Производные базисных векторов

Производные базисных векторов. Рассмотрим производные единичных векторов е по координате s. Так как производная от вектора по скалярному аргументу есть вектор, то представим его в виде разложения по базисным векторам ei). Определим пока положение только одного единичного вектора ei, направив его по касательной к кривой, например к осевой линии стержня (рис. П.10) [c.301]

Лемма Пуассона. Производные базисных векторов e = l XeJ е =[иХе 1. е = [ Хе 1. [c.197]

Производные базисных векторов по времени [c.89]

V. 2. Производные базисных векторов. Векторы [c.879]

Выражения производных базисных векторов составляются по формулам (V. 2.2) эти выражения могут быть использованы для составления формул дифференцирования единичных векторов, непосредственный вывод которых приведен в п. III. 4. [c.886]

Производная базисных векторов определяется как [c.211]

Производные базисных векторов. Символы Кристоффеля [c.470]

Принимается обозначение производных базисных векторов [c.470]

ПРОИЗВОДНЫЕ БАЗИСНЫХ ВЕКТОРОВ 471 [c.471]

Производные по времени векторов базиса е . На рис. 1.1 показано положение координатных осей, связанных с некоторой кривой в два разные момента времени to и t. Точка осевой линии стержня, с которой связаны координатные оси, своего положения относительно стержня не меняет, т. е. з = = 0. В Приложении были получены соотношения, устанавливающие связь между базисными векторами ири изменении их положения в пространстве. Изменение в положении связанных осей может произойти вследствие двух причин изменения положения осей во времени при движении стержня (при фиксированной координате, s) (рис. 1.1) и изменения положения осей в пространстве в фиксированный момент времени /о, т. е. базисные векторы в общем случае зависят от двух независимых переменных i и з. В первом случае изменение положения осей зависит от изменения переменной I при фиксированном значении переменной , во втором случае изменение положения осей зависит от изменения. < при фиксированном значении 1. При движении стержня происходит непрерывное изменение положения осевой линии стержня. Для описания движения стержня и определения в каждый момент времени формы его осевой линии необходимо знать производные векторов е ( связанного базиса ио аргументам i и Производная [c.11]

В подвижной системе координат компоненты вектора а/ и базисные векторы е/ зависят от времени, поэтому производная вектора [c.12]

Базисные векторы, вообще, являются функциями положения точки, в которой они определяют координатный триэдр. Изменения базисных векторов характеризуются значениями производных [c.19]

По формулам (3.17) при помощи ковариантных производных кова-риантных и контравариантных компонентов вектора перемещения и в системе направлений базисных векторов е и йа вычисляются компоненты тензора деформации. [c.49]

Рассмотрим производные единичных векторов е,- по координате S. Так как производная от вектора по скалярному аргументу есть вектор, то представим его в виде разложения по базисным векторам е, [c.18]

Соотношения, устанавливающие связь между базисными векторами при изменении их положения в пространстве, были получены в 3. Изменение положения осей, связанных с осевой линией стержня, может произойти вследствие двух причин 1) изменение положения осей во времени при фиксированной координате s из-за движения гибкого стержня или нити (см. рис. 4.1) 2) изменение положения осей при переходе в соседнюю точку вдоль осевой линии стержня в фиксированный момент времени Базисные векторы е,- (s, f) в общем случае зависят от двух независимых параметров < и S. В первом случае изменение положения осей зависит от скалярного аргумента t при фиксированном s во втором случае изменение положения зависит от скалярного аргумента s при фиксированном t. При движении стержня происходит непрерывное изменение положения его осевой линии и ее формы (из-за деформации стержня). Для описания движения стержня с определением в каждый момент времени формы осевой линии необходимо знать производные векторов связанного базиса по аргументам и s. [c.89]

В подвижной истеме координат и компоненты вектора щ и базисные векторы е,- зависят от времени, поэтому производная вектора а (s, t) [с учетом (4.5)] [c.90]

III.4. Дифференцирование базисных векторов. Проведение операций векторного и тензорного анализа в криволинейных координатах усложняется необходимостью учета изменяемости векторного базиса е , обязательно знание выражений производных этих векторов по координатам q . [c.854]

