Уравнения Ньютона — Лагранжа

Первые две главы посвящены уравнениям Ньютона и Лагранжа и вполне традиционны по содержанию. Лекция 16, посвященная движению частицы по поверхности произвольной кривизны, представляет собой введение в общий тензорный анализ. В четвертой главе при изучении линейных [c.7]

УРАВНЕНИЯ НЬЮТОНА И ЛАГРАНЖА [c.9]

Глава I. Уравнения Ньютона и Лагранжа [c.10]

Возможны, однако, и другие обобщения классической механики, порождаемые более тонкой аналогией. Мы видели, что принцип Гамильтона дает возможность компактно и инвариантно сформулировать уравнения механического движения. Подобная возможность имеется, однако, не только в механике. Почти во всех областях физики можно сформулировать вариационные принципы, позволяющие получить уравнения движения , будь то уравнения Ньютона, уравнения Максвелла или уравнения Шредингера. Если подобные вариационные принципы положить в основу соответствующих областей физики, то все такие области будут обладать в известной степени структурной аналогией. И если результаты экспериментов указывают на необходимость изменения физического содержания той или иной теории, то эта аналогия часто показывает, как следует произвести подобные изменения в других областях. Так, например, эксперименты, выполненные в начале этого века, указали на то, что как электромагнитное излучение, так и элементарные частицы обладают квантовой природой. Однако методы квантования были сначала развиты для механики элементарных частиц, описываемой классическими уравнениями Лагранжа. Если электромагнитное поле описывать с помощью лагранжиана и вариационного принципа Гамильтона, то методами квантования элементарных частиц можно будет воспользоваться для построения квантовой электродинамики (см. 11.5). [c.60]

Две основные функции Т я V соответствуют двум величинам, которые приравниваются друг другу в уравнении Ньютона Произведение массы на ускорение равно силе . Это уравнение может быть интерпретировано как баланс между силой инерции и движущей силой. Подобный баланс может быть установлен и при аналитическом подходе путем разделения членов с двумя основными скалярами аналитической механики кинетической энергией Т и силовой функцией и. Уравнения Лагранжа можно записать в виде [c.144]

Примером универсальных уравнений Лагранжа являются и уравнения Ньютона для системы свободных точек [c.107]

П2.2.4. Уравнения Лагранжа и Гамильтона. Для получения уравнений Лагранжа в криволинейных координатах q используется стандартная операция проектирования уравнений Ньютона, записанных в прямоугольных координатах х, на оси криволинейных координат с помощью следующих уравнений связи х = x q) Xi = = Xi (q ,q ,q ), i = 1,2, 3. [c.437]

Спроектируем уравнение (П2.23) на оси криволинейной системы координат. Когда = 0(с = оо), приходим к обычным уравнениям Лагранжа 2-го рода. Если /3 О, то при умножении векторного уравнения Ньютона (П2.23) на базисные векторы e j = dr/dq получим уравнения Лагранжа вида [c.438]

Для нахождения шести функций (2) используют вспомогательные уравнения, которые связывают производные от этих функций с самими функциями. Эти дифференциальные уравнения называются уравнениями Ньютона — Лагранжа. [c.266]

Для вывода уравнений Ньютона — Лагранжа воспользуемся приемом, предложенным А. И. Лурье [8.9]. [c.266]

Два векторных равенства (14) и (15) и являются, по сути дела, дифференциальными уравнениями возмущенного движения. В дальнейшем мы 1) заменим их шестью скалярными равенствами 2) выразим входящие в эти равенства величины через оскулирующие элементы е (/), р (/), и (О, у t), (О t), т t) и их первые производные 3) получим выражения для производных от оскулирующих элементов. Это и будут уравнения Ньютона — Лагранжа. [c.270]

Уравнения (31), (32), (39) — (42) и представляют собой искомую систему уравнений Ньютона — Лагранжа. [c.277]

Во многих практически встречающихся случаях возмущающее ускорение Ф не зависит явно от времени Тогда и правые части дифференциальных уравнений Ньютона — Лагранжа тоже не зависят явно от 1. В этом случае целесообразно принять за независимое переменное вместо времени I аргумент широты и [8.11]. Воспользуемся для этого уравнением (33), которое перепишем в виде [c.277]

