется разложениями [c.408]

Предполагая, что читатель знаком с основами тензорной алгебры и тензорного анализа, напомним некоторые свойства тензоров в евклидовом трехмерном пространстве. При пользовании прямоугольными декартовыми координатами исчезает разница между ковариантными и контравариантными величинами, поэтому мы будем пользоваться только нижними индексами. Будем обозначать координаты точки и соответствующие оси координат одной [c.208]

Если на фронте волны терпит разрыв функция, описывающая состояние среды, то говорят о разрыве нулевого порядка. Если функция и ее производные до (т—1)-го порядка непрерывны, а т-е производные испытывают разрыв, то говорят о разрыве /и-го порядка. Мы используем эйлеровы переменные х х , X и лагранжевы переменные a , а , а (беря в качестве них начальные координаты частицы). Как обычно, верхними индексами обозначаются контравариантные величины, нижними — ковариантные (при этом х = дгг). [c.6]

Это обстоятельство выражают словами обобщенные силы преобразуются контравариантно по отношению к координатам ). [c.245]

В общем случае, когда преобразование координат нелинейно, обобщенные силы преобразуются контравариантно по отношению к дифференциалам координат. [c.245]

Так как все рассуждения проводятся с помощью тензорного исчисления, то лучше обозначить координаты через дР (нежели через qp), так как dqP — контравариантный вектор. Мы представляем систему точкой в пространстве Q, в котором задан кинематический линейный элемент ) [c.279]

Этот важный результат можно рассмотреть несколько иначе dxA — компоненты контравариантного вектора относительно произвольных преобразований (можно писать dx , чтобы подчеркнуть этот факт) Ха, в — в,а — компоненты кососимметричного тензора поэтому уравнения (94.6) представляют собой векторные уравнения, справедливые при любом выборе координат, если они справедливы для одной системы координат ). Однако если [c.327]

Удобно обозначить новые координаты через др (а не д ) для преобразований, сохраняющих форму (101.10), не существует различия между контравариантными и ковариантными величинами. [c.359]

Компоненты произвольного вектора в базисе, дуальном естественному, называются ко вариантными. Различие между ковариан-тными и контравариантными компонентами имеет смысл только по отношению к существованию какой-либо координатной системы. Если два взаимно дуальных базиса выбраны независимо от акой бы то ни было системы координат, не существует способа оказать предпочтение одному перед другим, и компонентам вектора в каждом из базисов не могут быть присвоены различные наименования. [c.18]

Величины а являются контравариантными компонентами вектора а в новой системе координат. Из сравнения формул (1.50а) и (1.49) видно, что прямое преобразование коитравариантных компонент осуществляется при посредстве коэффициентов р обратного преобразования векторов координатного базиса. Этим объясняется возникновение термина контравариантный . [c.51]

Контравариантные компоненты силы в нетолономной системе координат определяются так [c.178]

В выражениях (10,8 — ф компоненты Uij, преобразованы как контравариантные поэтому для установления связи между компонентами tkim в координатах Г), г и X, I/, г их надо рфсматривать как ковариантные (в декартовых координатах те и другие компоне нты, разумеется, совпадают)-. Для преобразования (10,7) имеем [c.58]

С уравнениями Лагранжа, для которых безразличны кова-рнантпые и контравариантные определяюпцие координаты, связаны по Картану элементы тензорного анализа. [c.8]

Рассмотрим в некоторой плоскости неподвижные косоугольные координаты с углом г ) между осями (рис. 122). Положение точки т можно определить контравариантными ковариантными ( ,, г) или смешап-пымн координатами ( i, Не состав- [c.166]

Вся приведенная выше теория нанряженнй п деформаций сохраняется и при пользовании произвольной криволинейной, не обязательно ортогональной системой координат. В качестве базисных векторов принимают производные от радиуса-вектора точки по криволине1шым координатам j = rj, по отношению к этому базису вектор или тензор задаются контравариантными компонентами. По отношению к взаимному базису векторы и тензоры задаются ковариантными составляющими. [c.231]

Одной из важнейших особенностей является здесь то, что при вычислении нужно тщательно различать ковариантные и контравариантные компоненты векторов и тензоров. Это приводит, однако, не к большим осложениям, чем, например, применение косоугольных декартовых координат. [c.680]

Для криволинейных координат хО с элементом длины ds = gpadxPdxP (ср. 17) контравариантный вектор ускорения есть ) [c.61]

В этой книге всюду будут употребляться координаты Минковского. Они имеют то большое удобство, что для них ковариантные компоненты векторов и тензоров те же, что и контравариантные компоненты, и все векторы и тензоры можно написать с индексами внизу, избегая, таким образом, сложности в обозначениях. Если мнимое время Xi, окажется некоторым источником неясностей, то мы можем сразу перейти от координат Минковского х, к действительным декартовым координатам а , положив Хр = х , Xi = ix . Нам представится случай перейти к действительным координатам в 111 для того, чтобй обсудить вопрос о знаке. [c.392]

В координатах Мипковского мы не должны делать различия между ковариантпыми и контравариантными векторами. Мы уже видели, что (111.21) — удовлетворительное определение, так как (111.7) показывает, что вектор уг, определенный таким образом, направлен в будущее. [c.410]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...