Нормальные координаты в случае системы с N степенями свободы

Рассмотрим сначала случай движения системы с двумя степенями свободы. Это позволят указать элементарную геометрическую интерпретацию перехода к нормальным координатам, которая далее распространяется на случай движения системы с произвольным числом степеней свободы. [c.245]

К этому специальному случаю мы пришли, так выбрав координаты исходной системы, что колебания парциальных систем (определяемых поочередным приравниванием нулю этих координат) оказались тождественными нормальным колебаниям системы. Так выбранные координаты называются нормальными координатами. Введя эти нормальные координаты, мы определяем парциальные системы и находим парциальные, а значит, й нормальные частоты (поскольку те и другие совпадают между собой). Применяя нормальные координаты, Mbf как будто избавляемся от необ- ходимости рассматривать колебания в двух связанных системах с одной степенью свободы каждая, так как парциальные системы — это системы с одной степенью свободы каждая, не связанные между собой. Однако в действительности это не так. [c.640]

Можно применить некоторые результаты, полученные в этой главе, для дальнейшей иллюстрации приближенных методов Рэлея, о которых уже шла речь в 16. Будем предполагать, что путем наложения воображаемых связей без трения в системе оставлена одна-единствен-ная степень свободы, так что в каждый момент времени конфигурация системы зависит только от одной координаты (д) таким образом, тип колебаний оказывается заданным. Частота, полученная в этом предположении, окажется для случая самого низкого нормального колебания верхним пределом истинного значения частоты, причем при удачном выборе типа колебаний приближение оказывается хорошим. [c.114]

Продолжение примечания с предыдущей страницы. Движение лиувиллевой системы (рис. 49) в проекции на каждую координатную ось имеет такой же колебательный характер, как движение в потенциальной яме (рис. 41). Таким образом, лиувиллева система сводится к двум системам с одной степенью свободы (но эти системы зависят, вообще говоря, от полной энергии исходной системы как от параметра, так что здесь нет такого тривиального распадения системы на одномерные, какое наблюдается при линеаризации после перехода к нормальным координатам иначе говоря, лиувнллева система в общем случае не является прямым произведением одномерных). Наконец, представление Пуансо (см. рис. 66) тоже можно рассматривать как сведение случая Эйлера к (ненатуральной) гамильтоновой системе с одной степенью свободы (см. рис. 74), [c.286]

Распространение этого метода на общий случай производится очевидным образом, однако уместно привести формальный перечень результатов. В любой консервативной системе с т степенями свободы существует, вообще говоря, т независимых нормальных свободных колебаний вблизи положения устойчивого равновесия. Частоты этих колебаний находятся из уравнения т-го порядка относительно п , содержащего симметричный детерминант аналогично уравнению (3), и, таким образом, зависят только от свойств самой системы. В каждом из этих нормальных колебаний система колеблется так, как если бы она обладала только одной степенью свободы, так что амплитуды колебаний для координат д , находятся в постоянном отно- [c.65]

В теории свободных колебаний упругого твердого тела приходится интегрировать. уравнения колебательного движения при заданных граничных условиях, относящихся к напряжениям и смещениям. Пуассон зб) дал решение проблемы свободных радиальных колебаний упругой сферы, а Клебш по образцу решения Пуассона, построил общую теорию. В эту теорию входит обобщение понятия нормальных координат на случай системы с бесконечно большим числом степеней свободы, введение соответствующих фундаментальных функций и доказательство тех свойств этих функций, с которыми приходится иметь дело при разложении любой заданной фуккции по этим функциям. Спор по вопросу о колебаниях струн, стержней, мембран и пластинок, который происходил как до Пуассона так и при нем, подготовил почву для обобщений Клебша. До появления трактата Клебша Ламе ) предложил другую теорию. Будучи знаком с исследованиями Пуассона о двух типах волн, ои пришел к заключению, что колебания всякого упругого тела должны распадаться на два соответствующих класса в согласии С,этим предположением он исследовал колебания различных тел. То обстоятельство, что его решения не удовлетворяли граничным условиям ля тел, поверхность которых свободна от напряжений, в достаточной мере компрометирует его теорию однако она была окончательно оставлена только после того, как все виды свободных колебаний однородной изотропной среди были изучены, и было доказано, что классы, на которые они распадаются, не соответствуют [c.30]

Рассматривая, как и выше, любую систему с двуу1я степенями свободы, мы всегда будем получать подобное частотное уравнение, квадратичное относительно р , которое обычно будет иметь два различных действительных положительных корня. Для каждого из згнх двух корней получится определенное отношение амплитуд двух соответствующих координат. Эти отношения амплитуд определяют две нормальные формы свободных колебаний системы, подобные представленным на рис. 136. Сложение в надлежащих пропорциях этих нормальных форм представит общий случай свободных колебаний, [c.189]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...