Функция Гамильтона задачи трех тел

Функция Гамильтона задачи трех тел [c.122]

Доказательство существования периодических решений второго и третьего сорта в задаче трех тел сведено Пуанкаре [2] К исследованию на экстремум некоторой функции Ри смысл которой следующий пусть уравнения движения в задаче трех тел записаны в гамильтоновой форме (см. ч. IV, 1.13) с аналитической по ц при цо функцией Гамильтона Р вида [c.793]

Теорема об аналитическом продолжении решений вдоль оси t принимает для системы Гамильтона следующую форму. Пусть решения Xk(t), yk t) к = 1,. .., п) системы (5) будут регулярными для т i < ii и пусть соответствующая дуга кривой, изображающей решение в пространстве (х, у) 2п измерений, принадлежит замкнутому ограниченному множеству, на котором функция Гамильтона Е(х, у) является регулярной тогда Xk t), yk t) регулярны также для t = Этот результат мы используем при исследовании задачи трех тел. [c.38]

Нетрудно проверить, что при сделанных выше двух предположениях уравнения (3.64) и (3.67) удовлетворяются решениями х О, а HS 0. Таким образом, мы приходим к задаче о движении тела пренебрежимо малой массы вблизи коллинеарной точки либрации Lz эллиптической ограниченной задачи трех тел. Эта задача описывается функцией Гамильтона (3.36), в которой надо положить [c.282]

В то время как главы I и II касаются произвольных канонических систем, в главе III учитывается специфическая квадратичная структура динамической функции Гамильтона. Единственным нетривиальным случаем, в котором сейчас доступны в явном виде формальные аналитические операции, является случай двух степеней свободы, и он рассматривается достаточно детально с целью его дальнейшего применения к ограниченной задаче трех тел. [c.8]

Во второй части своего первого мемуара Гамильтон обращается к общей задаче о движении трех и более тел, подчиняющихся любому закону притяжения. Здесь составляются уравнения для определения характеристической функции и предлагается приближенный метод для определения этой функции в том случае, когда одно из движущихся тел имеет преобладающую массу. [c.12]

Получим выражение для функции Гамильтона задачи трех тел. Движение будем рассматривать в координатах Нехвила Г1, с истинной аномалией V кенлеровского движения тел 5 и / в качестве независимой переменной. Единицы измерения выберем такими, чтобы сумма масс тел 5 и /, расстояние между ними и постоянная тяготения равнялись единице. Уравнения движения запишутся в виде соотношений (1.10) главы 1. Эти уравнения могут быть записаны как уравнения Лагранжа второго рода с функцией Лагранжа Ь вида [c.122]

В качестве примера найдем преобразование, нормализующее систему линейных уравнений, описывающих движение в окрестности треугольной точки либрации плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел. В координатах Нехвила с истинной аномалией и в качестве независимой переменной и при соответствующем выборе единицы длины движение описывается при помощи функции Гамильтона [c.131]

Контактные преобразования встречаются и во многих других случаях. Движение динамической системы определяет контактное преобразование (goJ Ро) в Р)- Кроме того, если мы будем фиксировать траекторию в фазовом пространстве с помощью параметров (а Р), связанных с q -, рд) соотношениями р,. da. = dq g, то преобразование от (а Р) к (q р) будет контактным ( 24.1). В самом деле, подобное контактное преобразование мы получаем всякий раз, когда решаем задачу динамики с помощью теоремы Гамильтона — Якоби ( 25.2). Можно, наконец, определить контактное преобразование с помощью производящей функции ( 24.3) в дальнейшем, при исследовании задачи трех тел (гл. XXIX), мы приведем много примеров контактных преобразований. [c.503]

Очевидно, что возможность интегрирования уравнения Гамильтона—Якоби целиком определяется аналитической структурой коэффициентов ац яиЯ2.....Яь), Ьг(Яи Я2,. .., Як) и силовой функции и. Это побудило Т. Леви-Чивита [111] вывести необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнения (10.2.13), чтобы оно было интегрируемым методом разделения переменных. Для случая трех степеней свободы (например, для пространственной ограниченной задачи трех тел) эти условия выписаны и исследованы Ф. Даль-Аква [112]. В 1911 г. П. Бургатти [113] выписал функциональные зависимости импульсов от координат, приводящие к интегрированию уравнения Гамильтона — Якоби. Н. Д. Моисеев [114] и В. Г. Демин [87] указали на два обобщения уравнений Лиувилля и Штеккеля, также интегрируемые методом разделения переменных. [c.816]

