Теорема Четаева о неустойчивости

Теорема 2.6. (теорема Четаева о неустойчивости [36]). Если [c.86]

Прежде чем перейти к теореме Четаева о неустойчивости движения, необходимо дать дополнительное определения области F > О (см. 2.4). Совокупность значений переменных х , удовлетворяющих в области (7.1) неравенству V х, t) О, называется областью F > О, а поверхность V х, i) = Q — границей последней. Для функции V х, t), зависящей явно от t, граница области [c.220]

Теорема Четаева о неустойчивости движения. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти функцию V, ограниченную в области V О, существующей в сколь угодно малой окрестности пуля переменных Х - при всех t производная которой V в силу этих уравнений была бы определенно-положительной (функцией в области V О, то невозмущенное движение неустойчиво. [c.220]

Теорема (Четаева о неустойчивости). Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует функция V xi Ж2,..., Хт) такая, что в сколь угодно малой окрестности (1) существует область V > О и во всех точках области V > О производная V в силу этих уравнений принимает положительные значения, то невозмущенное движение неустойчиво. [c.525]

Функцию У, удовлетворяющую теореме Четаева о неустойчивости, называют функцией Четаева. [c.526]

Достаточно заметить, что при условиях теоремы 2 выполняются условия теоремы Четаева о неустойчивости. Действительно, пусть функция V определенно-положительна. Тогда, в силу того, что V не является знакопостоянной функцией, противоположного с V знака, существует область V > О, расположенная сколь угодно близко к началу координат, и в этой области V > 0. [c.527]

Как и в предыдущем случае, для доказательства теоремы 3 достаточно проверить, что при выполнении ее условий выполняются также и условия теоремы Четаева о неустойчивости. [c.527]

Приращение АУ на любом конечном интервале времени положительно это показывается совершенно аналогично тому, как показана отрицательность АУ в теореме предыдущего пункта. Далее, так как среди величин Л, есть хотя бы одна отрицательная, то в любой сколь угодно малой окрестности начала координат 2п-мерного пространства состояний qi Qi (i = 1, 2,..., п) существует область У > 0. Дальнейшие рассуждения аналогичны проведенным в п. 235 при доказательстве теоремы Четаева о неустойчивости. [c.538]

Одно из направлений посвящено изучению устойчивости положений равновесия механических систем. При этом в зависимости от поставленной задачи применяются теорема Лагранжа, критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы, теорема Четаева о неустойчивости положения равновесия исследуется устойчивость стационарных движений. [c.60]

Теоремы Четаева о неустойчивости. ...............................16 [c.7]

Теоремы Четаева о неустойчивости [c.16]

Теоремы Четаева о неустойчивости сыграли большую роль в успешном решении ряда проблем, в частности, при решении задачи об устойчивости в критических случаях, а также при решении конкретных механических задач. Пользуясь своими теоремами, Четаев дал решение проблемы обращения теоремы Лагранжа. [c.17]

Лемма 2.2 следует из леммы 2.1 и теоремы Четаева о неустойчивости. [c.76]

В главе 6 также рассмотрены резонансные случаи и для резонансов третьего и четвертого порядков доказаны утверждения о неустойчивости неподвижных точек точечных отображений, задаваемых периодическими по времени гамильтоновыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказательства основаны на перенесенной здесь на точечные отображения теореме Четаева о неустойчивости. [c.13]

Теорема (теорема Четаева о неустойчивости). Если существует функция V Ь, XI,. .., Хп) такая, что [c.29]

Здесь e — положительное сколь угодно малое число, которое подберем так, чтобы функция F удовлетворяла теореме Четаева о неустойчивости. [c.179]

ТЕОРЕМА ЧЕТАЕВА О НЕУСТОЙЧИВОСТИ 439 [c.439]

Теорема Четаева о неустойчивости. Обращение теоремы Лагранжа [c.439]

Теоремы Ляпунова о неустойчивости движения обобщены Н. Г. Четаевым, доказавшим следующую теорему [c.38]

