Клаузиуса — Дюгема неравенств

Квантовая механика 38 Керамика 21, 433 Керра эффект 64 Клаузиуса неравенство 118 Клаузиуса — Дюгема неравенство 118 ---для деформируемых ферромагнетиков 345 [c.550]

Исключив из уравнения (1-9-30) величину pQ и выполнив операцию div- , получим неравенство Клаузиуса —Дюгема в форме [c.76]

Если удовлетворить определяющие уравнения неравенству Клаузиуса — Дюгема, то переменные 9 и G в уравнениях для и а s выпадают. Однако в определяющие уравнения для П и будут входить перемени Q и Если затем удовлетворить определяющие уравнения для П и принципу независимости свойств материала от системы отсчета, то статическая часть тензора напряжения будет определяться только термодинамическими переменными (переменные Q, G, выпадают). Если материал является простой жидкостью (группа изотропии всех четырех определяющих уравнений есть унимодулярная группа), то, как показано в работе [Л.1-371, определяющие уравнения примут вид [c.76]

Неравенство (4.2.10) носит название неравенства Клаузиуса-Дюгема и является наиболее широко используемой математической формулировкой второго закона термодинамики. [c.183]

Локальная формулировка неравенства Клаузиуса-Дюгема может быть получена в результате уже неоднократно проделанных преобразований [c.183]

Обратимся к неравенству Клаузиуса - Дюгема (8.12) [c.34]

Второй закон термодинамики дает следующее локальное неравенство (неравенство Клаузиуса — Дюгема) [c.99]

Если воспользоваться системой лагранжевых координат, то неравенство Клаузиуса-Дюгема (3.42) примет вид [c.76]

Второй закон термодинамики (неравенство Клаузиуса-Дюгема) можно записать и в дивергентной форме [c.76]

Условие на поверхности разрыва применительно к неравенству Клаузиуса-Дюгема (3.44) имеет вид [c.89]

Термоупругая сплошная среда скоростного типа. Одним из возможных вариантов линейной термоупругой сплошной среды является такая среда, для которой, наряду с другими реактивными переменными eij,T, дi,...) — аргументами активных переменных, используют скорость изменения абсолютной температуры Т. При построении математической модели такой среды введем в рассмотрение термодинамическую температуру Ф. Термодинамиче ская температура совпадает с абсолютной, если Ф -> 0. Положим, что в неравенстве Клаузиуса-Дюгема можно заменить абсолютную температуру на термодинамическую. В этом случае [c.109]

НЕРАВЕНСТВО КЛАУЗИУСА - ДЮГЕМА. ДИССИПАТИВНАЯ ФУНКЦИЯ 187 [c.187]

Неравенство Клаузиуса — Дюгема. [c.187]

Неравенство Клаузиуса — Дюгема 188 [c.312]

В работе [10] проблема существования решения системы уравнений термоупругости рассматривается для анизотропного неоднородного тела. Задача определяется заданием смешанных однородных граничных условий для перемещений, напряжений, температуры и теплового потока и начальных данных для перемещений, скорости перемещений и температуры. Условия, при которых рассматривается существование единственного решения, следующие 1) существенные нижние границы для плотности и удельной теплоемкости больше нуля, 2) выполняется неравенство Клаузиуса—Дюгема о положительности произведения теплового потока на градиент температуры, 3) оператор теории упругости является положительно определенным для принятых граничных условий. Существование единственного обобщенного решения на конечном промежутке времени доказано в пространстве функций с конечной энергией, в котором перемещения суммируемы с квадратом и имеют суммируемые с квадратом первые производные, температура суммируема с квадратом и суммируем интеграл по времени от квадратов производных температуры по координатам. Вместе с тем показано, при каких условиях решение существует как классическое, т. е. имеет нужное количество непрерывных производных по координатам и времени. [c.239]

Наилучшим вариантом выражения второго закона для сплошной среды представляется следующее неравенство Клаузиуса—Дюгема [50, 103] [c.114]

Из большого числа формулировок (неравнозначных друг другу) второго принципа термодинамики, следуя Трусделлу, мы остановимся на неравенстве Клаузиуса —Дюгема [c.409]

Видимо, нет нужды подробно пересказывать содержание книги, поскольку оно полно отражено в оглавлении. Однако нельзя не коснуться раздела, посвященного термомеханике. Здесь автор коренным образом отходит от традиционного изложения термодинамики, приняв за основу термодинамику в трактовке Колемана и его сотрудников. К достоинствам этой трактовки относятся обнаженность исходных посылок и простота описания понятий. Подробно обсуждаются первое и второе начала термодинамики, причем последнее принимается в форме неравенства Клаузиуса —Дюгема. Приводятся простые рассуждения, использующие понятие термодинамического процесса, которые позволяют получать из неравенства вполне точные соотношения. [c.6]

Термодинамика внутренняя диссипация и неравенство Клаузиуса — Дюгема [c.430]

Если неравенство (10) справедливо для всех положительных а, то оно, в частности, справедливо при а= 1, и мы получаем из (12) неравенство Клаузиуса — Дюгема [c.435]

