Что такое Г-интегрирование и Г-вычет

Так как путь интегрирования охватывает здесь линию между точками разветвления, то непосредственное применение теории вычетов оказывается невозможным. Однако его можно рассматривать как путь, окружающий точку оо, и в соответствии с этим нужно будет изменить направление интегрирования на противоположное (т. е. по ходу часовой стрелки) ). Интегрируемая функция будет тогда однозначной функцией, заданной в области вне контура, охватывающего точки г и Гг, и мы сможем применить теорию вычетов. В этой области будут лишь две особые [c.331]

С помощью вычетов можно вычислять некоторые вещественные интегралы. Основная идея таких вычислений состоит в выходе в комплексную плоскость, т. е. в переходе от вычисления вещественного интеграла к вычислению комплексного интеграла. Такой переход осуществляется всякий раз конкретно в зависимости от вида подынтегральной функции и отрезка интегрирования. [c.108]

Пусть PQ — корень уравнения (90.18), имеющий наименьшую по абсолютной величине вещественную часть (Re pQ < 0). Тогда в формуле обращения преобразования Лапласа (90.11) мы можем сместить контур интегрирования с прямой Re / = а так, чтобы он обходил точку /70, а остальные вертикальные участки проходили бы по прямой Re /7 = —А, А Re ра (рис. ПО). Тогда интегралы по горизонтальным участкам уничтожаются, при больших временах интегралы по вертикальным участкам будут экспоненциально малы е , и в интеграле основной вклад даст вычет в полюсе pQ. Таким образом, потенциал (p t) при больших временах будет пропорционален = gi Re/>o g 1га/>о л мнимая часть pQ дает частоту плазменной волны й>о, а ее вещественная часть — коэффициент затухания у. [c.502]

Что такое Г-интегрирование и Г-вычет [c.351]

Указанную расходимость инвариантного интеграла на фронте трещины должен иметь в виду также вычислитель при компьютерном моделировании задач механики разрушения. Полезно знать некоторые достаточные условия, гарантирующие правильность вычисленной величины Г-вычета. На основании следствий А и Б в качестве таких условий можно взять следующие два (а) поверхность интегрирования в Г-вычете представляет собой криволинейный тор малого радиуса с осью вдоль фронта трещины (б) подынтегральное выражение в Г-интеграле имеет порядок 0 1/г) при приближении к фронту трещины. Эти условия были впервые предложены в работе [1]. [c.361]

Рассмотрим, например, поле смещений в области х > а. Исходя из требований, чтобы в каждом сечении х = с, с > а волновое поле представляло систему уходящих на бесконечность распространяющихся волн и набор экспоненциально убывающих с ростом х неоднородных волн, контур интегрирования в плоскости следует выбрать так, как указано на рис. 97. Используя теорию вычетов, получаем [c.244]

Далее формулы (11.41) используются для решения задачи в пространстве изображений. Полученные при этом выражения (вследствие громоздкости они здесь не приводятся) обращаются затем с помощью теории вычетов и контурного интегрирования. Вычисления проведены для Оее , п = 0, 1,2, в случае ступенчатой волны. На рис. 11.7, 11.8 показано вычисленное таким образом кольцевое напряжение 009 на поверхности отверстия в точках 9 = 0 и 9 = л/2, отнесенное к о. Как видно из рис. 11.7, 11.8, в случае динамического нагружения коэффициент концентрации выше, чем в статическом случае. Отметим, что вычисленные три формы колебаний достаточно достоверно описывают напряженное состояние контура отверстия лишь тогда, когда фронт падающей волны покинул отверстие. Для более ранних моментов времени этих форм недостаточно. [c.275]

Деформируя путь интегрирования наверх так, чтобы он охватил разрез и вычисляя вычеты подынтегральной функции и интегралы по противоположным сторонам разреза, мы используем то обстоятельство, что если на нижней (левой) стороне разреза величина v имеет некоторое положительное значение (г >0), то в соответствующей точке на противоположной стороне разреза ее значение есть —Используя соотношения обхода для функций Ханкеля [c.72]

Для дальнейшего изложения деформируем пути интегрирования по в уравнениях (2.20) и (2.22) так, чтобы они обходили снизу точки = s, в которых U( s) равняется вещественным собственным значениям s, а в уравнении (2.23) опустим контур интегрирования по s на фиксированное расстояние под вещественную ось с подъемами оттуда по краям вертикальных разрезов к точкам 5 = /7(0), U z), /7(g), U h) и обходом вокруг этих точек по окружностям радиусами порядка /t, нигде не приближающимся к собственным значениям ближе, чем на половину радиуса. Тогда при t- oo интегралы по горизонтальным частям контура экспоненциально затухают, а по окружностям и вертикальным отрезкам остаются ограниченными, и нужно лишь добавить сумму вычетов в полюсах между старым и новым контурами интегрирования — в тех точках s, которые являются собственными значениями. В простом полюсе вычет пропорционален G (г, g, s) у в /г-кратном —[G (г, s) . Эти вычеты выделяют из уравнения (2.22) волновые решения, которые только и могут создать неограниченный рост l)(z, /), что и доказывает теорему Дикого. [c.84]

