Специальные формы интегрального уравнения

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ [c.28]

Математическое исследование течений с резким изменением параметров (например, в ударных волнах) с помощью дифферен-диальных уравнений ((12) и (26), (50)—для вязкого газа или (81), (83)—для идеального) оказывается затруднительным в связи с необходимостью выделения особых поверхностей (разрывов) и расчета изменения параметров на них по специальным -соотношениям. Эти трудности можно избежать, применяя интегральные уравнения, не содержащие производных от функций, характеризующих состояние среды. Для этого получим уравнения, выражающие законы сохранения массы, количества движения и энергии в интегральной форме. [c.111]

В последующие годы развитие методов, основанных на использовании общих уравнений теории упругости и, в частности, функций Папковича — Нейбера, позволило свести многие общие смешанные задачи упругого равновесия полупространства к некоторым классам смешанных задач теории потенциала. При этом в качестве основной из таких задач целесообразно выделить тот случай, когда на всей границе полупространства заданы касательные напряжения, в некоторой конечной области 6" граничной плоскости 2 = 0 известно нормальное перемещение щ = f (х, у), а вне 6 (в области 3 ) задано нормальное напряжение сг = о (х, у). Так, для контактной задачи без трения и пригрузок имеем о = О, а функция / определяется формой основания штампа. Существенно, что смешанные задачи указанного класса в конечном счете могут быть сведены к нахождению одной гармонической функции, заданной в /5", причем в области 8 известна ее нормальная производная. Советскими учеными были разработаны эффективные методы подхода к подобным задачам теории потенциала, позволившие, в частности, дать точные решения некоторых контактных и сходных смешанных задач. Основными из этих методов являются следующие применение сфероидальных и эллипсоидальных координат (А. И. Лурье) построение и использование функции Грина (Л. А. Галин М. Я. Леонов, 1953) метод интегральных уравнений (И. Я. Штаерман В. И. Моссаковский, 1953) использование тороидальных координат и интегральных преобразований (Я. С. Уфлянд, 1956, 1967) метод комплексных потенциалов (Н. А. Ростовцев, 1953, 1957). Мы здесь специально не выделяем метод парных интегральных уравнений, успешно развитый Я. Н. Снеддоном ), поскольку его эффективность существенно проявляется при решении более сложных смешанных задач, о которых речь пойдет ниже. [c.34]

Большинство встречающихся в приложениях задач математической физики, описываемых уравнениями с частными производными, не поддаются решению аналитическими методами. В [259, 260] показано, что. различные краевые и начально краевые задачи для уравнений с частными производными допускают аналитическое решение только в областях специальной формы, в частности в тех, границы которых являются координатными линиями некоторых систем координат. Нелинейные задачи аналитически решаются только в исключительных случаях. В связи с этим большое развитие получили различны приближенные методы, в особенности основанные на применении мощных вычислительных машин. Выше были упомянуты работы по численным методам решения различных типов интегральных уравнений. В дополнение к этому отметим, что применению различных численных методов в механике твердого деформируемого тела и механике разрушения посвящены работы 62, 176, 237, 268, 307, 330, 345, 445 и др.]. Теоретическое обоснование численных методов с применением функционального анализа дано в работах [159, 173, 190, 247, 250, 3721. [c.136]

Естественно, что любой метод численного решения сингулярных уравнений должен опираться на те или иные специальные квадратурные формулы. Разобьем контур на элементарные участки и будем полагать плотность постоянной в пределах каждого из них, обязательно связав ее значение со значением в центре участка (разбиения в так называемой основной точке). Тогда, вычисляя интеграл в той или иной основной точке, придем к интегральной сумме, в которой надо опустить слагаемое, соответствующее отрезку, которому принадлежит исходная основная точка. Укажем также один прием, позволяющий непосредственно переходить к несобственным интегралам. Для этого воспользуемся представлением уравнения (3.1) в иной (регулярной) форме [c.56]