Конечно, эти неравенства эквивалентны друг другу. Таким образом, неравенство Клаузиуса — Дюгема в общем случае является менее ограничительным, чем неравенства Планка и Фурье, вместе взятые, поскольку из него следует (10) только для одного значения а, а именно а= 1. Не исключено, что при некоторых частных определяющих соотношениях неравенство (10) может следовать из неравенства Клаузиуса — Дюгема для всех положительных а в этом случае неравенство Клаузиуса — Дюгема (14) дает не больше и не меньше информации, чем два отдельных классических неравенства (4) и (8), как мы уже видели на примере в упр. (XV. 1.2). [c.435]

Неравенство Клаузиуса — Дюгема — это единственная термодинамическая аксиома ), которую мы будем использовать iB этой книге. В следующем параграфе мы начнем рассмотрение ее следствий. [c.435]

Итак, в качестве термодинамической аксиомы в этой книге принято неравенство Клаузиуса — Дюгема [c.436]

Неравенство Клаузиуса — Дюгема мы будем использовать только в формах, из которых скорость объемного подвода тепла S исключена при помощи уравнения энергетического баланса. Одна из таких форм — соотношение (XV. 1-15) ь Чтобы получить другую такую форму из (XV. 1-15)г, удобно ввести плотность свободной энергии гр [c.436]

Принцип термодинамически согласованного детерминизма налагает на материал ограничение, чтобы для всех процессов, для которых выполняется соотношение энергетического баланса, выполнялось и неравенство Клаузиуса — Дюгема. Само уравнение баланса энергии не налагает никаких ограничений на материалы или процессы, поскольку если над телом из данного материала должен производиться данный процесс, то из (III.6-6) определяется единственным образом та величина подвода энергии 5, которая необходима (и достаточна), чтобы имел место баланс энергии. Если, как это обычно предполагается в приложениях, и определяющие соотношения материала, и под вод тепла 5 известны, то уравнение (111.6-6), конечно, превра щается в ограничение на процессы, которые могут происходить Иными словами, выбор определенного материала и определен ной величины подвода тепла приводит, как и следует ожидатЬ к- тому, что приходится ограничивать внимание процессами весьма частного вида. [c.440]

Кирхгофа закон 195 Клапейрона уравнение 98 Клаузинга уравнение 307 Клаузиуса — Дюгема неравенство 164 [c.489]

Если материал изотропный, то независимые переменные г и 2 выпадают из определяющих уравнений (1-9-27). Определяющие уравнения (1-9-27) должны удовлетворить основным принципам термомеханики, изложенным вщце. Кроме того, для термомеханических процессов определяющие уравн щ я долщры удовлетворять основному неравенству термомеханики —неравенству Клаузиуса — Дюгема [c.75]

Для ориентированных сред и микрожидкости неравенство Клаузиуса Дюгема должно быть обобщено, оно имеет вид [Л. 1-15] [c.77]

Второй интеграл в цравой части формулы (8.4) представляет собой полное производство энтропии. Согласно неравенству Клаузиуса - Дюгема - 18 - [c.18]

Мы ограничимся представлением термодинамической теории диссипативных материалов с изменениями внутренней структуры. При описании внутренней диссипации будут использоваться внутренние параметры (скрытые переменные). Основную задачу термодинамики материалов Колемана и Нолла [30] и Трусделла [280] можно теперь сформулировать следующим образом в соответствующем классе процессов Рх и для соответствующего класса функций (функционалов) R в (2.16) определить те, которые удовлетворяют неравенству Клаузиуса — Дюгема (кЮ). [c.102]

Простым термомеханическгш процессом называют такой процесс, в котором fj = О и S = О, так что неравенство Клаузиуса-Дюгема принимает [c.76]

Если подставить в уравнение закона сохранения энергии (4.32) соотношение (3.45) и полученный результат вычтесть из неравенства (3.42), то неравенство Клаузиуса-Дюгема примет вид [c.138]

Неравенство Клаузиуса — Дюгема верно при произвольном выборе объема V, так что, преобразуя в формуле (5.37) интеграл по поверхности в интеграл по объему, прежним методом приходим к локальной форме соотношения для скорости внутреннего производства энтропии у отнесенной к единице массы [c.188]

СИЛЬНО, компоненты перемещения ы,), шесть независимых колто-нент напряжения а,/, три компоненты вектора тютока тепла и плотность внутренней энергии и. В дополнение к этому должно быть выполнено неравенство Клаузиуса — Дюгема (5.38) [c.190]

Диссипативное неравенство является ограничителем для опреде-ляюших уравнений потому, что в него входят лишь величины, внутренне присущие среде — там нет внешних воздействий. Поэтому, например, нельзя считать офаничителем неравенство Клаузиуса—Дюгема (2.3), в него входит тепловыделение Ь. [c.115]

