Устойчивость вращения вокруг главных осей

Устойчивость вращения вокруг главных осей инерции. Уравнения Эйлера удовлетворяются при q — О, г =0. Чтобы узнать, будет ли соответствующее вращение устойчиво, достаточно узнать, будут ли и г оставаться очень малыми, если они были малыми в начальный момент. При предположении малости q и г произведением qr можно пренебречь. Тогда первое [c.199]

Эйлера 145, 282 Ускорение добавочное 234 Устойчивость вращения вокруг главных осей 167, 199 [c.487]

Пусть теперь гироскопу сообщены малые возмущения в виде малых начальных угловых скоростей и Щу вокруг осей Ох и Оу. Если величины (Ох и (Оу остаются малыми с изменением времени, то вращение вокруг главной оси инерции — оси вращения Oz — считают устойчивым. Если эти величины неограниченно возрастают, то вращение вокруг главной оси инерции неустойчиво. Предположив, что вращение вокруг оси Oz устойчиво, установим условия, которые определяют ее устойчивость. Если вращение вокруг оси Oz устойчиво, т. е. сОл и малы, то в уравнениях (30) можно пренебречь членом с [c.477]

Из этих условий следует, что вращение вокруг главной оси инерции Ог является устойчивым, если момент инерции относительно этой оси наибольший или наименьший. В случае а < 0 следует ожидать появления неустойчивости. В этом случае является средним по сравнению с J X J у [c.478]

Покажем, что вращения вокруг главных осей, соответствующих наибольшему и наименьшему главным моментам инерции, являются устойчивыми а вращение вокруг главной оси, соответствующей среднему из главных моментов инерции, — неустойчивым. Мы будем исходить из преобразованных уравнений (26.17) и (26.18), введя в них компоненты момента импульса L, М, 7V, что весьма удобно для последующего графического представления [c.196]

Таким образом, вращение вокруг главной оси инерции устойчиво, если момент инерции относительно этой оси является наибольшим или наименьшим из трех главных моментов инерции. Заметим, что проведенный анализ математически недостаточно строг, так как точные уравнения заменялись приближенными, но можно показать (мы не будем останавливаться на этом), что полученные результаты остаются верными и при строгом рассмотрении. [c.329]

Замечание. Два положения равновесия, задаваемые равенствами (4), легко наблюдать визуально на экспериментальной установке с механическим приводом, изображенной на рис. 70. Подробное описание установки и проделанных на ней экспериментов содержится в гл. 6. После потери устойчивости вращения вокруг средней оси жидкость приходит в одно из двух устойчивых стационарных вращений (см. рис. 71) вокруг осей, плоскость которых составляет определенный угол с главным сечением эллипсоида, проходящим через длинную и среднюю оси. [c.65]

В гл. V было показано, что коэффициенты А, В и С представляют собой моменты инерции относительно осей т], соответственно. Отсюда сразу следует, что при движении тела с неподвижной точкой перманентное вращение вокруг тех главных осей, относительно которых момент инерции наименьший и наибольший, будет устойчивым. Применяя теорему Четаева о неустойчивости, можно показать, что перманентное вращение вокруг третьей оси (момент инерции относительно которой — средний по величине) неустойчиво. [c.235]

УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩЕНИЯ УРАВНОВЕШЕННОГО ГИРОСКОПА ВОКРУГ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ИНЕРЦИИ [c.477]

Представление об устойчивости вращения тела вокруг главных осей инерции можно составить на примере движения твердого тела, закрепленного в центре масс и находящегося под действием только силы тяжести и реакции закрепленной точки. Главный момент внешних сил относительно закрепленной точки в этом случае равен нулю. [c.503]

Движение трехосного волчка. Исследование устойчивости неизменных вращений его вокруг главных осей инерции [c.195]

Интегрирование дифференциальных уравнений движения твердого тела, которое вращается вокруг закрепленной тонки и на которое не действуют никакие силы. Устойчивость вращения вокруг оси наибольшего и наименьшего моментов инерции. Случай равенства двух из трех главных моментов инерции. Вращение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Интегрирование полученных дифференциальных уравнений при некоторых предположениях) [c.56]

Сплюснутый эллипсоид (рис. 62, а) образован вращением вокруг малой оси эллипса. Разрушение происходит с образованием вмятин в зоне полюсов А, где главные радиусы кривизны имеют наибольшее значение R = а /Ь. Поэтому в конструкциях необходимо обращать внимание на качество изготовления полюсов. Критическое давление потери устойчивости [101 [c.127]

Устойчивость вращения твердого тела вокруг главных осей инерции [c.328]

Следовательно, условие устойчивости вращения тела по инерции вокруг главной оси инерции г сводится к неравенству [c.329]

Иное дело, будет ли это вращение устойчивым по отношению к малым возмущениям, всегда имеющим место в реальных условиях. Опыты показывают, что вращение вокруг главных центральных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции является устойчивым, а вращение вокруг оси с промежуточным значением момента инерции — неустойчивым. В этом можно убедиться, подбрасывая вверх тело в виде параллелепипеда, раскрученное вокруг одной из трех взаимно перпендикулярных главных центральных осей (рис. 3.7). Ось АА [c.43]

