Потенциальные силы Лагранжиан

Потенциальные силы. Лагранжиан. Дифференциальные уравнения Лагранжа заметно упрощаются, если система находится под действием потенциальных сил. [c.186]

При потенциальных силах можно ввести функцию Лагранжа (или лагранжиан) Г - П и записать (5.6) как [c.37]

Покажем, что новое определение (30.2) полной энергии в большинстве случаев совпадает с ее обычным определением как суммы кинетической и потенциальной энергий. Рассмотрим вначале систему, на которую действуют только потенциальные силы. В этом случае лагранжиан системы имеет вид (29.26), при этом согласно [c.172]

Для составления дифференциальных уравнений движения системы с потенциальными силами оказывается, таким образом, достаточным знание лагранжиана системы. При стационарных связях и стационарном силовом поле лагранжиан не зависит явно от времени и является функцией только обобщенных координат и скоростей, а при нестационарных связях и нестационарных силах он явно зависит и от времени. Нетрудно видеть, что лагранжиан задается неоднозначно прибавление к нему любой величины, не зависящей от дк и дк явно, не изменяет уравнений (21.2). Кроме этого, прибавление полной производной по времени от произвольной функции обоб-и енных координат также не изменяет уравнений. [c.187]

Это уравнение по форме не отличается от уравнения для обычных потенциальных сил, но его лагранжиан Ь, имея прежние переменные, представляет разность кинетической энергии и обобщенного потенциала, т. е. [c.190]

В общем случае, кроме потенциальных и обобщенно-потенциальных сил, в системе действуют непотенциальные диссипативные силы, рассеивающие механическую энергию. Располагая лагранжианом для обобщенно-потенциальных сил, имеем уравнения Лагранжа для общего случая [c.191]

Потенциальную энергию тоже часто удается разделить на две подобные части, из которых одна содержит только координаты, соответствующие поступательному движению, а другая — только угловые координаты. Так, например, гравитационная потенциальная энергия зависит только от вертикальной декартовой координаты центра тяжести ). Аналогично, если сила вызывается однородным полем В, действующим на диполь с магнитным моментом М, то потенциал пропорционален произведению M B, зависящему только от ориентации тела. Вообще почти все практически встречающиеся задачи допускают такое разложение. В этом случае рассматриваемая задача распадается на две, так как лагранжиан L — T—V разбивается при этом на две части, одна из которых содержит только поступательные координаты, а другая — только угловые. Эти две группы координат будут тогда полностью разделены, и задачи о поступательном и о вращательном движении можно решать независимо друг от друга. Поэтому важно получить выражения для кинетического момента и кинетической энергии тела, имеющего неподвижную точку. [c.164]

В XIX в. идеал Лапласа еще казался осуществимым. Согласно Гельмгольцу, сведение всех физических явлений к действию механических сил является основой полного понимания природы. В 80-х годах XIX в. Гельмгольц ) пришел к выводу, что для решения этой основной задачи нужно использовать принцип наименьшего действия, обобщив его на тот случай, когда лагранжиан есть функция qnq любой формы, т. е. отказаться от характерного для механики допущения, что кинетическая энергия есть однородная квадратичная форма скоростей, а потенциальная энергия — функция только координат (и времени). Принцип наименьшего действия, по мнению Гельмгольца, представляет собой эвристический принцип для формулирования законов новых классов явлений. Для такого расширения сферы применения принципа необходимо ввести в рассмотрение скрытые движения некоторых недоступных нашему наблюдению масс. Клаузиус пытался решить ту же проблему, введя гипотезу об изменении законов природы, происходящем по определенным законам. Однако установление [c.852]

В случае, когда на систему наложены только стационарные связи, а все активные силы, действующие на нее, являются потенциальными, лагранжиан системы можно представить в виде [c.169]

Уравнения (52.10) называют динамическими уравнениями Эйлера. В случае, когда все внешние силы, действуюш,ие на твердое тело, являются потенциальными, уравнения (52.10) совпадают с уравнениями Лагранжа, соответствующими лагранжиану [c.297]

Как мы увидим дальше, функция Лагранжа чрезвычайно удобна для описания движения механических систем с голономными связями при условии потенциальности активных сил, — удобна тем, что доставляет основную информацию о характере движения системы. Но не только в этом состоит значение функции Лагранжа. Благодаря тому месту, которое функция Лагранжа и ее обобщения занимают в теории интегральных вариационных принципов, функция Лагранжа широко используется во многих,— уже немеханических, — разделах теоретической физики. В квантовой теории на основе функции Лагранжа строится оператор, называемый лагранжианом ). [c.221]

