Плоскость гомологии

Преобразуем параболоид 2 в параболоид 2, ось которого вертикальна, а сечение плоскостью Б совпадает с сечением этой плоскостью параболоида 2. Примем плоскость гомологии совпадающей с плоскостью 2, направление двойных прямых — параллельным плоскостям П1 и Пг- При этих условиях центр гомологии будет бесконечно удаленным и лежащим в плоскости Е. Такое преобразование называется сдвигом. [c.196]

На рис. 353 изображен трехосный эллипсоид Ф, одна из осей которого наклонена к плоскости Пх- Эллипсоид рассечен плоскостью 2 по эллипсу, проецирующемуся на плоскость Па в отрезок СгОз, и плоскостью X по эллипсу, проецирующемуся на ту же плоскость в отрезок АгВ. . Приняв в качестве плоскости гомологии плоскость 2, а направление двойных прямых параллельным плоскостям П1 и Па, произведем преобразование сдвига (см. рис. 301), преобразовав эллипсоид в эллипсоид Ч с вертикально расположенной осью. Сечение АВ при этом преобразуется в сечение АВ, сечение же остается общим для обоих эллипсоидов. [c.237]

В гл. I мы рассмотрели гомологические преобразования на плоскости. Теперь остановимся на преобразованиях пространственных фигур. Вместо оси гомологии мы будем использовать плоскость гомологии. Это плоскость двойных точек. При заданных центре и плоскости гомологии пары гомологичных точек, прямых или плоскостей определяют гомологию. [c.102]

Пусть Е — плоскость гомологии, 5 — центр гомологии, точки А к А гомологичны, т. е. Н (5 Е А А) (рис. 284). Нужно найти точку В, гомологичную точке В. Соединим точки А и В прямой и, найдя точку 1 (двойную точку) ее пересечения с плоскостью гомологии Т, соединим эту точку прямой линией с точкой А. Прямые А—1 и А—1 гомологичны. Остается провести двойную прямую через точки В и 5. Она пересекается с прямой А—1 в искомой точке В. [c.102]

Преобразуем вытянутый эллипсоид вращения в сферу (рис. 285). Плоскость родства (понятие, аналогичное понятию плоскость гомологии) X примем параллельной П, и проходящей через центр эллипсоида. Направление двойных прямых преобразования примем перпендикулярным плоскости родства.. [c.102]

Гиперболоид Плоскость гомологии вращения / [c.114]

Если совместить поле ГГ и центр 8 с полем П, то получи.м изображение коллинеации, которое называется гомологией на плоскости. [c.35]

На плоскости (рис.32, б) гомология с несобственным центром проецирования называется перспективно-аффинным, или родственным, преобразованием двух плоских полей. Прямая р - ось родства, направление s - направление родства. Для задания родства достаточно задать одну родственную точку и ось родства, например,/>, А - А. Линия связи A-i [c.36]

На плоскости (рис. 27, б) гомология с несобственным центром проецирования называется перспективно-аффинным, или родственным, преобразованием двух плоских полей. Прямая р - ось родства, направление s - направление родства. Для задания родства достаточно задать одну родственную точку и ось родства, например, р, А - А. Линия связи А-А указывает направление родства. Если задать точку В, то легко найти точку В, и наоборот (это можно проследить по рис. 27, б). [c.39]

Многие изделия в машиностроении характеризуются симметрией криволинейной, или гомологией. В отличие от симметричных фигур с равными расстояниями между соответственными точками, гомологические фигуры имеют неравные расстояния между точками (отражение фигур искривленными поверхностями). Плоскостные и прямолинейные элементы симметрии представляют собой лишь частные случаи элементов криволинейной симметрии. Гомологические фигуры можно получить и другими способами, например, отражением фигуры в зеркальной плоскости -с помощью не перпендикулярных, а косых лучей в этом случае круг после отражения превращается в гомологический эллипс. То есть, может быть не только прямоугольная или ортогональная симметрия, но и косая — точки на линиях, наклонных к плоскости. Можно представить себе такие оси симметрии, вокруг которых точки фигур вращаются не в перпендикулярных, а в косо расположенных плоскостях, не по кругам, а по эллипсам, и т. д. Таким образом, симметрия, характеризуемая равенством расстояний между соответственными точками двух фигур 4 [c.51]

