Свободная энергия частные производные

Критерий равновесия, выраженный через свободную энергию Гельмгольца, применим к системе только при условии постоянства температуры и объема. Однако химический потенциал может быть отнесен к другим термодинамическим функциям при иных ограничивающих условиях. Согласно уравнению (7-56), критерий равновесия может быть выражен через любую из следующих частных производных, определяющих химический потенциал [c.238]

Свободная энергия (= и — Ts. В дифференциальной форме эта функция имеет вид df=du—Tds — sdT, или с учетом уравнения (1.39) первого закона термодинамики и соотнощения (1.49) df=—pdv — sdT. Частные производные [c.37]

Частные производные от свободной энергии F равны [c.55]

В общем случае относительная интегральная молярная свободная энергия и ее частная производная по температуре не может быть непосредственно получена из эксперимента и определяется косвенно, через относительную парциальную молярную свободную энергию одного из двух компонентов, например ff. Если относительную интегральную молярную свободную энергию F вычислить из относительной парциальной молярной свободной энергии [c.40]

Изменение частных производных idV/d )p = 0Lx и (5F/5p)j=P, при изменении давления, температуры и плотности определяется характером зависимости деформаций от свободного объема Vf, сил межмолекулярного взаимодействия в структуре жидкости и свободной энергии. С увеличением давления [c.22]

Дальше в этом разделе учебника Саткевича говорится о свободной энергии, термодинамическом потенциале и выводятся их дифференциальные уравнения и формулы их частных производных. [c.432]

Для определения частных производных свободной энергии напишем общее выражение полного дифференциала этой функции при независимых переменных V и Т [c.444]

Дифференциальное уравнение в частных производных (3.2) допускает однозначное конечное и непрерывное решение г ), вообще говоря, не для любого значения к, а только для некоторых. А это означает, что устойчивость действительных движений системы может иметь место лишь для значений постоянной к интеграла энергии, совпадающих с собственными значениями постоянной к уравнения (3.2). Для свободной материальной точки при определенных условиях уравнение (3.2) принимает вид уравнения Шредингера [c.15]

Поскольку определение поля есть непрерывная задача, сформулированная в виде уравнения в частных производных, первое, что мы должны сделать, — это найти вариационный принцип, приводящий к построению нужного функционала. Нам уже известны некоторые вариационные принципы (принцип Гамильтона и принцип Мопертюи были введены в разд. 1.3). Мы знаем также, что в состоянии устойчивого механического равновесия должна быть минимальна потенциальная энергия, в термодинамической системе при постоянных объеме и температуре минимальна свободная энергия и т. д. Поэтому естественно выбрать в качестве функционала, используемого при расчетах полей, интеграл от величины, имеющей размерность энергии. [c.155]

Легко убедиться, что это уравнение равносильно уравнению (108). Действительно, свободная энергия каждой фазы Ф есть функция v, Т, mi, m2,. .., и частная производная от Ф по одному из m в уравнении (108) берется не только при постоянстве всех остальных т и температуры, но и при постоянном объеме. Записать это можно так [c.133]

Следовательно, при новом выборе независимых переменных частные производные свободной энергии по механическим координатам и температуре дают обратимые силы и энтропию с обратным знаком. [c.50]

Некоторые экстремальные принципы. В соответствии с п. 3.7 обратимые силы и температуру тЭ можно получить, вычислив частные производные внутренней энергии и х,,, 8) по механическим координатам и энтропии 5. Аналогично, дифференцируя свободную энергию Ф Гх ,, 0) по п )-, получаем Х и —8. Таким образом, обратимая часть характеристик поведения системы определяется одной функцией состояния, и илп Ч . [c.52]

Чтобы найти полную свободную энергию макроскопического образца, проинтегрируем выражение (5.195) по всему объему. Получающийся интеграл будет функционалом неизвестной функции распределения порядка г (г), по которой и следует производить варьирование, чтобы найти стационарное значение F. Вычисление функциональной производной (5.191) приводит к дифференциальному уравнению в частных производных [c.235]