Уравнения, построенные из следующих ниже комбинаций переменных я - , уц, их производных и интегралов по времени, имеют форму, инвариантную относительно выбора базисных векторов, используемых при определении этих переменных. Для любой заданной истории формы и напряжения величины этих переменных будут зависеть от выбора базисных векторов, однако достаточно выполнить следующие правила, чтобы любое изменение системы вмороженных базисных векторов приводило бы к уравнениям, имеющим в новых переменных Ун ту же самую форму, что и в исходных переменных я"-, Yij (ср. с пояснением, данным в главе 4 при обсуждении уравнений (4.9) и (4.10)). [c.221]

Далее, определим производную ковариантного базисного вектора по а . Поскольку производная является снова вектором, можно записать [c.104]

В [43] показано, что материальная производная тензора является тензором того же ранга. Наиболее просто получаются выражения для компонент материальных производных тензоров, определенных в материальном отсчетном базисе (в переменных Лагранжа). Так как базисные векторы (ё ) неизменны во времени, для произвольного тензора второго ранга h [c.28]

Дифференцирование пространственных тензоров по координатам осуществляется с учетом переменности базисных векторов, что приводит к понятию ко-вариантной пространственной производной. Для пространственных ковариантных производных тензоров первого и второго рангов справедливы представления [c.23]

Зная величины Ffj и fry, можно построить производные от базисных векторов [c.20]

Производная Z,g( представляет собой базисный вектор [c.91]

Кинематические гипотезы определяют форму представления радиус-вектора R в текущем состоянии от лагранжевых координат или выражений для базисных векторов G = R,i и их производных по времени Gi. Затем следует формирование выражений [c.34]

Из (4.4.2.4) следует, что базисные векторы в одном из состояний можно задавать произвольно, а базисные векторы остальных (7V — 1) состояний определяются однозначно с помощью производных от перемещений. [c.297]

Отметим, ЧТО прои водная тензора по перемещению в общем не является тензором. Это следует из факта, что базисные векторы системы М в общем зависят от времени t, и поэтому, например, б с ак)/Ь(ф Ф 6 /6t) а . Можно ввести другую производную, которая имеет тензорные правила преобразования. Для наших целей это не обязательно, поэтому остановимся на формулах, представленных выше. Легко видеть, что производная b/bt линейна и удовлетворяет правилу Лейбница [c.135]

Кроме того, отметим равенство ковариантной производной от радиуса-вектора базисному вектору системы координат, а именно и выражение для полной производной по времени от функции Г) любого тензорного ранга в движущейся со скоростью у среде [c.301]

Здесь использовано определение базисного вектора е. =5г/Э< , независимость t и лагранжевых координат а также известное из тензорного анализа выражение для производной от вектора по криволинейной координате через ковариантную производную и = D (i, < ) — компоненты вектора V в лагранжевой системе. [c.314]

Из рассмотренных примеров алгебр 2-го ранга вытекает общая схема построения скалярной пары произвольного 1-го представления размерности /V/ алгебры . Производные произвольного порядка волновой функции /-го представления линейным образом выражаются через /V матричных элементов группового элемента д, взятого между базисными векторами представления <л него старшим вектором, < />. При этом коэффициентами пропорциональности являются однородные (по степени производных) полиномы от неизвестных р/, входящие в выражение для многокомпонентной пары (1.3). Таким образом, все матричные элементы п д 1 могут быть выражены в виде линейной комбинации волновой функции и ее производных вплоть до N1—1)-го порядка включительно (как по отношению к дифференцированию по 24-, так и по 2 ). [c.199]

Подставим в это уравнение выражение для вектора через единичные базисные векторы т декартовой системы координат (11 = 1, 2 = ], 1з = к) К = ду /дх ) гп- Учтем, что вектор а можно записать в виде я = а Яг = а ду /дх ) = аЛ . Так как единичные базисные векторы постоянны, то их можно выносить из-под знака производной. Для т-й компоненты декартовой системы координат вектора а, [c.78]

Для производных базисных векторов (22.2) и (22.7 имеют место формулы Гаусса-Вейнгартена обычного вида [c.102]