В процессе вращения обе плоскости могут быть совмещены. Соответствие между точками таких совмещенных плоскостей уже нельзя рассматривать как результат центрального проектирования. В этом случае будет иметь место преобразование точек одной плоскости в другие точки той же плоскости, при котором сохраняется прямолинейное расположение точек и остаются неподвижными все точки некоторой прямой. Такое взаимно однозначное преобразование проективной плоскости в себя называется гомологией. [c.277]

Что касается центра гомологии, то им будет та точка картины, с которой совмещается центр проектирования (точка зрения 5). В проективной геометрии доказывается, что центр проектирования при вращении плоскости данной фигуры перемещается по окружности, плоскость которой перпендикулярна [c.279]

Не приводя доказательства этого утверждения для общего случая, покажем, как определяется положение центра гомологии при совмещении с картиной фигур, лежащих в предметной плоскости Т. На рис. 392 показана точка Л,, принадлежащая предметной плоскости [c.279]

Установив положение центра гомологии и соответствие главного пункта Р бесконечно удаленной точке прямых предметной плоскости, каждая из которых перпендикулярна к основанию картины, перейдем к решению некоторых задач линейной перспективы. [c.280]

На оси гомологии пересекаются пары соответственных прямых. Соответствующие друг другу фигуры в этом случае называют гомологичными. Гомология определяется заданием центра 8 , оси 0x0 и пары соответственных точек А и А , расположенных на одной прямой с точкой 5 (рис. 486). В этом случае для каждой точки плоскости, например В, можно определить ей соответственную 5,. Для [c.347]

Совмещение осуществляют, вращая фигуру вместе с ее плоскостью вокруг прямой, по которой плоскость фигуры пересекает картину. Эта прямая служит осью гомологии, так как точки ее преобразуются в себя. [c.348]

Что касается центра гомологии, то им будет та точка картины, с которой совмещается центр проектирования (точка зрения 5). В проективной геометрии доказывается, что центр проектирования при вращении плоскости данной фигуры перемещается по окружности, плоскость которой перпендикулярна к оси гомологии. Центром этой окружности является точка пересечения картины и прямой, проходящей через точку зрения 5 перпендикулярно к оси гомологии и параллельно плоскости фигуры ). [c.348]

Гомология. Если плоскость Р1 повернуть вокруг оси до совмещения с плоскостью Р, то соответствие между точками плоскостей сохранится и перспективная коллинеация не нарушится (рис. 154,6). Все прямые, соединяющие соответственные точки, проходят через точку 8, которая изменит свое положение. Такое взаимно однозначное соответствие двух совмещенных плоскостей называется гомологией. Точку 5 называют центром гомологии, а прямую т, содержащую двойные точки,-осью гомологии. [c.118]

Аффинная гомология. Соответствие, установленное в пространстве между двумя плоскостями при параллельном проецировании, сохраняется и при совмещении плоскостей (рис. 154, в). [c.119]

В основе способов реконструкции перспективы лежит одна из фундаментальных закономерностей геометрии — взаимно однозначное преобразование плоскости в себя, которое называется гомологией (см. 37, рис. 154, а, б). В результате гомологического преобразования устанавливается соответствие между перспективой плоской фигуры и самой фигурой, при этом плоскость фигуры должна быть совмещена с картиной. [c.271]

Однозначное соответствие двух плоских полей одной плоскости можно установить иначе будем вращать в любом направлении плоскость й вокруг прямой 5 до совпадения с плоскостью П (или наоборот). Когда треугольник АВС совпадет с плоскостью П, совпадут с этой плоскостью и прямые В—1, В—2 и А—5 следовательно, треугольники АВС и А В С будут расположены относительно друг друга в соответствии с /45/ и будет иметь место гомология с той же осью, что и в предыдущем случае, но, естественно, с другим центром. [c.27]

В заключение отметим элементарный факт, касающийся топологии плоскости. Доказательство не использует теорию гомологий по-настоящему, но записывается проще, если иметь в виду фундаментальные определения этой теории. [c.718]

