Вычисление вещественных интегралов

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ [c.108]

С помощью вычетов можно вычислять некоторые вещественные интегралы. Основная идея таких вычислений состоит в выходе в комплексную плоскость, т. е. в переходе от вычисления вещественного интеграла к вычислению комплексного интеграла. Такой переход осуществляется всякий раз конкретно в зависимости от вида подынтегральной функции и отрезка интегрирования. [c.108]

Выражения (2.3) являются формальным решением задачи, а для получения фактического решения следует указать способ вычисления несобственных интегралов. Функции, входяш,ие в интегралы (2.3), имеют особенности на вещественной оси в точках, где F ( ) = 0. Это равенство является дисперсионным уравнением Рэлея — Лэмба и подробно исследовалось в главе 4. Легко проверить, что подынтегральные функции в выражениях (2.3) являются четными по а и р и, следовательно, не имеют точек ветвления. [c.247]

Формулы смещения вещественных волновых чисел в комплексные области в совокупности с методикой вычисления двойных интегралов для функции из (21) при замене (22) для трехмерных задач В описаны в [5,11,12]. [c.339]

Здесь K t) — известная матрица-функция размерности 2x2, элементы которой регулярны всюду на вещественной оси за исключением конечного числа полюсов, и поэтому при вычислении соответствующих интегралов обход контура L должен быть согласован с условиями излучения. Вектор-столбцы q ж и своими компонентами имеют касательное напряжение и плотность зарядов под электродом и сдвиговое смещение штампа и его потенциал, соответственно. [c.588]

Сущность методов вычисления интегралов, основанных на применении теоремы о вычетах, состоит в следующем. Пусть требуется вычислить интеграл от действительной функции fix.) по какому-либо (конечному или бесконечному) отрезку [я, Ь оси . Дополним отрезок некоторой кривой С, которая вместе с отрезком а, Ь] составит замкнутый контур С, ограничивающий некоторую область G, и возьмем некоторую вспомогательную функцию /(г), аналитическую в области G, кроме конечного числа особых точек, причем такую, чтобы на отрезке я, 1 значения вспомогательной функции были равны значениям интегрируемой функции вещественного переменного. К вспомогательной функции применим теорему [c.200]

В связи с наличием экспоненциально убывающего множителя в интеграле в бесконечных пределах его вычисление может оказаться проще, чем вычисление исходного интеграла вдоль вещественной оси. Окончательно для вычисления смещений при х > О имеем следующее равенство [c.85]

В связи с изложенным способом вычисления Im х, К) следует обратить внимание на следуюш,ее. Хотя из определения функции / (I) очевидно, что она не имеет особенностей на вещественной оси, функция tj) (I) в (3.11) может иметь такие особенности. Формально это приводит к появлению в интегралах (3.12) некоторых дополнительных полюсов на вещественной оси. Однако в общем случае можно показать, что соответствующие вычеты не дают вклада в мнимую часть величины х, h). [c.257]

Корни уравнения (16.37) называются точками стационарной фазы. Если таких точек на контуре несколько, то интеграл (16.35) приближенно равен сумме интегралов (16.40), взятых около всех таких точек. Вообще говоря, применение этого метода вычисления интегралов с большим параметром в фазе (так называемого метода стационарной фазы) требует предварительной деформации контура интегрирования, так чтобы он проходил через все точки hs, притом в направлении, в котором ( (/г) меняется быстрее, чем в соседних направлениях. В нашей задаче это имеет место уже для первоначального контура — точка h = hs лежит на вещественной оси, и именно вдоль вещественной оси ф(А) меняется быстрее всего. [c.167]

При этом появляется возможность для вычисления интегралов типа (5.8) использовать явные выражения (1.7.14) для старших векторов неприводимых представлений компактных групп и (1.6.18) для инвариантной меры или соответственно, (1.7.15) и (1.6.20) — для случая естественных вещественных форм. [c.105]

Подчеркнем еще раз, что функции и D (и. следовательно, 0 ° и должны удовлетворять граничным условиям (3.21) или эквивалентным им дисперсионным соотношениям (4.10). (Естественно, речь идет здесь, как и в 9, о граничных условиях по переменной ( = Хд—л . ) Условие (3.21) можно сформулировать как условие периодичности по мнимой температуре и соответственно разлагать искомые функции в ряды Фурье [26], [27]. Нам представляется более удобным пользоваться непосредственно дисперсионными соотношениями (аналогичная методика используется в квантовой теории поля [19]). Это позволяет, разлагать искомые функции в интегралы (а не ряды) Фурье по частотам. Так делалось, например, в 9 при построении функций Грина из решений эффективного волнового уравнения. Иногда оказывается вообще достаточным определять из уравнений Дайсона только мнимую часть соответствующей функции Грина, восстанавливая затем вещественную часть непосредственно по дисперсионным соотношениям. Заметим в связи с этим, что, как мы видели в 4, именно мнимые части функций Грина и нужно знать для вычисления спектральных функций и всех связанных с ними характеристик системы. Поэтому в некото- [c.92]

