Алгебра первых интегралов

Пример 12. Задача о движении точки в центральном поле имеет алгебру первых интегралов, изоморфную алгебре Ли so(3). Все ее коммутативные подалгебры одномерны. Пусть Mj —проекции кинетического момента точки на t-ую ось декартовой ортогональной системы координат. Легко проверить, что функции AI1 и независимы и коммутируют. Так [c.105]

Примеры свободное вращение твердого тела и задача трех тел. Рассмотрим сначала задачу Эйлера о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции (см. п. 2.4 гл. 1). Здесь Л1 = Г50(3) =50(3)X/ , группой симметрий О является группа вращений 50(3) ей соответствует пуассонов-ская алгебра первых интегралов, изоморфная алгебре Ли 50(3). Зафиксируем значение кинетического момента и рассмотрим интегральный уровень Мс=Рв<цз) Чс). Нетрудно показать, что при всех значениях с множество Мс является трехмерным многообразием, диффеоморфным пространству группы 50(3). Стационарной группой Ос является одномерная группа поворотов 50(2) твердого тела в неподвижном пространстве вокруг постоянного вектора кинетического момента. Приведенное фазовое пространство Л7е = 50(3)/50(2) диффеоморфно двумерной сфере. [c.110]

Этот факт важен в идейном отношении (первые интегралы гамильтоновой системы образуют подалгебру в алгебре всех функций), но практически бесполезен полученный таким образом интеграл всегда выражается через уже известные. [c.233]

Гамильтоновы векторные поля на симплектическом многообразии образуют подалгебру алгебры Ли всех полей. Функции Гамильтона также образуют алгебру Ли операция в этой алгебре называется скобкой Пуассона функций. Первые интегралы гамильтонова фазового потока образуют подалгебру алгебры Ли функций Гамильтона. [c.187]

В. Алгебры Ли гамильтоновых полей, функций Гамильтона и первых интегралов. Линейное подпространство алгебры Ли называется подалгеброй, если коммутатор двух любых элементов подпространства ему принадлежит. Подалгебра алгебры Ли сама является алгеброй Ли. Предыдущее следствие содержит, в частности. [c.190]

Следствие 7. Первые интегралы гамильтонова фазового потока образуют подалгебру алгебры Ли всех функций. [c.190]

Другая формулировка теоремы 20.1 множество первых интегралов конкретной гамильтоновой системы — алгебра Ли. [c.81]

Теперь рассмотрим, каким образом соответствие между фазовым потоком задачи Кеплера и геодезическим потоком на связано с наличием дополнительных первых интегралов, отсутствующих в случае произвольной центральной силы (7). Поверхности Ми в высшей степени однородны на каждой из них действует трехпараметрическая группа движений, т. с. преобразований, не меняющих метрику, а, следовательно, и сохраняющих геодезический поток. Согласно теореме Нетер, каждой однопараметрической подгруппе из этой группы, а точнее говоря, ее инфинитезимальной образующей, т. е. элементу алгебры Ли, отвечает первый интеграл. Известно, что геодезические, параметризованные длиной дуги, являются экстремалями интеграла действия ([7], 12) [c.31]

Перейдем непосредственно к исследованию алгоритма асимптотической декомпозиции в области Яо существования первых интегралов. Определяющее значение при этом, как показано в 1, имеет структура алгебры централизатора S o> порождаемой всевозможными решениями операторного уравнения [c.110]

Множество функций Р из (Н ), являющееся решением уравнения и/ = О, где и — оператор, ассоциированный с системой нулевого приближения (4.1), обладает базисным множеством P i == = i x (ж), Vn-i (ж) , составленным из первых интегралов (4.3). Сформулируем основную теорему о структуре алгебр 9So и Теорема 4.2. В области Н существования первых интегралов [c.110]

Предположим, что гладкие функции Н и Г коммутируют (находятся в инволюции ) Н,Г = 0. Тогда Г — первый интеграл канонической системы с гамильтонианом Н, и наоборот. JJ>a-зовые потоки и др этих систем также коммутируют на М. Так как Г, С , Н = , Я , С - С, Я , Г , то интегралы любой гамильтоновой системы образуют подалгебру в алгебре Ли всех гладких функций на М (теорема Пуассона). [c.23]

Прошло пятьдесят лет с тех пор, как в математике утвердились понятия группы и алгебры Ли. Термин алгебра Ли введен Г. Вейлем в 1934 г. [ 1, с. 467]. На языке групп Ли [ 2] и их инвариантов формулируется одна из основных задач аналитической механики, связанная с интегрированием уравнений движения. Понятие алгебраических инвариантов введено Дж. Сильвестром в 1851 г. и использовано Ф. Клейном для классификации различных геометрий. В работе [ 3], известной под названием Эрлангенской программы , Ф. Клейн предлагает любое многообразие задавать системой инвариантов относительно группы преобразований. В 1872—1876 гг. опубликована серия работ С. Ли [4], в которой устанавливается глубокая внутренняя связь симметрия — законы сохранения , свойственная задачам аналитической механики [5. 6]. С. Ли показал, что первые интегралы движения гамильтоновых систем являются следствием существования группы контактных преобразований фазовых переменных. [c.70]