Чтобы определить гомологию на плоскости, достаточно задать её ось и центр и указать одну пару соответственных [c.44]

Перспектива Ф фигуры р и её совмещение Гд будут соответствовать одна друго.Ч в гомологии, центром которой служит точка Сд, а осью — след плоскости а на картинной плоскости X. В этой гомологии точке (2 соответствует несобственная точка прямой oQ Зная пару соответственных точек, можно для каждой точки построить ей соответственную и, следовательно, для фигуры Ф построить соответствующую ей фигуру Гд, т. е. найти совмещение фигуры [c.46]

Пусть точки А н А гомологичны (рис. 296) нужно найти точку В, гомологичную точке В. Соединим точки А и В прямой и, найдя точку С ее пересечения с плоскостью гомологии 2, соединим эту точку прямой линией с точкой А. Прямые АС и ЛС гомо-логичны Остается провести дмйную прямую через точки В и 5. Она пересекается с прямой АС в искомой точке В. Проведенные нами построения позволяют перейти от гомологических преобразований пространства к гомологическим преобрачованиям на плоскости действительно, прямые ЛЛ и ВВ определяют плоскость, которая по прямой S пересекается с плоскостью S. В этой плоскости лежит точка S. Рассматривая прямую S как ось, а точку S — как центр гомологии, мы имеем дело с гомологичным преобразованием на плоскости. [c.192]

Теперь произведем гомологическое преобразование отсека двуполостного гиперболоида вращения в отсек сферы. Проведем касательную 8282 к фронтальной проекции поверхности в точке Вг и отметим точку ее пересечения с осью гиперболы — фронтальной проекции поверхности. Будем рассматривать точку 5, лежащую на оси поверхности, как центр гомологии. В качестве плоскости гомологии примем горизонтальную плоскость 2 (2 ), а двух гомологичных прямых — профильно-проецирующие прямые вив, пересекающиеся с осью поверхности и проходящие соответственно через полюс сферы и вершину гиперболоида. Отсек сферы, гомологичный отсеку гиперболоида, соприкасается с гиперболоидом по окружности, проходящей через точки В и X Центр сферы 0(0а) расположен в пересечении с осью поверхности перпендикуляра к прямой В8, проходящего через точку В. После преобразования фронтальной проекцией поверхности стал сегмент круга радиуса ВзОг с центром в точке Ог. Горизонтальной проекцией отсека попгрхности остается круг радиуса В151 с центром в точке 51. [c.196]

Рассмотрим аналогичную задачу, воспользовавшись гомологичным преобразованием с собственным центром гомологии. Пусть дана поверхность вращения второго порядка (эллипсоид, параболоид или двуполостный гиперболоид), рассеченная плоскостью 2 (рис. 352, в). Преобразуем эту поверхность в сферу (см. рис. 300), задавшись плоскостью гомологии 2 и центром гомологии /(. Спроецируем сечение Л В из вершины поверхности 5 на плоскость 2, а гомологичное ему сечение, лежащее на поверхности сферы, спроецируем на ту же плоскость из центра 5. Оба проецирующих конуса [c.237]

Теперь произведем гомологическое преобразование отсека двуполостного гиперболоида вращения в отсек сферы. Проведем касательную к фронтальной проекции контура поверхности в точке В2 <см. рис. 52) и отметим точку ее пересечения с проекцией оси поверхности. Будем рассматривать точку S как центр гомологии. В качестве плоскости гомологии примем горизонтальную плоскость П (iii,a двух гомологичных точек—полюс сферы Н и (Яз) [c.104]

Рассмотрим аналогичную задачу, воспользовавшись гомологическим преобразованием. Дана нелинейчатая поверхность вращения второго порядка, рассеченная плоскостью 1 (рис. 341). Преобразуем эту поверхность в сферу (см. рис. 288), задавшись плрскостью гомологии П и центром гомологии К. Спроецируем сечение АВ из вершины 5 поверхности на плоскость П, а гомологичное ему сечение, лежащее на сфере, спроецируем на ту же плоскость из центра 5. Оба проецирующих конуса (с вершинами 5 и 5) пересекаются с плоскостью гомологии по кривой А , которая в соответст-ствии с /146/ представляет собой окружность. [c.126]