Вся приведенная выше теория нанряженнй п деформаций сохраняется и при пользовании произвольной криволинейной, не обязательно ортогональной системой координат. В качестве базисных векторов принимают производные от радиуса-вектора точки по криволине1шым координатам j = rj, по отношению к этому базису вектор или тензор задаются контравариантными компонентами. По отношению к взаимному базису векторы и тензоры задаются ковариантными составляющими. [c.231]

V. 3. Ковариантное дифференцирование. Проведение вычислений с векторными и тензорными величинами требует введения координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной природы (ко-, коитравариантных, смешанных). Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) при смещении из данной точки в соседнюю обусловлено лишь свойствами этого инварианта иначе обстоит дело с компонентами, так как их изменения зависят еще от величин и направлений базисных векторов. Пусть, например, контравариантные компоненты а вектора а не зависят от координат q , их частные производные по этим переменным — нули, но было бы ошибкой считать, что остается неизменным и вектор а. Верно и обратное при постоянном векторе а его компоненты а или as не сохраняют постоянных значений. Задачей последующего является введение таких характеристик изменяемости векторов и тензоров, в которых учитывались бы изменения как самих этих величин, так и координатного базиса, к которому они отнесены. Это достигается введением операции ковариантного (или абсолютного) дифференцирования. [c.880]

Va — поверхностная коварнантная производная. е — базисные векторы на поверхности S. и = Иае + wn— трехмерный вектор перемещений базисной поверхности. [c.277]

Определим две конвективные производные относительно ла-гранжевой системы координат тензора второго ранга h, представленного разложениями по материальным текущим базисным векторам [c.29]

Векторы образуют непрерыв-ну19 область переменных базисных векторов для всей конфигурации Р . С точки зрения векторной алгебры, не касаясь векторного анализа, можно заключить, что любая система из трех линейно независимых векторов дг может быть выбрана за базис и при этом совсем не обязатель- Рис. 2.1. Определение положения но знать, каким производным они точки Р с помощью декартовых равны. Может встретиться част- криволинейных координат [c.11]

Не так обстоит дело с компонентами материальной производной при лагранжевом рписании, поскольку базисные векторы лагранжевой системы координат зависят от времени. Кроме того, в силу независимости лагранжевых переменных t,4 Г здесь [c.47]

Вейнгартена). Здесь Ga — символы Кристофеля 2-го рода на поверхности, ba i — коэффициенты 2-й квадратичной формы. Получим первую группу деривационных формул Гаусса. Рассмотрим вторые производные радиус-вектора г по криволинейным коорди натам в данной точке. Каждый из этих векторов можно разложит , по векторам Гг, п, т. е. по двум касательным векторам Гз данной точке и по единичному нормальному вектору п. Действительно, дифференцируя базисные векторы г относительно коордн. нат получим ra =(5r/og Эти векторы уже не принадлежат поверхности. Поэтому их можно представить в виде Ta = Ga Га+ аэГ , Если умножить обе части равенства (1.51) на п и учесть перпендикулярность п к и Гг, то получим, ЧТО 6a совпадает с коэффициен-тами второй квадратичной формы (см. формулу (1.50) ba —(г р п). Если умножить обе части формулы (1.51) на и учесть равенства (п-г )=0, то получим (ra -r ") =Ga - Таким образом, доказана справедливость формулы (1.51). [c.29]

Иногда тензор может наиболее просто и естественно представляться в смешанном диадном базисе, когда векторы диады принадлежат различным базисным системам, и в этом случае компоненты тензора имеют индексы различных классов. Так, градиент деформации наиболее просто п естественно представляется (просто частной производной) в диадпом базисе, левый множитель которого есть иространственный базисный вектор, а правый — отсчетный. Это естественное представление тензора градиента деформации влияет затем па координатную запись полярного разложения и, таким образом, на все координатное оформление теории конечных деформаций. Термин естественное нредставление тензора (см. [ ]) широко используется в настоящей работе. [c.519]

Здесь запятая означает частную производную по Xi (например, = dzitdx -, Ui m = dui/dx ), а o, — символ Кронекера. Векторы Gm касательны к деформированным (конвективным) координатным линиям х . Заметим, что функция (б + г т) переводит начальные касательные базисные векторы ij в касательные векторы Gm в С. Функции [c.17]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...