Будем вычислять только поверхностные смеш ения (z == 0). Для вычисления объединенных интегралов (3.40) при 2 = 0 рассмотрим их в комплексной плоскости волнового числа к. В этой плоскости подынтегральные функции имеют точки ветвления к = и к kz, определяемые из условий = О, аг = О, и простые полюса f = кц, соответствующие простым корням уравнения A4 = О (кд — волновое число поверхностной рэлеевской волны, распространяющейся в направлении оси X в рассматриваемом кристалле). Образуем из четырех листов комплексной плоскости к четырехлистную поверхность Римана, проведя разрезы от точек f i, к , как это было сделано для вычисления поверхностных смещений в разд. 1 второй части (см. рис. 2.3). Путь интегрирования в объединенных интегралах (3.40) должен проходить по вещественной оси того листа поверхности Римана, на котором знаки радикалов и аг соответствуют решению, ограниченному во всем полупространстве z -<0. Производя операции, аналогичные изложенным в разд. 1 второй части, сведем объединенные интегралы (3.40) к вычетам в точках к = zb кц, к интегралам по берегам разрезов и по положительной или отрицательной мнимой полуоси (в зависимости от знака х). [c.188]

Для вычисления написанных интегралов рассмотрим их в комплексной плоскости к. Особенностями подынтегральных функций в плоскости к являются простые полюса, определяемые условиями равенства нулю определителей As и Ад. Каждый из вещественных корней уравнений As = О, Ад =0 определяет волновое число возбуждаемой симметричной или антисимметричной волны Лэмба. Поскольку приемники ультразвуковых волн Лэмба реагируют обычно на поверхностные смещения слоя (пластинки), ограничимся нахождением выражений только для поверхностных z = d) смегцений W - [c.100]

Тогда полюс в комплексной плоскости Vx, Vx = ip/q, при малых значениях q будет весьма близок к вещественной оси. Будем обходить полюс в интеграле (90.18) по малой полуокружности (см. рис 111, б). В пределе Re 0 интеграл по прямолинейным участкам будет вещественным и приближенно равным, как и в предыдущем вычислении, Ажпе 1тр . Интеграл же по полуокружности равен произведению на вычет подынтегральной функции в полюсе Vx = ipiq. Имеем поэтому уравнение [c.503]

Здесь V —бесконечная область и Im fe < 0. Таким образом, для вычисления L u) надо положить k комплексным (lmfe<0), записать L u) без поверхностного интеграла и распространить V до бесконечности. Вычислив интеграл по V, следует затем опять положить k вещественным. Ниже, вводя функционалы для внешних задач, мы вообще не будем включать в них поверхностные интегралы типа последнего слагаемого в (15.14а) и писать функционалы в форме ИтЬд(ы), а будем счи- [c.153]

Для того чтобы с помощью замены переменной интегрирования интеграл (1) можно было представить в виде одного или нескольких интегралов типа (5), необходимо, чтобы путь интегрирования в (1) состоял из отрезков, вдоль которых мнимая часть / (г) остается постоянной, а вещественная монотонно убывает до —оо. Если путь интегрирования не удовлетворяет этому требованию. его необходимо соответствующим образом деформировать. Такая процедура подчиняется, конечно, основным законам интегрирования в комплексной плоскости здесь будет только показано, каким образом можно замкн аь путь интегрирования с помощью отрезков, обладающих требуемыми свойствами, если предположить, что вычисление любого остающегося контурного интеграла можно провести обычным способом. [c.689]

В получающихся интегралах Q/ путь интефирования можно совместить с вещественной осью, от чего, конечно, значения Ql ие изменятся. Перейдем к их вычислению. Как мы видели в п. 12.1, о = + + у )- / ехр 1(м + и ) / ]. При и = О и любом I иитефалы Ql являются табличными (240, гл. 11]. Они выражаются через функции Ханкеля [c.265]

При получении этих соотношений использовано свойство четности функций С (т) и В (т), вытекающее из общих свойств интегралов Фурье, представляющих четные функции. Здесь М — число тех корней X , для которых выражение а, в уравнении (2.123) еще является вещественным. В соответствии со смыслом выражения (2.123) можно сказать, что М — это число распространяющихся при данной частоте мод в цилиндрическом волноводе радиусом г, с жесткими стенками. Величина q определяется так же, как и в уравнении (2.125), с 3aMei oii в выражении для q величины а на величину т, а при вычислении значений Ya в выражении (2.124) следует заменить т на а. [c.100]

Вычисление сумм по дискретным частотам в (4.35), конечно, не может быть выполнено буквально, поскольку вершинная часть r( oi, I O2, Ш34 i(On) не задана явно, однако, с помощью знания аналитических свойств этой функции путем перехода от суммирования к интегрированию по формуле (4.24) можно выразить искомую тройную сумму в виде интегралов от скачков функции Г но каждому из ее аргументов. В результате удается осуществить аналитическое продолжение от дискретной мнимой частоты Шп на вещественную ось со. Не производя всех довольно длинных вычислений, наметим лишь основные этапы расчета. Итак, необходимо вычислить тройной контурный интеграл [c.53]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...