Пуансо, Луи (3.1.1777-5.12.1859) — французский инженер, механик и математик. Дал геометрическую интерпретацию случая Эйлера, ввел понятия эллипсоида инерции, мгновенной оси вращения и связанные с ней понятия — полодий и герполодий (1851 г.). Привел геометрический анализ устойчивости вращения твердого тела вокруг главных осей эллипсоида инерции. Пуансо, в противовес Лагранжу, настаивал на преимуществе геометрических методов в механике над аналитическими — во всех этих решениях мы видим только вычисления без какой-либо ясной картины движения тела [252]. Идеи Пуансо далее были поддержаны и развиты П. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным. Геометриче- [c.21]

Следовательно, жесткие вращения возможны только вокруг главных осей инерции —они родственны перманентным вращениям абсолютно твердого тела в случае Эйлера (см. гл. VI). Однако имеется и существенное различие, которое состоит в том, что абсолютно твердое тело может вращаться (в действительном движении) относительно любой оси, тогда как система свободных точек может вращаться с сохранением конфигурации только вокруг главных осей инерции. Здесь не имеет смысла постановка вопроса об устойчивости перманентных вращений неизменной конфигурации. В задаче п точек прежде всего возникает вопрос об устойчивости самой конфигурации [c.481]

Пример 8. Тело, закрепленное в одной неподвижной точке, расположенной S его центре тяжести, движется по инерции (случай Эйлера). Требуется исследовать устойчивость вращения тела вокруг главных осей эллипсоида инерции. [c.449]

Если эллипсоид будет точно эллипсоидом вращения (продолговатые снаряды), то устойчивыми будут вращения только вокруг оси симметрии. В самом деле, если тело вращается вокруг одной из главных осей в плоскости экватора и если в каком-нибудь случае полюс т будет немного отклонен от этой плоскости, то он будет описывать на поверхности эллипсоида круг, параллельный экватору и почти совпадающий с ним. Следовательно, ось в теле сильно отклонится от своего первоначального положения. Интересно отметить, что в пространстве ось, напротив, останется очень близкой к своему первоначальному положению, так как длина От мало отличается от экваториального радиуса. [c.168]

Эта фигура позволяет судить о влиянии небольшого возмущения на установившееся вращение вокруг- одной из главных осей. Если тело вращается вокруг оси Ох, то в возмущенном движении инвариантный конус будет всегда заключать эту ось внутри себя, и, следовательно, ось вращения не отклонится значительно от неизменяемой прямой, неподвижной в пространстве. Вращение вокруг оси Ох считается поэтому устойчивым. [c.117]

Пример 1 (Устойчивость стационарных вращений твердого тела в СЛУЧАЕ Эйлера). Как показано в п. 99, при стационарных вращениях твердого тела в случае Эйлера вращение происходит с постоянной по величине угловой скоростью вокруг любой из главных осей инерции тела для неподвижной точки. Изучим устойчивость движения, в котором [c.519]

Пример 1 (Неустойчивость стационарного вращения твердого тела в СЛУЧАЕ Эйлера вокруг оси среднего по величине момента ИНЕРЦИИ ). Рассмотрим устойчивость вращения (2) твердого тела в случае Эйлера, предполагая, что ось вращения отвечает среднему по величине главному моменту инерции тела для неподвижной точки О. Для определенности будем считать, что С > А > В и и > 0. [c.526]

Контур Е является проекцией эллипсоида на плоскость О т]. Каждая из дуг гипербол О является проекцией замкнутой полодии на плоскость О т]. Следовательно, в этом случае даже при очень малых абсолютных значениях начальных скоростей (й о и соро точка М 1иЦ Л ) будет описывать на эллипсоиде инерции полодию конечных размеров. Это доказывает неустойчивость оси вращения, совпадающей с соответствующей рассматриваемому случаю главной осью эллипсоида инерции. Во всех приведенных выше случаях угловым скоростям вращения вокруг главных осей эллипсоида инерции, рассматриваемых как устойчивые оси вращения, возмущения не сообщались. Поэтому проведенный здесь анализ не позволяет судить об устойчивости угловой скорости вращения вокруг этих осей. [c.421]

IV.2. Вращение волчка вокруг своих главных осей. В случае несимметричного волчка (см. рис. 46а, б) вращение вокруг главных осей, соответствующих наибольшему или наименьшему моментам инерции, является устойчивым, а вращение вокруг оси, соответствующей среднему главному моменту, — неустойчивым. Для аналитического доказательства этого предложения нужно исходить из уравнений Эйлера и принять угловую скорость вращения вокруг оси, равной р = onst = ро- Угловые скорости вращения q и г вокруг остальных двух главных осей инерции, которые вначале равны нулю, под влиянием внешнего возмущения принимают отличные от нуля значения. Если предположить, что возмущение мало, то из первого уравнения Эйлера следует, что р в первом приближении остается неизменным и равным р + 0. Из остальных двух уравнений получаем для q и г систему двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Полагая q = и г = где а иЬ произвольные константы, получаем квадратное уравнение для Л, из рассмотрения которого и вытекает высказанное нами выше утверждение. [c.326]

