Статистическая механика в классическом пределе

V. Статистическая механика в классическом пределе [c.318]

Термодинамический вес в классической статистической механике следует определить как предел значения, полученного в квантовой статистической физике. В классическом случае он равен [c.21]

Если оставаться в пределах классической статистической механики, то можно указать на следующие пункты [c.13]

Полезно рассмотреть классический предел этого уравнения. С этой целью формально положим Й = 0. Если предположить, что производные функции Вигнера в правой части уравнения не являются сингулярными, то правая часть обращается в нуль. Поэтому мы приходим к уравнению Лиувилля классической статистической механики [c.99]

Естественно ожидать, что странные представления КПС и КАС (один из основных аргументов в пользу формулировки квантовой теории поля, выходящей за рамки пространства Фока) будут встречаться и в других теориях, занимающихся исследованием систем с бесконечным числом степеней свободы. Таким образом, алгебраический подход, первоначально развитый для нужд квантовой теории поля, может оказаться полезным в классической и квантовой статистической механике, поскольку в этих теориях существенную роль играет термодинамический предел. Именно так и происходит в действительности, и сейчас мы кратко рассмотрим некоторые из задач, на которых испытывался и доказал свою ценность алгебраический подход. [c.43]

Показать, что в пределах применимости классической статистической механики давление такого газа определяется выражением [c.348]

Начала термодинамики занимают совершенно особое место среди всех законов природы,... нет такого процесса в природе, к которому этих начал нельзя было бы применять (Нернст) ... не существует. .. ни одной области физики, к которой термодинамика не имела бы отношения (Лауэ) ... второе начало царствует более чем над половиной физики (Лоренц) ... физики. .. мало-помалу дошли до понимания пределов применимости законов термодинамики и исследовали всевозможные области их применения тем самым было постигнуто глубочайшее значение. .. принципов термодинамики (Бриллюэн) Термодинамика и статистическая механика совершенно необходимы при изучении физических свойств вещества (Кубо) Теория производит тем большее впечатление, чем проще ее предпосылки, чем разнообразнее предметы, которые она связывает и чем шире область ее применения. Отсюда глубокое впечатление, которое произвела на меня классическая термодинамика. Это единственная теория общего содержания, относительно которой я убежден, что в рамках применимости ее основных понятий она никогда не будет опровергнута (Эйнштейн). В другом месте Эйнштейн отмечает, что термодинамика является ничем иным как систематическим ответом на вопрос какими должны быть законы природы, чтобы вечный двигатель оказался невозможным. [c.3]

Сейчас мы убедимся, что статистическая механика заполняет этот пробел. Метод канонического распределения дает нам модель системы, находящейся в тепловом равновесии, и позволяет выразить все термодинамические величины через величины, характеризующие микроскопические свойства молекул. Справедливость такой модели убедительно подтверждается сопоставлением с экспериментальными результатами. Статистическая механика позволяет решать проблемы двоякого ряда. С одной стороны, она позволяет находить термодинамические параметры исходя из микроскопической механики (например, анергетических уровней молекул, определяемых спектроскопическими методами). С другой стороны, Она позволяет определять микроскопические свойства (например, природу межмолекулярных взаимодействий) исходя из результатов измерений макроскопических термодинамических параметров. Наконец, последнее, но не самое маловажное обстоятельство статистическая механика позволяет исследовать пределы применимости классической термодинамики, а также раздвинуть гранихщ исследований макроскопических свойств вещества и распространить ИХ на такие условия, при которых термодинамика заведомо непригодна. [c.143]

Более общая форма закона равного распределения энергии, относится к гармоническому осциллятору в классическом пределе. Выше мы показали (см. (6.72)), что в высокотемпературном пределе т >> йю энергия одномерного гармонического осциллятора равна т. Этот результат поддается интерпретации с по мощью классической статистической механики (см. Приложение V). Из всей энергии х доля /гт является тепловым средним кинетической энергии, а другая доля /гт — тепловым средним потенциальной энергии. Такое значение теплового среднего потенциальной энергии справедливо только для гармонического-осциллятора. Действительное его значение зависит от вида функции, описывающей потенциальную энергию. Иная величина получается, например, для ангармонического осциллятора. Многоатомные молекулы обладают вращательными степенями свобо- [c.140]