Скобка Ли — Пуассона для алгебры е(3), порожденная соотношениями (3.13) при соответствии т,- <-+ г>, и pj <-+ вырождена функции (т,р) и коммутируют со всеми функциями на (е(3)) они же являются первыми интегралами уравнений Кирхгофа для всех гамильтонианов Н, поэтому к уравнениям Кирхгофа можно применить соображения, изложенные в п. 4 2. Рассмотрим четырехмерные интегральные поверхности Мс = т,р т,р) = = Сь (р,р) = Сг (с2 > 0), диффеоморфные, как легко видеть, касательному расслоению двумерной сферы. Ограничение скобки Ли — Пуассона на Мс является невырожденной скобкой Пуассона, которая превращает Мс в симплектическое многообразие. Поэтому уравнения Кирхгофа на Мс являются гамильтоновой системой дифференциальных уравнений с гамильтонианом Н, ограниченным на Мс, этот факт отмечен в работе [140] и одновременно в работе [84] для случая сх = 0. Особенно наглядно эта конструкция выглядит при С1 = 0. Положим т = ехр. Екли (т,р) = О и (р,р) > [c.40]

Замечание 2. Закон сохранения вектора момента относительно пространства можно выразить, сказав, что каждая компонента этого вектора в какой-либо системе координат на пространстве 9 сохраняется. Мы получаем, таким образом, множество первых интегралов уравнений движения твердого тела. В частности, каждому элементу алгебры Ли g соответствует линейная функция на пространстве g и, следовательно, первый интеграл. Скобки Пуассона первых интегралов, заданных функциями на д, как легко сосчитать, сами будут функциями на д. Мы получаем, таким образом, (бесконечномерное) расширение алгебры Ли д, состояп].ее из всевозможных функций на д. Сама алгебра Ли д вложена в это расширение как алгебра Ли линейных функций на д. Конечно, функционально независимы из всех этих первых интегралов фазового потока в 2п-мерном пространстве только п штук. В качестве п независимых интегралов можно взять, например, п линейных функций на д, образующих базис в д. [c.292]

Этот метод понижения порядка гамильтоновых систем принадлежит Пуанкаре, который применял его в различных задачах небесной механики. По существу — это гамильтонов вариант понижения порядка по Раусу. Если алгебра интегралов некоммутативна, то метод Пуанкаре использует известные интегралы не полностью. Этот недостаток метода Пуавкаре устранил Картан (Е. artan), изучивший общий случай бесконе.чио-мерной алгебры Ли первых интегралов (см. [23]). Более точно, Картан рассматривает гамильтонову систему (М, Я) с первыми ичтегралами Л,...,fn такими, что Fn.Fj =aij Fi.....Fk). Набор интегралов Fi,...,Fk задает естественное отображение F AI- -/ . В общем случае функции ац / - -/ нелинейны. [c.105]

Отметим, что L—Л-представление найдено почти во всех проинтегрированных задачах классической механики. Найдены также различные алгебро-геометрические конструкции, проясняющие причины существования скрытых законов сохранения. Наличие L—Л-представления помогает не только найти первые интегралы, но и осуществить явное интегрирование уравнений движения. Обсуждение различных аспектов современной теории интегрирования гамильтоновых систем можно найти в [32], [65], [136]. [c.145]

Метод основан на комбинации принципов вариационного исчисления-с частными производными и может рассматриваться математиками как особая ветвь алгебры, которая может быть названа исчислением главной функции, потому что во всех важных приложениях алгебры к физике и в очень широком классе чисто математических вопросов этот метод сводит определение многих взаимно связанных функций к отысканию и изучению главного или центрального соотношения. В приложениях этого метода к динамике (прежде этот метод был применен к оптике) профессор Гамильтон открыл существование главной функции, которая, если ее форма полностью известна, дает по определении ее частных производных все первые и все конечные интегралы известных уравнений движения. Профессор Гамильтон придерживается мнения, что математическое объяснение всех явлений материи, отличных от жизненных явлений, будет окончательно найдено в зависимости от свойств системы отталкивающихся или притягивающихся точек. И он думает, что те,, кто не одобряет его мнения во всей его общности, могут все же признать при современном состоянии науки свойства таких систем более важными, чем какая-либо другая область приложения математики к физике. Он, таким образом, считает фундаментальной проблемой динамики определить Зп прямоугольных координат или других характеристик положения свободной системы притягивающихся и отталкивающихся точек как функции времени , включающих, следовательно, 6п начальных постоянных, которые зависят от начальных условий движения, и включающих, кроме того, п других констант, называемых массами, которые измеряют на стандартном расстоянии притягательные и отталкивательные действия (energies). Обозначая эти п масс через т , т ,..., т и их Зп прямоугольных координат — через Xi,y ,Zi,. .., х , у , и, следовательно, 3 компонентов ускорения или вторых производных этих координат по времени — через х , У , . .. [c.284]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...