Из сравнения обоих приемов видно, что даже для такого простого примера первый комбинированный способ (когда мы воспользовались из операторного исчисления только второй теоремой разложения для нахождения yst и двух постоянных l и Са) удобнее и проще ведет к цели, чем классический операторный. Удобство это состоит в том, что мы, определяя каждую постоянную интегрирования отдельно, тем самым избежали необходимости решения системы уравнений, чего нельзя избежать при определении вычетов. Для системы второго порядка это, вообще говоря, не составляет очень серьезных затруднений, но дело меняется при повышении порядка дифференциальных уравнений. [c.86]

Л (р) можно вычислить обычным способом, полагая г = ехр ( ф), когда путь интегрирования становится окружностью единичного радиуса и необходимо только найти вычеты окруженных полюсов. Таким образом, получим [c.538]

Такой переход оказывается целесообразным, поскольку контур интегрирования теперь можно замкнуть на бесконечности и использовать для вычисления интеграла метод вычетов. [c.245]

Вычислим теперь интегралы по д в (2.8) 11о р, д) имеет полюсы щш д= д1- (к1 —р У , Ф д, / ) — при д = д = = 1/71. Полюс в точках д = д1 лежит на вещественной оси и при интегрировании должен быть обойден таким образом, чтобы функции Грина содержали волны, расходящиеся от источника. Это означает, что точку д = д нужно обходить снизу, = — [1 — сверху. При х>Хо интегралы по д можно замкнуть в верхнюю полуплоскость, и они сводятся к вычетам в точках д == д1,2, при а < О интегралы замыкаются вниз и сводятся к вычетам в точках д = — д1,2. В результате получаем [c.170]

Нижний предел интегрирования мы можем заменить на —оо, так как во всяком случае х > кТ. Теперь можно замкнуть контур интегрирования полуокружностью в верхней полуплоскости и вычислить интеграл, взяв вычеты в полюсах второго порядка г= г (/г + /г) п = 0, 1, 2,. . .. Вводя новую переменную г/= г—I ( г+ /г) и полагая сЬ г = 1 (— 1) у, получаем [c.323]

При исследовании волн для больших значений у мы преобразовали первоначальный контур интегрирования Г в контур Г так, что полюсы —ai, —Ы стали находиться вне области, ограниченной контуром Г но мы могли бы преобразовать контур Г в такой контур Г, что не только полюсы — ai, —Ы оказались бы вне области, ограниченной этим контуром, но и все полюсы (18) 8. Вычеты от этих последних полюсов дают волновые возвышения, сходящие на пет при у, стремящемся к бесконечности. Выражение потенциа- [c.426]

Путь интегрирования можно преобразовать так, что части его (— сю, —1) П (1, оо) останутся без изменения, а отрезок [—1, 1] преобразуется в прямые (—1, —1 — ooi), (1 — ooi, 1) и разрез (— ooi, — Zgi). Интегралы по этим прямым убывают обратно пропорционально и значение интеграла будет определяться вычетами подынтегральной функции относительно полюсов, которые пересекаются начальным путем интегрирования при его преобразовании в указанные выше части. [c.793]

Интеграл (9,68) может быть вычислен элементарными методами, однако особенно быстро и изящно это можно сделать с помощью теории вычетов, что было впервые проделано Зоммер-фельдом. Рассмотрим в общих чертах этот способ. Прежде всего заметим, что Е следует считать отрицательным, так как только тогда движение рассматриваемой точки будет ограниченным (см. 3.3). Далее, так как интегрируемая функция равна здесь Рг = тг, то пределы изменения г определяются корнями выражения, стоящего под знаком радикала. Пусть ri — меньший из этих корней, а Гг — больший (см. рис. 24). Тогда полный цикл изменения г будет состоять из двух частей сначала г будет увеличиваться от значения Гх до значения Гг, а затем будет вновь уменьшаться до первоначального значения Гь В первой фазе этого изменения рг будет положительным, и радикал (9.68) Нужно будет брать со знаком плюс, а во второй фазе, когда рг отрицательно, его нужно будет брать со знаком минус. Следовательно, нам нужно будет произвести интегрирование двузначной функции, двигаясь на участке от ri до по одной ветви, а на участке от Г2 до Г — по другой. Так как точками разветвления этой функции являются точки гх и Г2, то комплексную плоскость этой функции можно рассматривать как один из листов римановой поверхности, разрезанной вдоль вещественной оси на участке от Г1 до Г2, как показано на рис. 65. [c.330]

В формуле (13.10) первое слагаемое учитывает влияние переходных процессов. Проведение оценок (13.10) исключает необходимость интегрирования системы дифференциальных уравнений движения, отыскания всех корней характеристического уравнения и вычетов относительно полюсов подыинтегральных функций. Все вычисления выполняются в компактной форме с использованием аппарата матриц. Проведение уточненных оценок требует разбиения периода Т на несколько участков, для которых определяются коэффициенты /л , ni Нетрудно видеть, что при такой форме записи решения вопрос об экстремальных значениях характеристик решается весьма просто. [c.96]

