Теория возмущений и критические системы

Предположим,ЧТО размножающая система близка к критическому состоянию, и в ней произошло Небольшое изменение (или возмущение) свойств. Требуется определить, как будет реагировать система на это возмущение, т. е. какие изменения произойдут в полной интенсивности размножения оо или в эффективном коэффициенте размножения к. Если возмущение достаточно мало, то нет необходимости проводить новые полные расчеты для возмущенной системы или для каждого представляющего интерес возмущения. Вместо этого реакцию системы на небольшое возмущение можно определить с помощью теории возмущений, используя понятие сопряженной функции. Некоторые наиболее важные применения теории возмущений рассматриваются ниже. [c.215]

При использовании теории возмущений предполагается, что в первом приближении возмущенный поток Ф можно заменить невозмущенным Ф. В этом случае изменение эффективного коэффициента размножения критической системы, возникшее в результате возмущения сечений Аа и А (а/), дается выражением [c.219]

Дальнейшее углубление знаний о свойствах сопряженной функции и теории возмущений может быть достигнуто из рассмотрения невозмущен ной исходной системы в критическом состоянии, т. е. системы с а = О, и сравнения ее с возмущенной слегка подкритической системой, которая поддержи вается в стационарном состоянии с помощью источника. Для исходной [c.219]

После небольшого размышления можно видеть, что большая часть неясностей в этом вопросе обусловлена тем, что не существует достаточно строгого математического определения для понятия устойчивость . Возникает в еще большей степени та же трудность, если перейти к вопросу об устойчивости движения. Определения, предложенные различными авторами, были подвергнуты критическому разбору Клейном и Зоммерфельдом в их книге по теории волчка ). Отвергая прежние определения, они основывают свой критерий на виде изменений, вызываемых малыми произвольными возмущающими импульсами в траектории системы. Если невозмущенная траектория представляет предельное положение возмущенных траекторий при [c.447]

Согласно линейной теории [171, 254, 255] при достижении числом Re некоторого критического значения Re p стационарное решение этой системы становится неустойчивым относительно малых возмущений. Эти возмущения растут во времени и приводят к установлению нового равновесного вторичного течения, для расчета которого представим гидродинамические поля в виде [c.104]

СИСТЕМЫ А. М. ЛЯПУНОВА ). В системах Ляпунова отсутствует малый параметр, на который в квазилинейных системах умножены нелинейные члены. Большей частью это консервативные системы, обладающие в качестве первого интеграла интегралом сохранения полной механической энергии. При известных условиях такие системы допускают периодическое решение, разлагающееся в ряды по степеням начального значения одной из координат в предположении, что это значение достаточно мало. Вопрос о существовании периодического решения в таких системах был связан у Л. М. Ляпунова с вопросом об устойчивости невозмущенного движения системы, определяемого нулевыми значениями координат в одном из критических случаев , именно, когда характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней. Устанавливая условия периодичности возмущенного движения системы, можно, следуя Л. М. Ляпунову, получить также в этих условиях условия устойчивости невозмущенного движения в этом довольно часто встречающемся критическом случае. Общая теория нелинейных систем Ляпунова вместе с обобщением этой теории на класс систем, близких к системам Ляпунова, развита И. Г. Малкиным. Из монографии И. Г. Малкина [31] мы и заимствуем изложение теоремы Ляпунова о существовании и форме периодических решений рассматриваемых систем, приводимой без доказательства. [c.545]

Решения уравнения (1.3.31), соответствуюш,ие границе устойчивости, распадаются на два класса ( ), имеющие период тг (так называемые целые возмущения), и У (t) с периодом 2тг ( полуцелые возмущения). Решения полуцелого типа являются антипериодически-ми (меняют знак при сдвиге на тг). Однако функция (i), как следует из (1.3.29), свойством антипериодичности не обладает. При сдвиге на тг решения (i) преобразуются по правилу (i + тг) = С- (О (если Y выбрано вещественным, что всегда возможно), в то время как С+ ( + тг) = С (t). При сдвиге же на период вибраций оба типа решений остаются инвариантными и в этом смысле являются целыми. Существование двух классов критических возмущений связано с инвариантностью уравнения (1.3.28) относительно сдвига на половину периода вибраций и комплексного сопряжения. В этой связи упомянем теорему Opa [35], относящуюся к системам вида [c.50]

