ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Классификация особых точек из "Механика хрупкого разрушения " Прочность большинства хрупких тел определяется дефектами типа трещин, размеры которых велики сравнительно с межатомным расстоянием. Такие дефекты в десятки и сотни раз снижают прочность материала по сравнению с теоретическим значением для идеально-периодической структуры. Постановка задачи, учитывающая атомную структуру материала в явном виде, настолько усложняет решение, что почти всегда приходится отказываться от нее и прибегать к модели сплошного деформируемого тела. Для хрупких материалов такой моделью является модель линейно-упругого тела при малых деформациях. [c.51] Как будет показано в гл. IV, для решения проблемы прочности хрупкого тела нужно уметь находить решение соответствующей математической задачи теории упругости для тела с разрезами нулевой толщины. Эти задачи относятся к так называемым сингулярным краевым задачам, т. е. к граничным задачам с особыми точками. Такими точками являются, например, бесконечно удаленная точка, угловая точка, коническая точка, точка разрыва граничных условии, точка приложения сосредоточенной силы и т. д. Появление таких точек обычно связано с некоторой идеализацией исходной физической задачи. При этом в линейных задачах решение (или его производные, начиная с некоторого порядка) стремится к бесконечности при приближении к особой точке. Поскольку граничная задача в особой точке не определена, встает вопрос о формулировке физически осмысленного дополнительного условия в такой точке, т. е. о постановке корректной сингулярной краевой задачи. [c.51] В этой главе излагается общий подход к решению проблемы особых точек, основанный на понятии корректной краевой задачи и теореме об однородных решениях Р ]. В сочетании с простейшими инвариантно-групповыми соображениями предлагаемый подход позволил достаточно полно изучить наиболее интересные случаи в плоской статической задаче теории упругости, а также случай цилиндрической точки. [c.52] Используя предложенный подход и теорему Клапейрона, удалось доказать классический принцип Сен-Венана в его первоначальной формулировке, т. е. для кручения и изгиба цилиндрических (призматических) тел. [c.52] Показано, что для плоских задач теории упругости все множество сингулярных упругих задач с бесконечно удаленной точкой можно разбить на два эквивалентные по мощности ) класса класс S, для которого выполняется принцип Сен-Ве-нака, и класс N, для которого принцип Сен-Венана несправедлив. Например, к классу N принадлежит упругая задача для тела с бесконечно удаленной точкой типа клина с углом раствора, большим я. Для постановки корректной краевой задачи в классе /V оказывается необходимым ввести дополнительное условие на бесконечности. В качестве иллюстрации рассмотрены решения некоторых конкретных задач. Показано, например, что известные решения задач о действии сосредоточенной силы и момента в вершине бесконечного клина некорректны при угле раствора, большем я. [c.52] Задачи теории упругости для тел с разрезами типа трещин оказываются принадлежащими классу N. Упомянутый метод позволил, в частности, строго вывести закон распределения напряжений и деформаций в малой окрестности края трещины любой гладкой формы для различных наиболее часто встречающихся случаев (с учетом анизотропии, неоднородности, сил инерции, физической и геометрической нелинейности, различных вариантов граничных условий на трещине и т. д.). [c.52] Кроме того, граничная поверхность может содержать бесконечно удаленную точку считается, что в окрестности этой точки поверхность допускает группу подобия или переноса (клин, конус, цилиндр, полоса и т. д.). Для определенности предположим, что граница тела в окрестности бесконечно удаленной точки свободна от нагрузок. (Применяемый ниже подход годится и для более общих однородных граничных условий.) Напомним, что принцип Сен-Венана формулируется именно для таких граг ничных условий. Этот принцип утверждает, что если некоторая совокупность внешних сил, действующих на некотором участке поверхности тела, будет заменена другой системой внешних сил, статически эквивалентной предыдущей и распределенной на том же участке, то напряжения, соответствующие этим двум нагрузкам, будут одинаковыми на достаточном удалении от места приложения сил. [c.53] Требуется найти решение уравнений статической теории упругости в указанной области, удовлетворяющее заданным граничным условиям в регулярных точках границы и некоторым дополнительным условиям в сингулярных точках. Общий вид дополнительных условий в особых точках устанавливается ниже. [c.53] Здесь Хг — локальные декартовы координаты с началом в особой точке, t к Кг — произвольные параметры (параметры групп). В формулах (3.3) ось хз направлена вдоль особой линии. [c.54] Вернуться к основной статье