При решении вопросов обращения основных теорем метода функций Ляпунова было выяснено, что при условиях теорем I, II, IV Ляпунова и теоремы 2 о неустойчивости Четаева наряду с доказываемым свойством устойчивости имеют место некоторые дополнительные свойства (равномерность асимптотической устойчивости и др.). В связи с этим возник вопрос о том, как эти дополнительные свойства связаны с тем или иным ограничением, налагаемым на соответствующую функцию Ляпунова. Выяснение этого вопроса приводит к разнообразным обобщениям и модификациям основных теорем метода функций Ляпунова. Предложенные многими авторами обобщения и модификации выясняют связь свойств функций Ляпунова со свойствами траекторий (ослабление равномерности и т. д.), уточняют оценки качества устойчивости, облегчают построение функций V для конкретных задач путем ослабления требований к этим функциям и т. п. [c.21]

Комбинируя метод преобразований Биркгофа гамильтоновой системы к нормальной форме [41] с теоремами Ляпунова о неустойчивости (см. 3.05) и со способом Четаева (см. 3.07), [c.845]

Из формул (6.77) видно, что при 2 < О (вместо ускоряющею момента имеется обычная сила сопротивления) коэффициент яз будет отрицателен и система в соответствии с четвертой теоремой Томсона — Тета — Четаева сделается неустойчивой ). [c.182]

Если и X > О, то в области V > о, определяемой неравенства-ми у > O z > о, производная V положительна. На основании теоремы Четаева отсюда следует вывод о неустойчивости вращения тела вокруг оси, отвечающей среднему по величине моменту инерции. [c.526]

Первый, после А. М. Ляпунова, существенный вклад в развитие метода функций Ляпунова был сделан Н. Г. Четаевым. Работая над знаменитой проблемой обращения теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия, Четаев (4930) сначала установил для автономных систем одну теорему о неустойчивости, в которой наряду с первой производной функции V рассматривается также вторая производная У". [c.16]

Теоремы III и IV Ляпунова весьма просто получаются из теоремы 2 Четаева. Эта формулировка теоремы о неустойчивости получила наиболь- [c.16]

Первое решение задачи обращения теоремы Лагранжа было дано Четаевым (1930) с помощью его теоремы о неустойчивости с У", Предположив, что функция и голоморфна и не имеет максимума в положении равновесия,, взяв функцию У — и опираясь на теорию характеристик Кронекера, он показал, что в области С, где У > О, функция У удовлетворяет условию 2° теоремы, что и доказывает неустойчивость положения равновесия. [c.17]

V > 0. Дальт1енп1ие рассуждения аналогичны проведенным в и. 203 при доказательстве теоремы Четаева о неустойчивости. [c.388]

При достаточно малых по модулю значениях и и I производная Г будет не знакоопределенной, а только знакопостоянной функцией переменных ци t. Поэтому, пользуясь выбранной фунцией V (2.54), мы не можем применить теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости II неустойчивости движения. Ненрименима к ней и теорема Четаева о неустойчивости движения. Воспользуемся теоремами Красовского. В качестве многообраапя К возьмем совокупность точек, для которых и Ф О, i = О (на плоскости (i, и) это ось и). Покажем, что многообразию К не принадлежат целые траектории системы. Для этого внесем в уравнение движения (2.53) значения переменных i и и, определяющих К. При t = О и и О эти уравнения примут вид [c.74]

Теорема Четаева о неустойчивости движения. Теорема. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти функцию V, ограниченную в области У>0, существующей в сколь угодно малой окрестности невозмущенного движения, производная которой dvidt, взятая в силу уравнений возмущенного движения, была бы определенно положительной в области 1/>0, то невозмущенное движение неустойчиво. [c.579]

Теорема Четаева о неустойчивости. Пусть V = V(t, х) - функция t е R и X е R , определенная при i iq и I х1 Н (Н >0), обладаюгцая следуюш,ими свойствами [c.432]

Глава 5 посвящена рассмотрению многомерных гамильтоновых систем. Здесь для 2я-периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при помощи теоремы Четаева о неустойчивости доказаны утверждения о неустойчивости при наличии резонансов третьего и четвертого порядков и рассмотрены различные аспекты задачи об устойчивости движения в многомерных гамильтоновых системах. Излагаются результаты Арнольда по устойчивости для большинства начальных данных, формулируется и доказывается теорема Брюно о формальной устойчивости гамильтоновых систем, рассматриваются основные результаты исследований Нехорошева об оценке скорости диффузии Арнольда [78—81] в многомерных гамильтоновых системах, близких к интегрируемым. [c.12]

