Принцип подчинения для стохастических дифференциальных уравнений

Во введении было показано, что при описании сложных систем мы можем использовать не только дифференциальные уравнения, но и отображения для моментов времени, образующих дискретную последовательность. Исследование таких отображений обретает все большее значение для современной математики и теоретической физики. В этом разделе мы хотим показать, как принцип подчинения можно обобщить на случай дискретных отображений. Затем с помощью соответствующего предельного перехода мы распространим принцип подчинения на стохастические дифференциальные уравнения (разд. 7.9). [c.245]

Принцип подчинения для стохастических дифференциальных уравнений [c.255]

Как установлено, для решения широкого класса стохастических нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных существует метод, позволяющий найти функцию q it) =Д<7](0) при одном и том же t. В этом случае переменная 2 подчинена переменной q (принцип подчинения). Это позволяет существенно упростить сложную задачу. [c.19]

Как установлено [7] для широкого класса стохастических нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными су- шествует метод, позволяющий найти функцию q2(t)=f(qi(t)) при одном и том же t. В этом случае переменная q2 подчинена переменной qi (принцип подчинения), что позволяет существенно упростить сложную задачу. [c.64]

В гл. 4 заложена основа для стохастических методов, используемых главным образом в гл. 10. В гл. 5 и 6 рассмотрены связанные нелинейные осцилляторы и квазипериодическое движение. Обе главы (5 и 6) содержат подготовительный материал к гл. 8 (в особенности, к разделам 8.8—И). В гл. 6 излагается важная теорема Мозера. Чтобы не перегружать основной текст, ее доказательство (принадлежащее Мозеру) вынесено в приложение. В гл. 7 подводится итог нашего продвижения по основному направлению, начатого в гл. 2 и 3, и рассматривается принцип подчинения (для нелинейных дифференциальных уравнений с флуктуирующими силами и без них). В этой главе излагаются также новые результаты,. [c.89]

Глава 7 Нелинейные уравнения. Принцип подчинения , пожалуй, наиболее существенна для понимания возможности a юop-ганизации в различных системах (на принятом в книге уровне описания). Принцип подчинения, который иллюстрируется на многих примерах, описываемых как динамическими, так и стохастическими уравнениями, позволяет выделить при образовании (по мере изменения бифуркационного — управляющего — параметра) новых диссипативных структур величины, которые играют роль параметров порядка. Изложение начинается с очень простых примеров и завершается исследованием дискретных отображений со случайными источниками и стохастических дифференциальных уравнений. При этом переход от дискретного времени к непрерывному в стохастических уравнениях не является тривиальным. Надо про- [c.8]

Основная цель этой книги состоит в изучении резких макроскопических изменений систем. Как было показано во введении, такие изменения могут наступить, когда система теряет устойчивость по линейному приближению, В точке, где происходит потеря устойчивости, становится возможным исключить очень большое число степеней свободы, поэтому макроскопическое поведение системы зависит лишь от весьма небольшого числа степеней свободы. В этой главе мы хотим показать в явном виде, каким образом вблизи точки, в которой происходит потеря устойчивости по линейному приближению, можно исключить большинство переменных. Такие точки потери устойчивости называются критическими. Предлагаемый вниманию читателя метод прост и охватывает большинство практически важных случаев. Основные идеи метода мы покажем на простом примере (разд. 7.1), после чего изложим наш метод для нелинейных уравнений в общем случае (разд. 7.2—7.5) Основные предположения и допущения перечислены в разд. 7.2, окончательные результаты приведены в разд. 7.4 (до формулы (7.4.5) включительно). Разд. 7.3 и конец разд. 7.4 посвящены вопросам, носящим более технический характер. Остальную часть этой главы мы отводим обобщению принципа подчинения на случай дискретных отображений с шумом и на стохастические дифференциальные уравнения типа Ито (и Стратоновича) (разд. 7.6—7.9). [c.224]

Как и прежде, мы можем ввести амплитуды и фазовые углы ф, . Если вещественная часть одного или нескольких собственных значений Хк из (10.1.7) становится положительной, то можно воспользоваться принципом подчинения. В разд. 7.6 было показано, что принцип подчинения вполне применим к стохастическим дифференциальным уравнениям типа Ланжевена—Ито или Стратоновича. Принцип подчинения позволяет свести исходную систему уравнений (10.1.2) к системе уравнений для параметров порядка — соответствующих и ф. Уравнения параметра порядка оказываются уравнениями типа (10.1.2), но с измененными N и (№. Влияние флуктуаций и наш подход к его описанию продемонстрируем сначала на примере. [c.328]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...