В заключение отметим еще проблему скрытых движений или проблему дальнодействи я , волновавшую физиков в конце 19-го века. Предположим, что натуральная механическая система с п- -1 степенями свободы движется по инерции и ее лагранжиан, представляющий только кинетическую энергию, допускает группу симметрий с полем V. Понижая порядок системы, мы видим, что функция Рауса, являющаяся лагранжианом приведенной системы с п степенями свободы, содержит слагаемое — приведенный потенциал — /с = <1 , Шс>/2 = с /2<к, у>, не зависящее от скоростей. Это слагаемое можно интерпретировать как потенциал сил, действующих на приведенную систему. Гельмгольц, Дж. Томсон (Л. Л. ТЬотзоп), Герц настаивали на том, что все механические величины, проявляющиеся как потенциальные энергии , обусловлены скрытыми циклическими движениями. Характерным примером является вращение симметричного волчка поскольку вращение волчка вокруг оси симметрии заметить невозможно, то можно считать волчок не-вращающимся и странности в его поведении объяснить действием дополнительных потенциальных сил. [c.103]

Упомянем еще про попытку решения проблемы дальнодействия с помощью теории скрытых движений . Основную идею можно пояснить на примере вращающегося симметричного волчка поскольку вращение волчка вокруг его оси симметрии заметить невозможно, то можно считать волчок невращающимся и странности в его поведении объяснить действием дополнительных гироскопических и потенциальных сил. В общем случае эту идею можно пытаться реализовать в рамках теории Рауса понижения порядка систем с симметриями. Предположим, что механическая система с и + 1 степенями свободы движется по инерции и ее лагранжиан, представляющий только кинетическую энергию, допускает однопараметрическую группу симметрий. Понижая порядок системы факторизацией по орбитам действия этой группы, мы видим, что функция Рауса, представляющая лагранжиан приведенной системы с п степенями свободы, содержит слагаемое, не зависящее от скоростей. Это слагаемое можно интерпретировать как потенциал сил, действующих на приведенную систему. Гельмгольц, В. Томсон (лорд Кельвин), Дж. Дж. Томсон, Герц настаивали на том, что все механические величины, проявляющиеся как потенциальные энергии , на самом деле обусловлены скрытыми циклическими движениями. Эта концепция кинетической теории наиболее полно выражена в книге Генриха Герца Принципы механики, изложенные в новой связи [20]. Оказывается, системы с компактным конфигурационным пространством действительно можно получить из геодезических потоков с помощью метода Рауса [13]. Однако, в некомпактном случае (наиболее интересном с точки зрения теории гравитации) это уже не так (см. [23, 13]). [c.13]

Если движение происходит в потенциальном поле, надо не вычислять обобщенные силы, а составить выражение для потенциальной энергии системы, и затем, используя формулы (8), подставить в него декартовы координаты точек как функции новых координат. После этого надо найти кинетическую энергию так, как это было указано выше, и, снова выразив декартовы координаты и их производные через новые координаты, выписа1ь лагранжиан, т. е. разность кинетической и потенциальной энергий. Найденный таким образом лагранжиан подставляется в уравнения (29). [c.134]

Пусть лагранжиан Ь голономноИ системы не зависит явно от времени (силы потенциальны или обобщенно потенциальны). Тогда действительная траектория изображающей точки конфигурационного пространства служит экстремалью функционала [c.616]

G6. Два примера. Лагранжевы уравнения (65.6) связывают наиболее часто встречающиеся динамические системы и излагаем абстрактную теорию. Эта теория приложима ко всем физическим системам, которые ведут себя согласно уравнениям (65.6), независимо от того, действительно ли эта система динамическая или нет. Ср1стема может состоять из электрических контуров с обобщенными скоростями, соответствующими токам. В чисто динамической области благодаря (46.18) настоящая теория приложима ко всем голономным системам, для которых обобщенные силы можно получить дифференцированием потенциальной функции или обобщенной потенциальной функцию. В таких системах кинетическая энергия всегда выражается через квадраты обобщенных скоростей и таким же является лагранжиан L = Т — F), когда [c.217]

В физике особое значение имеет та форма Л. у.,, к-рую они принимают в случае голономной системы, находящейся под действием одних только нотенц. сил (см. Консервативная система). Если ввести ф-цию Лагранжа (лагранжиан) L, равную в этом случае разности между кинетической Т и потенциальной П энергиями системы [c.542]

В случае, если в рассматриваемой задаче необходимо учесть влияние силы тяжести или другой внеганей массовой силы, необходимо ввести в рассмотрение потенциальную энергию П системы частиц в поле этой силы. Тем самым оказывается полностью определенным лагранжиан такой системы [c.19]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...