В работе [76] Неймарком доказана теорема, представляющая собой перенесение теорем Ляпунова об устойчивости и неустойчивости на точечные отображения. Нам в дальнейшем, однако, потребуется теорема о неустойчивости неподвиншых точек точечного отображения, аналогичная теорема Четаева о неустойчивости движения. Докажем следующую теорему, представляющую собой перенесение теоремы Четаева на точечные отображения. [c.108]

Теоремы о неустойчивости. В этом пункте рассмотрены три теоремы о неустойчивости движения, полученные Ляпуновым и Че-таевым. Исторически сначала были получены две теоремы Ляпунова. Эти теоремы были обобщены Четаевым, получившим теорему, которая нашла широкое применение при решении задачи об устойчивости в конкретных задачах механики, а также в теоретических исследованиях вопросов устойчивости. Мы сначала изложим теорему Четаева и затем выведем из нее обе теоремы Ляпунова о неустойчивости движения. [c.524]

Исследование вопроса о существовании функции V (х, t), удовлетворяющей условиям тео )емы 2 Четаева о неустойчивости, проведено Н. Н. Красовским и И. Вркочем. Обращение теоремы. Четаева было доказано сначала Красовским (1954) для уравнений (1.1), правые части которых не зависят явно от времени, а для общего случая установлено Вркочем (Чехосл. матем. ж., 1955, 5 4) и КрасовскииЛ (1956, 1959). [c.20]

Теоремы III и IV Ляпунова и теоремы 1—2 Четаева о неустойчивости также обобщались и модифицировались многими авторами. К. П. Персидский (1946—1947) ввел понятия сектора и полусектора и предложил следующую теорему о неустойчивости. [c.27]

После этого предварительного анализа уже несложно провести строгое доказательство теоремы. Для доказательства неустойчивости построим функцию V, удовлетворяющую условиям теоремы 2 о неустойчивости. И будем ее строить так, чтобы область 7 О была узкой областью, содержащей внутри себя пересечение поверхностей (6.4). Именно такая идея построения функции Четаева V была использована в работах автора [53, 55, 60], а затем Хазиным в работе [92]. [c.119]

Второе утверждение теоремы доказывается несколько сложнее. Для доказательства используем теорему Четаева о неустойчивости. Пусть существуют значения ijj, при которых F3 (ijj) = О, и при этих значениях производная dFjd Ф 0. Из этого условия и периодичности функции F (ij)) = О следует, что среди корней уравнения F3(tj)) = О Существует по крайней мере одно значение, 115=115% для которого-d/ g/dil < 0. [c.179]

Ляпунову принадлежат две теоремы о неустойчивости движения. В 30-х годах нашего столетия Четаев обобщил эти теоремы и доказал теорему, из которой как частный случай вытекают теоремы Ляпунова. Поэтому мы начнем с ия.11оя ения теоремы Четаева. [c.49]

Теорема Четаева. сли дифференциальные уравнения возмущенного движения позволяют найти функцию V (х), для которой в сколь угодно малой окрестности нуля существует область F О, и если производная V функции F, вычисленная в силу этих уравнений, положительна во всех точках области V > О, то певозмущенное движение неустойчиво. [c.49]

Как ужо отмечалось, теорема Четаева является обобщением двух теорем Ляпунова о неустойчивости движения. Принедем одну из iinv. [c.51]

Теорема Четаева. Если потенциальная энергия П коя-серватавной системы является однородной функцией отклонений qi,. ., qn и в положении равновесия qi —. .. = = О не имеет минимума, то это положение равновесия неустойчиво. Примеры. 1. Пусть П = Л(1 — osa ) п=. Функция П [c.199]

Теорема Ч етаева —М о вч а на о неустойчивости ( I960). Для неустойчивости решения ueU по метрикам Ро, р необходимо и достаточно, чтобы существовал функционал Четаева И [ф] со следующими свойствами IV непрерывен по метрике ро, ограничен по метрике р, растёт со временем вдоль траектории движения в области W>0. Т. о., смысл теоремы состоит в том, что обеспечивается существование таких нач. возмущений, к-рые выводят систему из заданного режима движения. [c.258]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...