Учебник содержит систематическое изложение теоретических основ механики жидкости и газа в объеме курса, читаемого для соответствующей специальности. Он знакомит с методами расчета до-, около- и сверхзвуковых потоков, с расчетом двухфазных потоков, теорией пограничного слоя, расчетом течений при подводе теплоты, массы и т. п. Автор стремился обратить внимание на физическую сущность задач и расчетную сторону проблем, что важно для инженеров. Основные уравнения записаны в интегральной и дифференциальной формах с применением индексной записи. Это позволило сделать все преобразования компактными и наглядными особенно при рассмотрении общих случаев. Применение уравнений сохранения в интегральной форме дает возможность просто решать ряд инженерных задач. [c.3]

Уравнения процесса, представленные в алгебраической, дифференциальной или интегральной форме, содержат более подробную и специальную информацию о зависимостях между параметрами объекта, чем сведения о размерностях физических величин. [c.46]

Качественное исследование системы дифференциальных уравнений, описывающих квазиодномерное установившееся течение электропроводной среды при малых магнитных числах Рейнольдса, дает представление о возможных режимах течения, реализующихся при различном задании электромагнитного поля и формы канала. Такое рассмотрение необходимо для расчета одномерных течений, а также при решении вариационных задач 1]. В литературе, посвященной этому вопросу, изучались течения в однородном электромагнитном поле и канале постоянного сечения [2], а также течения нри специально заданных зависимостях магнитного поля от скорости течения [3]. Эти случаи сводились к анализу интегральных кривых на плоскости. Исследование проводится для произвольного распределения электрического и магнитного полей и формы канала, что приводит к рассмотрению поведения интегральных кривых в пространстве. Качественные результаты иллюстрируются примерами. [c.67]

Поэтому авторы решили ограничить рассмотрение алгебраическшми и трансцендентными уравнениями. При зтом имелось в виду, что обобщения сами по себе обычно не приводят к новьш результатам, а также то, что численная реализация решения дифференциальных и интегральных уравнений, как правило, связана с их сведением к алгебраическим и трансцендентным с помощью вариационных, разностных и щ)угих методов. Специальная форма обо цения результатов на одномерные нелинейные краевые задачи рассмотрена в гл. 3. Эта форма с оцественно использует. ортогональную прогонку для решения пошаговых линеаризованных краевых задач. [c.11]

Как известно, для решения неоднородных краевых интегральных уравнений, к которым относится уравнение (3.1), методом простой итерации типа (3.7) или (3.11) процесс решения в общем случае может расходиться. Для обеспечения сходимости следует применять специальные формы решения, например метод подобной итерации [9]. Приняв в качестве исходной функции для расчета /-того приближения функцию i (х), где — пока неизвест [c.57]

Большое внимание в монографии уделено разработке новых и развитию известных аналитических и численно-аналитических методов перечисленных выше задач. Основными из них являются 1) метод сведения парных интегральных уравнений (ИУ) и парных рядов-урав-нений к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) первого рода с сингулярной матрицей специальный способ решения этих систем 2) метод однородных решений применительно к телам конечных размеров канонической и неканонической формы 3) метод сведения парных интегральных уравнений к ИУ 1-го и 2-го рода с разностным ядром 4) метод больших Л, построение всех членов разложения с помощью алгебраических рекуррентных соотношений [c.13]

Специальные вопросы, связанные с численным решением уравнений эллиптического типа в окрестности выпуклого угла, обсуждали Вудс [1953], Вазов [1957], Лаасонен [1958а, 19586] и другие авторы. Для того чтобы продемонстрировать сходимость решения разностного уравнения в случае конечного числа разрывов функции Лаасонен [19586] рассматривал решение уравнения Пуассона, записанное в интегральной форме при помощи функции Грина (см. Вейнбергер [1965]). Доказанная им теорема требовала, чтобы решение дифференциального уравнения для 5 было кусочно непрерывно и чтобы разрывы находились между узловыми точками сетки. Второе из этих условий не удовлетворяется в наших разрывных постановках для Однако необходимость этого условия не была доказана. [c.263]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...