Теорема Перрона — Фробениуса

Таким образом, крайние точки множества ЗЛ(/) — эргодические меры. Мы уже использовали понятие крайней точки в доказательстве теоремы Перрона — Фробениуса 1.9.11 в конечномерном случае. Множество 9Л(/) в общем случае бесконечномерно. Докажем теперь существование крайних точек. [c.149]

J = О,..., iV — 1. Такие матрицы называются стохастическими. Подобно ситуации с 0—1-матрицами (см. определение 1.9.6), мы будем называть стохастическую матрицу П транзитивной, если для некоторого т все элементы матрицы П положительны. Следующий факт — простое следствие теоремы Перрона — Фробениуса 1.9.11 и некоторых соображений, использовавшихся в ее доказательстве. [c.167]

Теперь допустим, что матрица П транзитивна. В этом случае теорема Перрона — Фробениуса применима непосредственно и дает единственность инвариантного вектора pea с положительными координатами. [c.168]

В силу теоремы Перрона — Фробениуса 1.9.11 оба эти вектора определены однозначно с точностью до умножения на положительную константу. Так как максимальные собственные значения матриц А я А равны, мы получаем [c.184]

Построение стохастической матрицы П из О — 1-матрицы А посредством равенства (4.4.5) может выглядеть несколько загадочным, но на самом деле оно имеет естественную интерпретацию. Мера — не что иное, как асимптотическое распределение периодических орбит топологической цепи Маркова сг . Чтобы показать это, вернемся к обсуждению из п. 1.9 в, в ходе которого мы выяснили, что число различных периодических орбит периода п в базисном 0-цилиндре С равно диагональному элементу матрицы А". Из теоремы Перрона — Фробениуса 1.9.11 следует, что где д и V определяются равенствами (4.4.3) и (4.4.4). Таким образом, доля числа периодических точек периода п, содержащихся в С°, в силу (4.4.2) равна [c.186]

Доказательство. Будем считать, что период р минимален, и рассмотрим отображение / =/ . Заметим, что по лемме 15.3.3 граф Маркова / относительно разбиения, индуцированного периодической орбитой, содержит подграф (15.3.1). По теореме 15.1.9 и теореме Перрона — Фробениуса 1.9.11 достаточно показать, что энтропия (15.3.1) равна наибольшему корню многочлена х — 2х — 1. Таким образом, мы должны вычислить характеристический многочлен марковской матрицы, ассоциированной с (15.3.1), т. е. нам нужна формула для нахождения наибольшего собственного значения (п х п)-матрицы [c.506]

Согласно теореме Перрона — Фробениуса [93], собственный вектор, соответствующий максимальному собственному значению, должен иметь все положительные компоненты. Из (8.5.3) видно, что это возможно только в том случае, когда г = 1 поэтому мы должны выбрать решение [c.144]

Мы видели, что в низкотемпературном пределе такие собственные значения являются максимальными по модулю собственными значениями. Из теоремы Перрона — Фробениуса [93], которая утверждает, что матрица с положительными элементами имеет единственное максимальное собственное значение, следует, что собственные значения (10.8.42) максимальны по модулю во всей основной области (10.7.1), в которой больцмановские веса а, Ь, с, d положительны и для которой справедлив проведенный анализ. [c.239]

Из теоремы Перрона — Фробениуса [93] следует, что максимальное собственное значение реализуется при г = +1. Таким образом, равно значению h v), определяемому выражением (10.8.44) с г = +1. Исключая Л(1 ) и ру/х из трех последних уравнений, получаем [c.240]