Неравенство диссипации (XIV. 2-6) теперь в общем случае не имело бы смысла, поскольку 0 —значение поля, а Й я Q — значения аддитивных функций множеств. Не нужно особой гениальности, чтобы предложить множество возможных способов распространения (XIV. 2-6) на случай сплошных сред некоторые из этих способов были изучены. В этой книге мы примем в качестве одной-единственной нашей термодинамической аксиомы одно такое обобщение, называемое неравенством Клаузиуса—Дюгема. Чтобы мотивировать эту аксиому, мы сперва рассмотрим два более частных утверждения относительно диссипации, называемь1е соответственно неравенством Планка и неравенством Фурье. Читателю, который склонен принять неравенство Клаузиуса —Дюгема без всякой мотивировки, следует прямо перейти к следующему параграфу. [c.431]

Отправляясь от соотношений (13) при какой-либо специальной интерпретации переменных, мы можем построить общую теорию материалов, двигаясь по пути, уже проложенному для случая чистой механики в предшествующих главах этой книги, включая определения единообразности, однородности, материальной симметричности, а также определения специальных классов материалов. Затем можно найти приведенные определяющие функционалы, удовлетворяющие различным возникающим требованиям. Конечно, анализ при этом оказывается более сложным, чем в случае чисто механической теории. Например, каждая из трех реакций Ж и имеет свою собственную группу равноправности, и группа равноправности материалов определяется как наибольшая общая подгруппа этих тре.х групп. Кроме того, а priori сам класс преобразований, фигурирующий в определении группы равноправности, зависит от физической интерпретации векторов X, и ц и в общем случае не представляет собой просто группу унимодулярных преобразований трансляционного пространства S. В этой книге мы не будем углубляться в эти подробности. Вместо этого мы тщательно рассмотрим термодинамический аспект проблемы, а именно ограничения, налагаемые неравенством Клаузиуса— Дюгема на реакции Ж, Прежде чем рассмотреть этот вопрос в общем виде, мы рассмотрим до конца хотя и главный и центральный, но особенно простой случай — случай термоупругих материалов. [c.441]

Читатель заметил, что аргументы всех трех определяющих функциоцалов в (13) одинаковы, а именно X, и Достигаемая при этом общность может оказаться излишней, как показывает частный случай, рассмотренный в упр. XIV.-6. 2. Там показано, что условий согласования с неравенством Клаузиуса — Дюгема приводит соотношение (XIV. 5-42) к менее симметричной форме, в которой члены, пропорциональные Т, исчезают из определяющих функций для f и Я, хотя и сохраняются в выражении для W. Как мы убедимся в последующих параграфах, этот пример является типичным. [c.441]

Впервые термоупругий материал был проанализирован на основе неравенства Клаузиуса —Дюгема в мемуаре Колемана и Нолла, открывшем термомеханику, как она понимается и излагается в этой книге. Некоторые шаги в этом направлении были впервые сделаны Грином и Адкинсом. Анализ, который мы дадим как по внутреннему содержанию результатов, так а по методу эквивалентен анализу Колемана и Нолла, развитому в последовавшей- сразу же работе Колемана и Мизела, хотя наше изложение является более компактным, а возможные приложения шире. [c.443]

Упражиеиие XV. 3.5 (Трусделл Нолл). Определим термоупругий материал определяющими соотношениями вида (26), дополненными предположением, что h = (F, 0, grad 0). Показать, что при этом неравенстьа Планка и Фурье удовлетворяются тогда и только тогда, когда выполняется неравенство Клаузиуса — Дюгема, н что неравенство Планка сводится к 6 = 0. [c.449]

Большее значение, чем рассмотренные сейчас приложения, имеет общий результат, опирающийся на соотношение (I) и сформулированный нами как теорема о термодинамическом потенциале. Мы рассмотрим его сейчас применительно к первому стандартному способу интерпретации. Следуя правилу равноприсутствия, мы допустили возможность того, что напряжения, плотность калории и плотность свободной энергии могут зави сеть как от градиента деформации, так и от градиента температуры, поскольку от последнего, как известно, зависит тепловой поток. Затем мы доказали, что из неравенства Клаузиуса-— Дюгема, принимаемого в качестве требования, которому тождественно должны удовлетворять определяющие соотношения, следует невозможность такой зависимости. Таким образом, то разделение эффектов, которое имеется в теории, является не просто предположением, а математически доказанным фактом. Более того, показано, что независимые функции, выражающие зависимость напряжения и плотность калории от градиента де формации и температуры, однозначно определяются как частные производные от плотности свободной энергии. Этим сильно ограничивается эмпирическая неопределенность всей теории. Эксперименты, которые определяют зависимость я ) от Р и 0, автоматически определяют также, согласно теории термоупругости, зависимость от них Т и т). Наконец, отдельные неравенства Планка и Фурье, которые мы рассматривали в I, как образующие каждое в своей области часть экспериментальной основы, позволяющей принять неравенство Клаузиуса — Дюгема в качестве обобщения их обоих, оказались порознь следующими в теории термоупругости из неравенства Клаузиуса — Дюгема. - [c.451]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...