В статистич. теории, исходя из микроскопич. задания системы, можно в принципе построить соответствующий термодинамический потенциал (напр., в переменных N, V, Т—это свободная энергия), частные производные к-рого определяют все макроскопич, характеристики системы. [c.162]

Однако величина энергии макроскопической упругой деформации в изотермических условиях равна изменению свободной энергии тела (изохорно-изотермического потенциала), т. е. не может характеризовать изменение химического потенциала (частной производной термодинамического потенциала по числу молей) и, следовательно, величину деформационного сдвига равновесного потенциала. [c.24]

X. п. J1, (-ГО компонента многокомпонентной системы равен частной производной от любого из термодинамич. потенциалов по кол-ву (числу частиц) этою компонента при пост, значениях остальных термодинамич. переменных, определяющих данный термодинамич. потенциал, напр, ii = SFI8N )j Y,N—свободная энергия, Т—темп-ра, V—объём, yVO- с., в системах с перем. числом частиц в выражение для дифференциала, напр. dt следует добавить величину [c.412]

Ele tro hemi al potential — Электрохимический потенциал. Частная производная общей электрохимической свободной энергии компонента относительно числа грамм-молекул этого компонента, где все факторы — постоянны. Это аналогично химическому потенциалу компонента за исключением того, что он включает электрический и химический вклады в свободную энергию. Потенциал электрода в электролите относительно электрода сравнения измеряется в условиях незамкнутой цепи. [c.946]

Если принять гипотезу Планка, то тепловую теорему можно сформулировать в следующей, несколько более общей форме вблизи абсолютного н у л я т е 1м п е, р З туры все т е р м о д и н а м и ч е 1С К и е величины, характеризующие равновесное с о с Т10 я н и е тела,,. перестают зависеть от температуры. Отсюда, в частности, следует, что частные производные по температуре от В1сех термодинамических функций, например энтропии, внутренней. энергии, энтальпии, свободной энергии и др., а также от давления и объема при Т -> О обращаются в нуль. Этот вывод согласуется с опытом, подтверждая тем самым правильность гипотезы Плавка. [c.57]

Выбор за основу построения теории д. у. т. внутренней энергии обеспечивает ей ту же последовательность в развитии, которая имеется и в развитии общей теории термодинамики, а именно сперва выводятся дифференциальные зависимости внутренней энергии, затем теплоты, энтропии, энтальпии, свободной энергии, термодинамического потенциала и т. д. Можно за основу построения д. у. т. выбрать и другую какую-либо функцию состояния, например энтропию, но, как мие кажется, при этом будет нарушено прямое и логическое развитие всей теории д. у. т. в целам. Кроме того, внутренняя энергия из всех функций состояния обладает наиболее простым физическим обоснованием. При выборе за основу построения теории д. у. т. внутренней энергии обеспечивается следующая последовательность ее развития. Прежде всего определяются значения частных производных внутренней энергии при различных независимых переменных. Выводы этпх соотношений и являются по существу основной частью рассматриваемой теории. Все же остальные выводы в ней являются простыми следствиями формул частных производных внутренней энергии. [c.439]