Следующим этапом является рассмотрение задач о движении системы точек. Указывается, что для решения задач о движении свободной системы нет другого пути, чем составление и интегрирование системы дифференциальных уравнений для каждой точки. Затем рассматривается несвободная система. Путем введения реакций связей расширяется учение о связях. Отмечается, что решение задачи о движении несвободной системы при помощи уравнений Ньютона, составленных для каждой точки в отдельности, весьма сложно и что здесь лучше применять метод, разработанный Лагранжем. [c.74]

Для этой цели употребляются обычнйе уравнения Ньютона или Лагранжа, определяющие возмущения элементов оскулирующей кепле-ровой орбиты спутника под действием возмущающей силы, заданной своими проекциями на три взаимно перпендикулярные направления. [c.360]

Уравнения (22) называются уравнениями Лaгpaнжa ). Число таких уравнений совпадает с числом новых координат. В рассматриваемом здесь случае (системы без механических связей подробнее см. далее) оно в точности равно ЗЛ/, т. е. числу уравнений Ньютона, которые можно выписать для этой же материальной системы, если бы рассматривалась декартова система координат. Но в отличие от уравнений Ньютона уравнения Лагранжа (22) уже не связаны с декартовой системой координат х, у, г и выписаны Б произвольных независимых новых координатах , q . [c.129]

Принцип Эйлера — Лагранжа позволяет определять реакции связей. Действительно, если к заданным активным силам, действующим на механическую систему, добавим все реакции связей, то из принципа Эйлера — Лагранжа получим уравнения Ньютона для системы совершенно свободных точек. Однако практически более интересным является метод определения отдельных реакций. Идея этого метода заключается в том, что заданные активные силы дополняют одной интересующей нас реакцией, но зато систему понимают свободной от связи, порождающей одну и именно эту интересующую пас реакцию. Для освобожденной таким образом механической системы, имеющей на одну степень свободы больше, определяют дополнительную голоноыную координату q, изменение которой дает освобожденное перемещение в системе вычисляют новые Г, обобщенную силу Qq в освобожденном движении, подставляют значения переменных для действительного движения в уравнение Лагранжа [c.171]

Релятивистские уравнения Лагранжа. Теперь, когда нами получено релятивистское обобщение уравнения Ньютона, мы можем перейти к вопросу о релятивистских уравнениях Лагранжа. В некотором отношении это сделать легко, так как нетрудно образовать лагранжиан, приводящий к правильным релятивистским уравнениям движения. Правда, на этот раз трудно пол учить уравнения Лагранжа, исходя только из принципа Да-ламбера, как это было сделано в главе 1. Дело в том, что хотя равенство [c.230]

Горак и А. Вундхейлер составили в инвариантной форме для линейных неголономных систем первого порядка со склерономными и реономными связями в голономных и неголономных, склерономных и реономных координатах различные варианты уравнений Ньютона, Лагранжа — Эйлера, Аппеля— Гиббса, Больцмана, Чаплыгина — Воронца, Ценова, уравнения в естественной форме. Составление обобщенных уравнений Ньютона в инвариантной форме, представляющих собой частный случай уравнений Го-96 рака, принадлежит Г. Вранчеану, Дж. Сингу и И. Схоутену . [c.96]

Горак выводит для склерономной и реономной неголономных систем в голономных и неголономных координатах, а также в склерономных параметрах обобщенные уравнения Ньютона, Лагранжа — Эйлера и Аппеля — Гиббса. Из этих уравнений получаются как частные случаи уравнения Больцмана, Чаплыгина — Воронца, Ценова и др. Из уравнений Горака можно получить также обобщенный принцип Гамильтона — Остроградского и обобщенные уравнения неголономной динамики в канонической и естественной формах. С целью упрощения установленных им уравнений 3. Горак строит неголономное многообразие со специальной метрикой — вселенную системы. Во вселенной системы, как оказывается, уравнения Лагранжа—Эйлера и Аппеля — Гиббса получают весьма простой вид. Во вселенной обобщаются также вариационные принципы механики — принципы Гаусса — Герца наименьшей кривизны и Гамильтона — Остроградского наименьшего действия. 3. Горак показывает, что принцип Гамильтона — Остроградского эквивалентен уравнениям линии вселенной . Рассматривая время как временной параметр и вводя понятие пространственно-временной силы , 3. Го-раку удалось значительно упростить выражения дифференциальных урав- 105 нений движения неголономной системы. [c.105]

Выведем теперь уравнения Ньютона — Лагранжа. Пусть движение спутника Р (рис. 8.1) рассматривается относительно некоторой прямоугольной декартовой системы координат Axyz с началом в притягивающем центре Л. Единичные векторы осей обозначим соответственно через i. k. [c.267]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...