В тех задачах, в которых имеется зависимость от времени, в термодинамическом пределе также исчезают некоторые эффекты, имеющие место в конечных системах. Самый знаменитый среди них связан с так называемыми возвратами Пуанкаре. Этот эффект выражается следующей точной теоремой классической динамики. Пусть имеется консервативная динамическая система N тел, помещенная в конечную область пространства. Тогда, начав движение из заданного состояния в нулевой момент времени, система по истечении промежутка времени Тр вернется сколь угодно близко к начальному состоянию. Поэтому движение любой конечной механической системы является квазиперио-дическим. Кроме того, при Т —оо период Тр стремится к бесконечности. Следовательно, результаты, получаемые из теории в термодинамическом пределе, могут быть справедливы лишь для времен, значительно меньших времени возврата Пуанкаре. Однако оказывается, что для всех систем представляющих интерес с точки зрения статистической механики, время Тр столь фантастически огромно, что фактически никакого ограничения не существует вообще (для 1 см газа Т,, имеет порядок биллиона биллионов лет). Поэтому с уверенностью можно утверждать, что эволю- [c.92]

В данной главе мы неоднократно подчеркивали тот факт, что правомерность использования в термодинамике моделей равновесных ансамблей не обеспечивается автоматически, ибо она критическим образом зависит от природы гамильтониана. Рассмотрим теперь эту связь более подробно, ограничиваясь слзггаем классической механики, а в этих рамках — каноническим ансамблем. Для этого ансамбля ключевой является формула (4.4.12). В разд. 4.4 уже было показано, что функция А (Т, N) обладает формальными свойствами, позволяющими отождествлять ее с термодинамической свободной энергией, при условии, что таковая существует] Сам факт возникновения проблемы существования связан с тем, что мы неоднократно использовали переход к термодинамическому пределу для эмпирического подтверждения многих этапов наших рассуждений. Окончательное строгое обоснование равновесной статистической механики, таким образом, покоится на апостериорном доказательстве того, что фушщия А Т, N) существует в термодинамическом пределе. Более точно, мы должны доказать, что А (Т, N) представляет собой экстенсивную функцию, или, эквивалентно, что плотность свободной энергии а = А конечна в термодинамическом пределе (3.3.1) и поэтому зависит только от плотности п = Nl i (а также от температуры) [c.158]

Сначала рассмотрим метод Метрополиса и др. в рамках его обычного применения, т. е. в пределах статистической механики классических систем. В 8 буде4 дан краткий очерк применения этого метода к квантовомеханическим системам, а также сделано несколько замечаний относительно специфических квантовомеханических методов Монте-Карло. Метод Монте-Карло непосредственно используется для расчета некоторого среднего значения /), имеющего вид [c.276]

Несмотря на то, что течения жидкостей и газов, встречающиеся в природе и технических устройствах, как правило, являются турбулентными, во всех существующих общих курсах гидромеханики теории турбулентности посвящены в лучшем случае лишь небольшие разделы, содержащие кое-какие отрывочные сведения о методах статистического описания неупорядоченных течений жидкости и газа и о некоторых статистических характеристиках таких течений. Монографическая литература, псйвященная турбулентности, также очень бедна и насчитывает всего несколько названий (почти все они могут быть найдены в списке литературы, приложенном к настоящей книге) при этом большая часть из них относится к книгам сравнительно узкого содержания. Нетрудно понять, почему сложилось такое положение. Турбулентные течения являются значительно более сложным объектом, чем ламинарные, и требуют для своего изучения существенно новых методов, отличных от классических методов математической физики, в течение почти двух столетий считавшихся единственно годными для количественного изучения законов природы. Математический аппарат, нужный для логически аккуратного построения статистической механики непрерывных сред —теория случайных полей, — был создан лишь за последние 25—30 лет и до сих пор еще мало известен за пределами узкого круга специалистов по теории вероятностей. В эти же годы сформировалась и современная теория турбулентности, которая до сих пор еще далека от завершения. Нам кажется, однако, что уже имеющиеся в этой области достижения безусловно заслуживают того, чтобы занять заметное место в обязатель ном объеме знаний каждого образованного гидромеханика и физика-теоретика, и если этого еще не произошло, то лишь ввиду относительной молодости теории турбулентности. Можно [c.13]