Устойчивость постоянных вращений твердого тела. Если твер-юму телу сообщить вращение вокруг одной из главных осей эл-1ипсоида инерции, то оно будет продолжать вращаться вокруг такой оси неограниченно долго. Такие оси называются постоянными осями вращения. Мгновенная ось вращения остается неподвижной в теле только при вращении вокруг главных осей ннерции. [c.419]

Мы доказали теорему Решения уравнений Эйлера, описы-ваюи ие стационарное вращение вокруг главных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции, устойчивы, а решение, описывающее стационарное вращение вокруг главной оси со средним значением момента инерции, неустойчиво. [c.377]

УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ОДНОЙ ЗАКРЕ.ПЛЕННОИ ТОЧКОЙ ВОКРУГ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ИНЕРЦИИ [c.503]

Сравнивая эти равенства с (160), заключим, что равновесию отвечают поступательные двиоюения с постоянной скоростью вдоль главных осей тензора присоединенных масс X. В частности, если движущееся тело имеет форму трехосного эллипсоида, то оси этого эллипсоида совпадут по направлению с главными осями тензора присоединенных масс. Если телу предоставить возможность равномерно двигаться по одному из этих направлений и не сообщить начального вращения, то оно так и будет двигаться дальше, не враищясь. Среди этих трех положений равновесия только одно является устойчивым, а именно то, которое соответствует движению в направлении оси с наибольшим коэффициентом Х г. Так, например, в случае трехосного эллипсоида устойчивым будет движение в направлении наименьшей его оси. Эллипсоид вращения будет устойчиво сохранять поступательное движение, если его двигать с П0СТ0Я1И10Й скоростью в любом, поперечном к его оси направлении. Эти результаты легко получить, определяя знаки проекций моментов Mi вокруг главных осей при движениях в направлениях, мало уклоняющихся от этих осей. Отсылаем интересующихся деталями к гл. VI ранее цитированного руководства Г. Лэмба. [c.409]

При сообщении свободному твердому телу начальной угловой скорости вокруг одной из осей эллипсоида инерции три направления — этой оси, мгновенной оси вращения (вектора о) и главного момента количеств движения К совпадают и сохраняют неизменное направление в пространстве. При малом возмущении вектор ю будет описывать конус с малым углом раствора (конус герполопии) вокруг нового, но неизменного в пространстве направления вектора К однако угол раствора конуса герполодии, описываемого вектором <л по отношению к осям, связанным с телом, будет оставаться достаточно малым лишь при условии, что начальное вращение происходило вокруг оси наибольшего или наименьшего моментов инерции. В этом смысле говорят, что вращения свободного твердого тела вокруг осей наибольшего или наименьшего моментов инерции устойчивы, а вокруг оси среднего момента инерции неустойчивы. Вращение вокруг оси наибольшего момента инерции устойчивее в том смысле, что малое возмущение начального вращения вокруг этой оси создает конус герполодии с меньшим углом раствора, чем возмущение вокруг оси наименьшего момента инерции. (Прим. ред.) [c.703]

Практически редко приходится иметь дело с соверщепио свободным вращением вокруг одной из главных осей. Обычно на вращающееся тело действуют силы трения и для поддержания вращения нужно прикладывать момент внешних сил. В этом случае обычно устойчивой оказывается только одна главная ось, соответствующая наибольшему моменту инерции. [c.438]

Вследствие предположения, которое сделано при выводе уравнений (8), осью 2 может быть ось наибольшего или наименьшего, но не среднего главного момента инерции. Проведенные вычисления показывают, что если мгновенная ось вращения при / = О бесконечно мало отклонена от оси наибольшего или наименьшего главного момента инерции, то она всегда остается бесконечно близкой к этой оси. Поэтому говорят, что вращение тела вокруг оси наибольшего и вокруг оси наименьшего главных моментов инерции устойчиво. Пусть тело может вращаться также вокруг оси среднего главного момента инерции, тогда уравнения (4) выполняются, если предположить р = О, р = О, г = onst но это вращение неустойчиво, т. е, если бесконечно мало отклонить мгновенную ось вращения при i = О от рассматриваемой главной оси, то это отклонение станет конечным с течением времени (хотя бы по истечении бесконечно больщого промежутка времени). Именно, пусть и бесконечно малы, т. е. в силу уравнений (7) и (8) бесконечно мало отличается от единицы, эллиптические функции /, которые входят в уравнение (5), превращаются в показательные функции, и обсуждение этого случая приводит к высказанной теореме, что, однако, не должно здесь рассматриваться. [c.62]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...