Возвратимся к астероидной задаче трех тел, в которой Fy является периодической функцией от уу и у с периодом 2я по обеим переменным. В предыдущем параграфе мы видели, что подходящим выбором произвольной функции г (жь Жг) можно добиться, чтобы величины п1 и п1, которые входят в делитель iriy + /пг, принимали произвольные значения. Это справедливо также для значений постоянных интегрирования и а- . Мы нашли также, что интеграл S дифференциального уравнения Гамильтона — Якоби [c.618]

Приложения метода Пуанкаре, а) Обратимся к ограниченной задаче трех тел, рассмотренной нами в 5 гл. 2. Предположим сначала, что масса Юпитера ц равна нулю. Тогда в неподвижном пространстве астероид будет вращаться вокруг Солнца единичной массы по кеплеровским орбитам. Пусть орбиты — эллипсы. Тогда удобно перейти от прямоугольных координат к каноническим элементам Делоне 1, О, I, д (см. пример 4, п. 2.1, гл. 4). В новых координатах уравнения движения астероида будут каноническими с функцией Гамильтона Ро= = ЧгЬ . Если цфО, т6 полный гамильтониан Р можно разложить в ряд по возрастающим степеням ц = о+ц/ 1+ Поскольку в подвижной системе координат, связанной с Солнцем и Юпитером, кеплеровские орбиты вращаются с единичной угловой скоростью, то функция Гамильтона Р зависит от , О, I и —1. Положим J l = , Х2 = 0, У1 = 1, У2=е—1 и Н=Р—0, [c.232]

Птак, для устранения множителя А необходимо произвести еще одно понижение порядка системы Гамильтона с помощью интеграла площадей. Для этого определим такое капопическое преобразование, которое вводит Q как новое независимое неременное. Такой переход бьш осуществлен еще Якоби для пространственной задачи трех тел, где эта операция именуется исключением узлов. Чтобы пояснить идею, рассмотрим произвольную систему Гамильтона Хк = Ну,, ук = с неизвестными функциями Хк, Ук к = 1, , п) п иредноложим, что существует интеграл ф х, у), не содержащий 1. Введем посредством порождающей функции ъи = ъи С, у) с помощью равенств (3 4) подстановку [c.158]

В главе 3 изучается устойчивость гамильтоновой системы с одной степенью свободы и 2я-периодической по времени функцией Гамильтона. К такой системе может быть, например, приведена задача об устойчивости периодических движений круговой ограниченной задачи трех тел, отличных от точек либрации. Предполагается, что линеаризованная система устойчива, а ее мультипликаторы различны. Частные случаи этой задачи рассматривались в классических исследованиях Леви-Чивита и в недавних работах Зигеля, Мермана, Каменкова и Мустахишева. В главе 3 рассматриваются как нерезонансный, так я резонансный случаи (когда характеристические показатели + X таковы, что число кХ будет целым при произвольном целом к > 3). Исследование основано на приведении функции Гамильтона к нормальной форме и последующем применении теоремы Ляпунова о неустойчивости и теоремы Мозера об инвариантных кривых [72]. Получены условия устойчивости и неустойчивости. [c.11]

Остается определить те решения задачи трех тел, для которых предположение i(i) ф onst для натуральных гамильтоновых уравнений предыдущего параграфа нарушается. Это обязательно будет в случае плоского решения, так как тогда i(i) = = onst = 0. Однако плоские решения можно не рассматривать, так как для них можно получить (см. 399) гамильтонову систему в том же виде, но где роль независимой переменной играет t, а не I, и функция Гамильтона консервативная. Однако равенство i(i) = onst может иметь место также и для некоторых неплоских решений. Действительно, на основании изложенного в 346 легко установить, что наклонность i постоянна и равна /гЯ для обоих типов (i), (и) пространственных равнобедренных решений. Насколько можно судить по известным в настоящее время [c.421]

Плодотворная постановка задачи об интегрируемости уравнений Г амильтона и первые нетривиальные результаты в этом направлении принадлежат Анри Пуанкаре. В работе О проблеме трех тел и об уравнениях динамики (1890 г.) он исследовал задачу о полной интегрируемости основной проблемы динамики . Речь идет о гамильтоновых системах, возникающих в теории возмущений функция Гамильтона разлагается в ряд по степеням малого параметра Н = Но + еН - - , причем гамильтони- [c.16]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...