Принцип подчинения дифференциальных

Как установлено, для решения широкого класса стохастических нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных существует метод, позволяющий найти функцию q it) =Д<7](0) при одном и том же t. В этом случае переменная 2 подчинена переменной q (принцип подчинения). Это позволяет существенно упростить сложную задачу. [c.19]

Как установлено [7] для широкого класса стохастических нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными су- шествует метод, позволяющий найти функцию q2(t)=f(qi(t)) при одном и том же t. В этом случае переменная q2 подчинена переменной qi (принцип подчинения), что позволяет существенно упростить сложную задачу. [c.64]

Процедура упрощения исходных сложных систем уравнений сама по себе, разумеется, далеко не нова. Она уже давно с успехом применяется в физике и особенно в химии. Ее часто называют редукцией. В теории дифференциальных уравнений основой Этого метода служат работы Л. С. Понтрягина [10] и А. Н. Тихонова [И], посвященные исследованию систем уравнений, содержащих малые параметры при производных. Широко используется в практических расчетах известная теорема Тихонова (см., например, [12]), Метод редукции используется и в статистической физике при получении кинетических уравнений [5, 7—9]. Эти работы фактически содержат обоснование принципа подчинения — одного из важнейших инструментов теории самоорганизации. [c.9]

Так как а = —а>0, и (/) возрастает экспоненциально. Это свидетельствует о том, что состояние <7о = О неустойчиво. В гл. 2 и 3 мы изложим анализ устойчивости по линейному приближению в общем виде. В частности, мы рассмотрим случай, когда неустойчивым становится не только константа-решение <7о, но и движение по предельному циклу или по тору. Последняя проблема приводит нас в весьма странную область квазипериодических движений, где было сделано еще больше открытий (в число которых вносит свой вклад и эта книга). После того как анализ устойчивости произведен, возникает очередной вопрос в какие новые состояния перейдет система. При ответе на него для синергетики наибольшее значение имеют два понятия параметр порядка и принцип подчинения. Для того чтобы пояснить их, рассмотрим два дифференциальных уравнения [c.61]

В гл. 4 заложена основа для стохастических методов, используемых главным образом в гл. 10. В гл. 5 и 6 рассмотрены связанные нелинейные осцилляторы и квазипериодическое движение. Обе главы (5 и 6) содержат подготовительный материал к гл. 8 (в особенности, к разделам 8.8—И). В гл. 6 излагается важная теорема Мозера. Чтобы не перегружать основной текст, ее доказательство (принадлежащее Мозеру) вынесено в приложение. В гл. 7 подводится итог нашего продвижения по основному направлению, начатого в гл. 2 и 3, и рассматривается принцип подчинения (для нелинейных дифференциальных уравнений с флуктуирующими силами и без них). В этой главе излагаются также новые результаты,. [c.89]

Во введении было показано, что при описании сложных систем мы можем использовать не только дифференциальные уравнения, но и отображения для моментов времени, образующих дискретную последовательность. Исследование таких отображений обретает все большее значение для современной математики и теоретической физики. В этом разделе мы хотим показать, как принцип подчинения можно обобщить на случай дискретных отображений. Затем с помощью соответствующего предельного перехода мы распространим принцип подчинения на стохастические дифференциальные уравнения (разд. 7.9). [c.245]

Принцип подчинения для стохастических дифференциальных уравнений [c.255]

В этой главе мы рассмотрим дискретные отображения с шумом, о которых упоминалось во введении. В первых разделах мы покажем, каким образом результаты, полученные нами ранее для дифференциальных уравнений, обобщаются на дискретные отображения, а в разд. 7.7—7.9 — как обобщается принцип подчинения. Затем читатель познакомится с дискретным аналогом уравнения Фоккера—Планка (разд. 10.2—10.4), и в заключение мы введем интегралы по траекториям и покажем, каким образом с их помощью можно найти дискретный аналог решений временного уравнения Фоккера—Планка. [c.349]

Хотя теория бифуркаций в ее современном виде исключает из рассмотрения флуктуации, некоторые из последних работ по теории бифуркации посвящены изучению окрестности ветвящегося решения. Специалисты по теории динамических систем и теории бифуркации заметят, что в нашей книге по ходу изложения мы выходим на передний край современных исследований и получаем новые результаты. Один из таких результатов (аналог теоремы Флоке) относится к виду решений линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами. Нам удалось изучить широкий класс таких уравнений с помощью вложения. Другой результат относится к бифуркации п-мерного тора в другие торы. Наконец, принцип подчинения включает в себя в качестве частных случаев ряд важных теорем, например теорему о центральном многообразии, теорему о медленном многообразии и различные алгоритмы адиабатического исключения переменных. [c.363]

Общее уравнение динамики для систем, подчиненных голономным, идеальным, неосвобождающим связям, дает полную информацию о движении таких систем, т. е. из него аналогично тому, как из принципа возможных перемещений получались условия равновесия системы, можно получить полную систему дифференциальных уравнений. Для вывода этих уравнений следует использовать понятия обобщенных координат и обобщенных сил. [c.387]