Ценность алгебраического подхода подтверждается также достигнутыми им успехами, позволившими существенно расширить общность некоторых замечаний, сделанных относительно моделей Ван Хова и БКШ. Например, в п. 5 мы видели, что при снятии обрезания с взаимодействия из пространства Фока свободного поля исчезает физический вакуум, и это обстоятельство позволяет строить новое представление взаимодействующих полей. Подобная ситуация свойственна не только модели Ван Хова, а встречается также в конструктивных теориях поля Глимма и Джаффе. В п. 6 мы видели, что в модели БКШ вырождение основного состояния связано со спонтанным нарушением калибровочной симметрии. Это обстоятельство наводит на мысль об использовании алгебраического подхода к решению общей проблемы спонтанного нарушения симметрии, и, действительно, в указанном направлении удалось достичь известных успехов. Алгебраический подход позволил также продвинуть решение родственной проблемы — добиться более глубокого понимания механизма фазовых переходов. Различные алгебраические методы успешно использовались при решении многих задач классической и квантовой статистической механики от эргодической теории до исследования конденсации Бозе — Эйнштейна и интерпретации данных по спонтанному намагничению в модели Изинга и способствовали выяснению того, как система приближается к равновесному состоянию. Из других областей физики следовало бы упомянуть исследование оптической когерентности (методом пространства Баргмана). Алгебраический подход позволяет понять, где именно и в каком направлении формализм Баргмана выходит за пределы обычного формализма пространства Фока. [c.49]

По теории эффекта Комптона одновременно с рассеянием кванта должно иметь место и отбрасывание электрона со скоростью v (электрон отдачи). Действительно такие электроны удалось наблюдать по методу камеры Вильсона, так как скорость этих электронов достаточна, чтобы вызвать ионизацию воздуха. Комптон и Саймон (1925 г.), пользуясь этим методом, изучили распределение направлений первичных и рассеянных квантов и электронов отдачи. Результаты оказались в полном согласии с приведенной теорией столкновения, расхождение между опытным и теоретическим определением направления полета электрона лежало в пределах О—20 , что следует считать весьма удовлетворительным для этого трудного опыта. Описанный опыт, так же как и специальный опыт Боте (1925 г.) показали, что акт рассеяния и акт электронной отдачи локализованы и в пространстве и во времени, как два совпадающих акта, что заставляет признать описываемый процесс элементарным, а не статистическим. На основании этих уже опытных данных следует считать неудовлетворительным классическое истолкование изменения длины волны при рассеянии, как результат явления Допплера, т. е. рассеяние электронами, приведенными в достаточно быстрое движение. Наоборот, с данными опыта вполне согласуется развитая квантовой механикой теория рассеяния рентгеновских лучей свободными электронами. Она не только подтверждает выводы, полученные при помощи упрощенного рассмотрения явлений на основании гипотезы световых квантов, но и приводит к количественным заключениям относительно интенсивности рассеянного света (Дирак, 1926 г., и Клейн и Ниши-на, 1929 г., применившие новую релятивистскую квантовую механику Дирака). Установленная этими теориями зависимость коэфициента рассеяния от направления наблюдения и длины волны хорошо подтверждается измерениями в весьма широком HHTepBajfe частот, вплоть до очень жестких у-лучей. В области наиболее коротких волн (см. Носмические лучи) формула Дирака-Клейн—Нишина дает пока единственно применимый, хотя и не вполне надежный, метод определения длины волны (Милликен, 1927 г.). [c.71]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...