Последнее выражение в точности равно корреляции внутри квадратной решетки с весовой функцией Wj и граничными условиями, соответствующими вектору ф. При больших М вектор ф стремится к ненулевому пределу, а именно к максимальному собственному вектору матрицы V 2- Из теоремы Перрона — Фробениуса [93] следует, что такой вектор имеет только неотрицательные компоненты такими же свойствами обладает максимальный собственный вектор матрицы Поэтому максимальные собственные векторы соответствующих матриц не ортогональны (если только не равны нулю все те компоненты одного из них, которые соответствуют ненулевым компонентам другого, чего не следует ожидать). Следовательно, вектор ф определяет непатологические граничные условия на квадратной решетке, и правую часть выражения (11.2.5) можно вычислить при больших М с помощью методов, изложенных в разд. 2.2. Использование таких методов приводит к выражению [c.286]

Для завершения доказательства заметим, что однозонный гамильтониан (11.33) представляет собой просто матрицу связности узлов, соединенных, по предположению, химическими связями. Следовательно, в каждой строке и в каждом столбце этой матрицы встречается по 2 единичных матричных элементов, а остальные равны нулю. Согласно теореме Перрона — Фробениуса (9.78), спектр этой матрицы должен располагаться в области [c.528]

Начнем систематическое изложение с введения понятия неприводимой матрицы. Весь нужный материал по неприводимым матрицам, используемый в книге, приведен в следующем разделе. Затем изложим фундаментальную теорему Перрона-Фробениуса для неотрицательных неприводимых матриц, которая обеспечивает существование единственного решения задачи о собственном значении. Так как рассматриваемые обратносимметричные матрицы положительны, сконцентрируем внимание на положительных матрицах/ теореме Перрона и ее доказательстве. Далее доказывается, что искомый собственный вектор может быть получен как предельная сумма строк Л, где А — примитивная матрица. Затем кратко описывается способ вычисления собственного вектора на практике, после чего обсуждаются согласованность обратносимметричной матрицы, отклонение ее главного собственного значения от п, нечувствительность этого собственного значения по отношению к малым возмущениям в Л, а также изучаются свойства согласованных матриц. [c.183]

Таким образом, если функция р конечна всюду (или почти всюду), то она является неподвижной точкой оператора Перрона — Фробениуса (см. определение 5.1.7) и потому задает плотность абсолютно непрерывной /-инвариантной меры. Чтобы гарантировать, что р — функция из класса L и, следовательно, рП—конечная мера, достаточно показать, что р равномерно ограничена. Кроме того, если р также ограничена снизу некоторым положительным числом, то мера рП эквивалентна П. Таким образом, мы доказали следующий аналог теоремы 5.1.13 для необратимых отображений. [c.199]

Перрона. Доказательство теоремы Фробениуса может быть найдено в [53]. [c.186]

Теорема 7.3. (Перрон — Фробениус). Пусть А О — неприводимая матрица. Тогда [c.186]

Отображение Т сг — сг, определенное в доказательстве теоремы Пмро-на — Фробениуса 1.9.11, в этом случае совпадает с ограничением П на симплекс сг. Следуя доказательству теоремы Перрона — Фробениуса, мы заключаем, что П сохраняет выпуклое множество [c.167]

В обоих случаях из (8.5.7) с очевидностью следует, что все значения (л 1, J 2) строго положительны, поэтому, согласно теореме Перрона — Фробениуса, мы нашли решение, соответствующее максимальному собственному значению матрицы V в субблоке л = 2. [c.145]

Это неравенство, однако, составляет лишь половину теоремы Перрона — Фробениуса относительно максимального собственного значения матрицы с неотрицательными элементамн. Полностью эта теорема гласит [41] [c.405]

Теорема 1.9.11 (Перрон — Фробениус) [ ]. Пусть Ь —такая (МхМ )-матрица с неотрицательными коэффициентами., что для некоторого натурального числа п все элементы Ь" положительны. Тогда Ь имеет единственный (с точностью до умножения на константу) собственный вектор е с положительными координатами и не имеет никаких других собственных векторов с неотрицательньши координатами. Кроме того, собственное значение, соответствуюи ее этому вектору, положительно, превосходит модули всех других собственных значений и имеет кратность один. [c.66]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...