Большее значение, чем рассмотренные сейчас приложения, имеет общий результат, опирающийся на соотношение (I) и сформулированный нами как теорема о термодинамическом потенциале. Мы рассмотрим его сейчас применительно к первому стандартному способу интерпретации. Следуя правилу равноприсутствия, мы допустили возможность того, что напряжения, плотность калории и плотность свободной энергии могут зави сеть как от градиента деформации, так и от градиента температуры, поскольку от последнего, как известно, зависит тепловой поток. Затем мы доказали, что из неравенства Клаузиуса-— Дюгема, принимаемого в качестве требования, которому тождественно должны удовлетворять определяющие соотношения, следует невозможность такой зависимости. Таким образом, то разделение эффектов, которое имеется в теории, является не просто предположением, а математически доказанным фактом. Более того, показано, что независимые функции, выражающие зависимость напряжения и плотность калории от градиента де формации и температуры, однозначно определяются как частные производные от плотности свободной энергии. Этим сильно ограничивается эмпирическая неопределенность всей теории. Эксперименты, которые определяют зависимость я ) от Р и 0, автоматически определяют также, согласно теории термоупругости, зависимость от них Т и т). Наконец, отдельные неравенства Планка и Фурье, которые мы рассматривали в I, как образующие каждое в своей области часть экспериментальной основы, позволяющей принять неравенство Клаузиуса — Дюгема в качестве обобщения их обоих, оказались порознь следующими в теории термоупругости из неравенства Клаузиуса — Дюгема. - [c.451]

Читатели, знакомые с теорией идеального бозе-газа, заметят, что выражение (23.10) является частным случаем функции распределения Бозе — Эйнштейна и определяет число бозонов с энергией (к), находягп,ихся в тепловом равновесии при температуре Г, если химический потенциал равен нулю. Отсутствие свободы в выборе ц связано с тем, что в случае фононов полное число бозонов при тепловом равновесии не служит независимой переменной, которую мы можем задавать по своему усмотрению (что справедливо, например, для атомов Не ), а целиком определяется температурой. [Химический потенциал по определению есть производная по числу частиц N от свободной энергии Р или термодинамического потенциала Гиббса С, т. е. ц = (дР йМ)т< у = (дб1дЩ-р р. Так как число фононов не сохраняется, оно должно быть определено из условия минимума Р или С, которое совпадает с равенством ( = 0. Из этого вывода видно, что равенство нулю химического потенциала есть общее свойство всех квазичастиц.— Прим. ред.] [c.81]

Теория неравенств в частных производных приводит к вопросу об одностороннем приближении. Для стандартных линейных элементов мы уже установили, что при заданной функции ы О оценки теорем 3.1—3.3 остаются справедливыми, если потребовать О и ы. (Интерполянт и = ы/, конечно, бесполезен, так как он не обязательно лежит ниже и.) Заметим, что Дюво и Лионе сумели сформулировать в виде вариационных неравенств несколько важных физических задач (в том числе задач упруго-пластичности), в дифференциальной формулировке приводящих к чрезвычайно неудобным элиптико-гиперболиче-ским системам с неизвестной свободной границей раздела. Мо-ско и Стренг и независимо от них Фальк подтвердили обычную ошибку / 2 в энергии для линейной аппроксимации задачи Сен-Венана о кручении, типичной д ля класса вариационных неравенств, так называемых задач с ограничениями. [c.174]

X. п. [1 г-го компонента многокомпонентной системы равен частной производной от любого из термодинамич. потенциалов по количеству (числу ч-ц) этого компонента при пост, значениях остальных термодинамич. переменных, определяющих данный термодинамич. потенциал напр. Л( = = дР1дМ1) т, у, Р — свободная энергия, Т — темп-ра, V — объём, ]ф1). Т. о., в системах с перем. числом ч-ц в выражение для дифференциала термодинамич. потенциала следует добавить величину напр. dF=—SdT—pdV- -I illidNi, где р — давление, 8 — энтропия. Наиболее просто X. п. связан с термодинамич. потенциалом С (см. Гиббса энергия) 6=21 , ТУ/. Для однокомпонентной системы X. п, 11=6/к, т. е. представляет собой энергию Гиббса, отнесённую к одной ч-це. Вследствие аддитивности С X. п. зависит, кроме давления и темп-ры, только от концентраций отд. компонентов, но не от числа ч-ц в каждом компоненте. В простейшем случае идеальных газов зависит только от концентрации -го компонента = И-/с 1п(А //Л ), где —полное число ч-ц, 1,— X. п. чистого 1-го компонента. Часто величины удобно использовать в кач-ве независимых термодинамич. переменных вместо /. В переменных Т, [c.838]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...