Советская научная литература по устойчивости чрезвычайно обширна и весьма богата результатами как в области развития теории, так л в области ее практических приложений (см. А. М. Ляпунов. Библиография . Составила А, М. Лукомская, под редакцией В. И. Смирнова, М.—Л., 1953). Разработка идей Ляпунова ведется по многим направлениям. Здесь надо отметить развитие и применение первого и, особенно, второго методов Ляпунова, установление новых теорем, расширяющих ж углубляющих эти методы анализ существования функций Ляпунова и их эффективного построения исследования устойчивости по первому приближению и в критических случаях, а также при постоянно действу-лопщх возмущениях исследования устойчивости не установившихся и периодических движений, а также уртойчивости на конечном интервале времени развитие теории приводимых и правильных систем, а также качественной теории дифференциальных уравнений распространение методов Ляпунова на механические системы, описываемые аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений (в особенности на сплошные среды), и многие другие. В последние годы выяснилось, что метод функций Ляпунова можно с успехом применять и в получении оценок приближенных интегрирований, и в теории оптимального управления (см. обзор Н. Н, Красовского в настоящем сборнике, стр. 179— 243), и в теории нелинейных колебаний и во многих других разделах науки. По теории устойчивости движения опубликован ряд прекрасных монографий. [c.11]

Численному моделированию конечно-амплитудных возмущений гидродинамического типа в цилиндрическом слое конечной высоты с теплоизолированными торцами посвящена работа [52]. Уравнения осесимметричной конвекции решались методом конечных разностей для чисел Прандтля Рг = О и 0,71 при различных отношениях радиусов б и отношениях высоты слоя к толщине Я Расчеты показывают, что при достаточно больших Н (для Рг = 0,71 и 6 = 0,8, например, Я > 13) формируется многовихревая структура, причем система кольцевых вихрей медленно дрейфует вверх. Критические параметры возмущений согласуются с результатами линейной теории. [c.82]

Задача устойчивости в критическом случае п пар чисто мнимых корней (без присоединенной системы) при условии отсутствия внутреннего резонанса исследована А. М. Молчановым (1961) по первым нелинейным формам преобразованной к специальному виду ( модельная система ) исходной системы уравнений возмущенного движения. Он установил теорему, согласно которой невозмущенное движение асимптотически устойчиво, если для модельной системы все нейтральные и неустойчивые лучи лежат вне положительного конуса % (р >0). Лучами автор называет особенные направления укороченной системы лучи соответственно устойчивы, нейтральны или неустойчивы, в зависимости от движения по лучу изображающей точки (к началу координат, неподвижна или уходит от начала координат). Кроме того, доказано, что если для модельной системы хотя бы один неустойчивый луч находится внутри положительного конуса X (р >0), то невозмущенное движение неустойчиво. В случае, когда внутри положительного конуса к (р >0) находится хотя бы один нейтральный луч, рассмотрением модельной системы вопрос б устойчивости не рептется. [c.58]

М. А. Айзерман и Ф. Р. Гантмахер (1957) заметили, что возникающий в случае исследования устойчивости состояния равновесия неголономной системы критический случай теории устойчивости относится как раз к тому частному случаю, который был полностью исследован А. М. Ляпуновым и И. Г. Малкиным. В связи с этим Г. Н. Князев (1963) предложил считать критическими случаями лишь такие, когда число нулевых корней характеристического уравнения больше числа уравнений неголономных связей, и рассмотрел случай, когда число нулевых корней больше числа уравнений неголономных связей на единицу. Ю. И. Неймарк и Н. А. Фуфаев (1965—1966) обратили внимание на то, что неголономная система не может иметь изолированных состояний равновесия, что состояния равновесия неголономной системы образуют многообразие, размерность которого в общем случае совпадает с числом нулевых корней и числом неголономных связей. Это позволило установить условия асимптотической устойчивости многообразия состояний равновесия по линейному приближению и выяснить особенности поведения неголономной системы по отношению к постоянно действующим возмущениям. [c.177]

В последнее время для оценки точности приближенных решений задачи определения эффективных параметров используются численные решения задач переноса для достаточно протяженных неоднородных систем. Как показано в [32], приближенные соотношения, даваемые так называемой теорией эффективной среды, весьма удовлетворительно согласуются с результатами численных экспериментов во всей области изменения параметров, за исключением, быть может, небольшой критической области вблизи порога перколяции (протекания), т. е. той концентрации непроводящего компонента, вблизи которой происходит запирание двухкомпонентной системы проводник — изолятор. В [32] на примере сеток со случайными сопротивлениями выявлены причины высокой эффективности самосогласованного решения теории эффективной среды, имеющего второй порядок точности по концентрации, в то время, как, например, метод возмущений (первое приближение) или приближения малой концентрации имеет только первый порядок точности. К этому следует добавить, что самосогласованные решения дают асимптотически точные результаты при больших и малых концентрациях. Указания на удовлетворительное совпадение результатов теории эффективной среды с физическим экспериментом имеются в [3, 25, 32, 42]. Далее методами теории самосогласования рассмотрены задачи определения эффективных параметров ряда систем и указана связь этих решений в двумерном случае с результатами А. М. Дыхне. [c.137]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...