Как видно, Г-интегрирование по определению сохраняет инвариантность и закон сохранения в особой точке, так как Г-вычет не зависит от формы и размеров замкнутого контура (поверхности) интегрирования, охватывающего эту точку. Докажем единственность Г-интегрирования, т. е. однозначность Г-вычета для всех возможных малых замкнутых контуров (поверхностей) интегрировання, охватывающих особую точку. По существу, однозначность Г-интегрирования является следствием закона сохранения энергии и единственности рассматриваемого сингулярного решения. Действительно, для одного и того же сингулярного решения нарушение однозначности Г-интегрирования означало бы нарушение закона сохранения энергии. [c.359]

Формула (10 34) показывает, что wA w), а значит и wA w)e- , является производной по w от функции, выражаемой через X w) и граничные условия. Следовательно, при помощи комплексных формул Грина вклад от непрерывного спектра можно преобразовать в интеграл по границе. Подынтегральное выражение является аналитической функцией вне Я и может быть аналитически продолжено в Я указанным выше способом, если граничное условие Z w) аналитически продол-жимо в Я. Таким образом, аналитическое продолжение возможно при соответствующих граничных условиях. Однако, сдвигая путь интегрирования, мы включаем вклады вычетов от нулей аналитически продолженного дисперсиониого соотношения. Следовательно, даже когда уравнение (111) не имеет решения, основной вклад в последнее может появиться от дискретной собственной функции . [c.370]

Выбор пути интегрирования в комплексной -плоскости, как было указано ранее, зависит от граничных условий, налагаемых на функцию Грина. Так же как g не является единственно возможной, если точно не определены граничные условия, так и Н ( ) и, следовательно, /г ( ) не являются единственными, если, как это продемонстрировал графически (фиг. 2.3) Зиберт, область сходимости точно не определена. При сохранении полюсов слева от мнимой оси, как мы это делали выше, в соответствии с леммой Джордана и теорией вычетов получаем, что Л ( ) = О, < О для бесконечного полукруглого огибания правой половины плоскости. Форма к ( ) для >0 определяется полюсами, охватываемыми бесконечной линией, окружающей левую половину плоскости. [c.35]

Условие о(г/)=0 при у<0 будет выполнено, если а(р) является аналитической функцией комплексного переменного в пижней полуплоскости Im р< 0. Действительно, дополним при у <0 интеграл (6.2) интегралом по кругу бесконечно большого радиуса в нижней полуплоскости р. Значение такого интеграла, очевидно, равно нулю, так как подынтегральная функция убывает пропорционально ехр (—р" г/1). В то же время интеграл по замкнутому контуру от аналитической внутри контура функции равен нулю по теореме о вычетах. Мы приходим к выводу о том, что а р) = = К- р), где iT (p) — аналитическая функция при Im р < О, ограниченная при р- °о. Подставим теперь разложение (6.2) в (6.1) и выполним интегрирование по у от — до используя разложение Фурье Oi iy — y ), даваемое формулой (2.16) с = 1. Получаем [c.208]

Анализ интеграла (40.5) производится в точности таким же образом, как в 36, Путь интегрирования Ti преобразовывается в Гз (рис. 36.2), а последний в свою очередь оттягивается на бесконечность и переходит в путь Г . Б результате интеграл сводится к сумме вычетов подынтегрального выраше-яия в полюсах, определяемых уравнением [c.250]

Разрез выбираем вдоль отрицательной действительной полуоси. Контур интегрирования можно деформировать так, чтобы он состоял из окружностей, проведенных около полюсов, и обходил линию разреза, как показано на фиг. 107. Интеграл по контуру вокруг линии разреза дает медленно меняющуюся функцию от е, так что мы можем его не рассматривать. Интегралы по окружностям вокруг полюсов, определяемые вычетами в полюсах, дают осциллирующую функцию от е. Ф и г. 107 Полагая РцдЯ = Ил -Ь 2, имеем [c.322]

Интеграл (35,16) можно вычислить с учетом того, что т предполагается большим (т l/feuj-, 1/y). Для этого смещаем в нижнюю полуплоскость комплексной переменной ш контур интегрирования, зацепляющийся при этом за полюсы подынтегрального выражения. Эти полюсы расположены в нулях функций е, и в точке ш = — Aiu—/О. Первые из них имеют отличные от нуля отрицательные мнимые части (—7( 1) или —и вклады от них в интеграл (вычеты в полюсах) затухают с увеличением т как e-vt. Незатухающий же вклад возникает только от вещественного полюса io = — k v— 0. Таким образом, получим [c.180]

При к О все особые точки функции /(К) оказываются вие контура интегрирования С1- -С2- -Сз- - 4, откуда 2Кез (К)=0. Если же а<0, то в точке У=сау 0 /2 существует простой полюс с вычетом, отличным от нуля. Таким образом, вид решений зависит от знака а. [c.17]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...