Этим замечанием Эйлера в неявном виде формулируется ограничение области применения принципа наименьшего действия кругом проблем, в которых силы имеют потенциал ). Таким образом, согласно Эйлеру, необходимым условием применимости принципа наименьшего действия является подчинение системы закону живых сил, в. то время как Мопертюи усматривал универсальность своего принципа наименьшего количества действия именно в том, что он имеет более общее значение, чем закон живых сил, или другие законы механики. В то же время в той форме, которую придал Мопертюи этому принципу, он имеет смысл только для конечных и мгновенных изменений скорости, и поэтому из него можно получать только уравнения, связывающие конечные величины. Эйлерова же форма принципа наименьшего действия охватывает непрерывные движения, и из нее получаются дифференциальные уравнения траекторий. [c.789]

Пример 108. Легко убедиться непосредственно в том, что принцип Гамильтона не прилагается к системам, подчиненным неинтегрируемым дифференциальным связям. В виде примера станем искать стационарное. значение действия по Гамильтону для материальной частицы массы т, находящейся под действием сил. имеющих силовую функцию U, и подчинённой связи [c.362]

Гамильтон в работах по динамике и оптике, относящихся к середине тридцатых годов девятнадцатого столетия, сформулировал принцип стационарного действия для свободной системы материальных точек и системы точек, подчиненных стационарным связям. Это ограничение в 1848 г, ) было снято Остроградским, который, не зная работ Гамильтона, опубликованных в мало распространенных тогда трудах Ирландской Академии наук, с полной ясностью изложил принцип в работе о дифференциальных уравнениях изопериметрической задачи, распространив его и на нестационарные связи. [c.646]

Глава 7 Нелинейные уравнения. Принцип подчинения , пожалуй, наиболее существенна для понимания возможности a юop-ганизации в различных системах (на принятом в книге уровне описания). Принцип подчинения, который иллюстрируется на многих примерах, описываемых как динамическими, так и стохастическими уравнениями, позволяет выделить при образовании (по мере изменения бифуркационного — управляющего — параметра) новых диссипативных структур величины, которые играют роль параметров порядка. Изложение начинается с очень простых примеров и завершается исследованием дискретных отображений со случайными источниками и стохастических дифференциальных уравнений. При этом переход от дискретного времени к непрерывному в стохастических уравнениях не является тривиальным. Надо про- [c.8]

Основная цель этой книги состоит в изучении резких макроскопических изменений систем. Как было показано во введении, такие изменения могут наступить, когда система теряет устойчивость по линейному приближению, В точке, где происходит потеря устойчивости, становится возможным исключить очень большое число степеней свободы, поэтому макроскопическое поведение системы зависит лишь от весьма небольшого числа степеней свободы. В этой главе мы хотим показать в явном виде, каким образом вблизи точки, в которой происходит потеря устойчивости по линейному приближению, можно исключить большинство переменных. Такие точки потери устойчивости называются критическими. Предлагаемый вниманию читателя метод прост и охватывает большинство практически важных случаев. Основные идеи метода мы покажем на простом примере (разд. 7.1), после чего изложим наш метод для нелинейных уравнений в общем случае (разд. 7.2—7.5) Основные предположения и допущения перечислены в разд. 7.2, окончательные результаты приведены в разд. 7.4 (до формулы (7.4.5) включительно). Разд. 7.3 и конец разд. 7.4 посвящены вопросам, носящим более технический характер. Остальную часть этой главы мы отводим обобщению принципа подчинения на случай дискретных отображений с шумом и на стохастические дифференциальные уравнения типа Ито (и Стратоновича) (разд. 7.6—7.9). [c.224]

Как и прежде, мы можем ввести амплитуды и фазовые углы ф, . Если вещественная часть одного или нескольких собственных значений Хк из (10.1.7) становится положительной, то можно воспользоваться принципом подчинения. В разд. 7.6 было показано, что принцип подчинения вполне применим к стохастическим дифференциальным уравнениям типа Ланжевена—Ито или Стратоновича. Принцип подчинения позволяет свести исходную систему уравнений (10.1.2) к системе уравнений для параметров порядка — соответствующих и ф. Уравнения параметра порядка оказываются уравнениями типа (10.1.2), но с измененными N и (№. Влияние флуктуаций и наш подход к его описанию продемонстрируем сначала на примере. [c.328]

Приобретя широкую известность, трактат Даламбера тем не менее не смог сыграть роли систематической сводки аппарата аналитической динамики материальных систем, ибо оказался лишь малоупорндоченным набором примеров на приложение принципа равновесия потерянных сил, не содержащим никаких методически стройных и единообразных приемов составления дифференциальных уравнений движения материальных систе.м. Главной причиной этого было то, что Даламбер не уделил внимания аналитическому оформлению того принципа статики системы, сочетание которого с принципом Даламбера только и дает возможность завершить составление упомянутых уравнений. Первым систематическим трактатом по аналитической механике систем материальных точек, подчиненных механическим связям, явился лишь трактат Лагранжа Аналитическая механика , вышедший первым изданием в 1788 году. Он сыграл основополагающую роль для дальнейшего развития той разновидности аналитической механики, которая опирается на комбинацию принципа виртуальных перемещений с црин-ципом Даламбера или с петербургским принц1гпом динамики системы. [c.2]

В двух работах М. Ш. Аминова Об устойчивости вращения твердого тела переменной массы вокруг неподвижной точки (1958) и Некоторые вопросы движения и устойчивости твердого тела переменной массы (1959) содержатся некоторые общие результаты для системы ге материальных точек переменной массы, подчиненной идеальным голонохмным связям, формулируется принцип Гамильтона — Остроградского, который затем применяется к выводу дифференциальных уравнений движения твердого тела переменной массы вокруг неподвижной точки и для [c.305]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...