На рис. 343 изображен отсек нелинейчагой поверхности второго порядка, ось которой параллельна Пз и наклонена к П под углом, оглнчным от прямого. Поверхность рассечена горизонтальной плоскостью П по эллипсу, проецирующемуся на П2 в отрезок С2 Оз и фронтально проецирующей плоскостью Г, наклоненной к П,. Сечение этой плоскостью проецируется на П2 в отрезок /1262- Приняв О. в качестве плоскости гомологии, а направление двойных прямых параллельным оси х, произведем преобразование сдвига (см. рис. 289 , преобразовав поверхность Ч в поверхность Ч с вертикальной осью. (Прямую 5Е не следует смешивать с осью поверхности, которая на чертеже не показана. На прямой 5Е расположен диаметр поверхности, сопряженный ее сечению плоскостью О). Сечение АВ при этом преобразуется в сечение АВ, сечение же СЛ остается общим для обеих поверх юстей (оно лежит в плоскости гомологии). [c.127]

На оси гомологии пересекаются пары соответственных прямых. Соответствующие друг друг у фигуры в этом случае называют гомоло-1ИЧНЫМИ. Гомология определяется заданием центра So, оси т и пары соответственных точек А н А, расположенных на одной прямой с точкой S (черт. 8). В этом случае для каждой точки плоскости, например В, можно определить ей соответственную — В. Для этого поступают следующим образом. Прямая А В, соответственная прямой А В, должна проходить через двойную точку Со последней. Искомая точка В должна быть и на прямой СоА, и на проецирующей линии 8цВ. Пересечение указанных прямых и определяет точку S. [c.10]

Гомология играет существенную роль н теории линейной перспективы. Здесь устанан-ливается соответствие между перспективой фигуры и самой фигурой, причем плоскость последней должна быть совмещена с картиной. [c.11]

Гомология перспективы. Здесь спективой фигуры и самой фигурой, причем плоскость последней должна быть совмещена с картиной К- [c.278]

В коллинеарном соответствии, устанавливаемом между точками плоскостей Т и К при прое ктировании из 5, прямой плоскости Т соответствует прямая Ы Р плоскости К. Заметим, что точке Р (главному пункту) соответствует бесконечно удаленная точка прямой АуЫд. С помощью проектирующего луча 5 5 определена перспектива А точки Лг. При совмещении плоскости Т с картиной, когда за ось вращения принимается основание картины 0 0 , точка Л займет положение, отмеченное через Л (Л Л/д=Л Л/ о). Проектирующий луч должен будет проходить через соответственные друг другу точки Л и Л и центр гомологии. Искомый центр, кроме того, должен принадлежать прямой, соединяющей точку Р и ей гомологичную бесконечно удаленную точку прямой Л ЛГд. Эта прямая Р5д проходит через главный пункт Р параллельно прямой А Мд. Пересечение прямых А А и Р5 определяет положение центра гомологии — точку Нетрудно показать, что отрезок Р8д равен главному расстоянию 8Р. Действительно, из подобия треугольников АР8 и АМ А следует, что [c.280]

Чтобы определить длину отрезка, вращаем предметную плоскость Т вокруг основания картины до совмещения с картиной. Центр перспективы, как это только что было показани, совмещается с картиной в точке 5 , которая является центром гомологии, связывающей перспективу данного отрезка с его совмещением Л В. Осью этой гомологии служит основание картины О1О9. Подчеркнем, что точке Р соответствует бесконечно удаленная точка прямой [c.350]

Зафиксируем неособое значение а., для удобства выберем его вещественным 1<<х.<02- Неособый слой У. = 2ь 22, 23, 24 , его приведенная нульмерная группа гомологий Яо(У.) = 2 . Рассмотрим на плоскости значений ш отмеченную систему путей <р1, ф2, фз. Она порождает отмеченный базис исчезающих циклов Д< = [2<]—[2<+1], 1=1, 2, 3, группы Яо(У.)- Монодромия вдоль простой петли, соответствующей ф<, определяет перестановку точек z и 21+1 в слое V.. [c.63]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...