Прямые и плоскости в пространстве

Перечислите возможные частные случаи расположения прямых и плоскостей в пространстве и укажите особенности их изображения на комплексном чертеже. [c.80]

При решении метрических задач часто приходится строить на комплексном чертеже проекции нормали к плоскости. Это требует установления признаков, по которым можно было бы судить по чертежу о перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве, и, наоборот, строить на чертеже прямые и плоскости, перпендикулярные в пространстве. [c.114]

ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ [c.12]

Прямые и плоскости в пространстве [c.485]

Условимся обозначать точки, прямые и плоскости в пространстве теми же буквами, которыми обозначены их изображения, но с добавлением знака штрих . Заметим также, что всюду, где не сделано соответствующей оговорки, предполагается произвольная центральная проекция. [c.131]

Отсюда ясно, что положение точки, прямой и плоскости в пространстве вполне определяется, если заданы [c.299]

Известно, что эти свойства могут быть выражены при помощи системы аксиом и предложений, которые устанавливают зависимости и отношения между элементами пространства. Точки, прямые и плоскости евклидова пространства находятся в определенном взаимоотношении, которое может быть обозначено словом принадлежность или инцидентность. Термин инцидентность заменяет такие понятия, как лежать на , проходить через . Вместо выражений точка А лежит на плоскости а , прямая а проходит через точку В можно употреблять выражения точка А инцидентна (принадлежит) плоскости а , точка В инцидентна (принадлежит) прямой а . В символической форме эти выражения можно записать А е а В а. [c.13]

Рассмотрим случаи взаимного положения прямой/Линии и плоскости. Взаимное положение прямой линии и плоскости в пространстве может быть следующим а) прямая лежит в плоскости, б) прямая пересекает плоскость, в) прямая, параллельна плоскости. [c.84]

С. Точка, прямая линия и плоскость в пространстве [c.144]

Прямая линия, занимая в пространстве общее положение, наклонена к плоскостям проекций под некоторыми произвольными углами. Угол между прямой и плоскостью определяется углом, составленным прямой [c.36]

Положение геометрической фигуры или ее элементов относительно плоскостей проекций характеризуется также углами, составленными фигурой с плоскостями проекций или с осями координат. В трехмерном пространстве к таким фигурам относятся прямые и плоскости. [c.157]

Теоретической предпосылкой для построения на эпюре Монжа проекций прямых и плоскостей, перпендикулярных по отношению друг к другу в пространстве, служит отмеченное раньше (см. 6) свойство [c.174]

Центральные проекции Ьр и Ср двух различных точек В и С в пространстве, которые располагаются на одной проецирующей прямой, совпадают. Все множество точек пространства, принадлежащих одной проецирующей прямой, имеет при одном центре проецирования одну центральную проекцию на заданной плоскости проекций. [c.6]

Точки в четвертях и октантах пространства. Необходимость использования четвертей и октантов пространства возникает при решении некоторых задач, например при нахождении проекций точки пересечения прямых или прямой и плоскости, которые пересекаются за пределами первого октанта. Плоскости V ж Н [c.15]

Положение плоскости в пространстве определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой, прямой и точкой, взятой вне прямой, двумя пересекающимися прямыми и двумя параллельными прямыми. Соответственно плоскость на чертеже (рис. 3.1) может быть задана проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (а), прямой и точки, взятой вне прямой (б), двух пересекающихся прямых (в), двух параллельных прямых (г). Проекции любой плоской фигуры также могут служить заданием плоскости на чертеже, например на рисунке 3.6 дано изображение плоскости проекциями треугольника. [c.30]

Гомотетия и подобие. Гомотетия — преобразование, при котором каждой точке М (плоскости или пространства) ставится в соответствие точка М, лежащая на ОМ (рис. 5.16), причем отношение ОМ. ОМ= X одно и то же для всех точек, отличных от О. Фиксированная точка О называется центром гомотетии. Отношение ОЛТ считают положительным, если М и Л/лежат по одну сторону от О, отрицательным — по разные стороны. Число X называют коэффициентом гомотетии. При Я.< О гомотетию называют обратной. При = —1 гомотетия превращается в преобразование симметрии относительно точки О. При гомотетии прямая переходит в прямую, сохраняется параллельность прямых и плоскостей, сохраняются углы (линейные и двугранные), каждая фигура переходит в ей подобную (рис. 5.17). [c.68]

Для решения пространственных задач бывает полезно произвести преобразование пространства в себя. При этом пространство рассматривается как множество точек прямых и плоскостей. Чаще других в начертательной геометрии применяют родственное преобразование пространства в себя . Оно имеет много аналогий с преобразованием родства на плоскости, когда точечное поле П преобразуется в соответственное поле П той же плоскости. [c.48]

В случае родственного преобразования пространства вместо оси родства как геометрического места двойных точек будем иметь плоскость родства Но (рис. 48). Каждая точка А пространства преобразуется в определенную точку А того же пространства и обратно. Пары соответственных точек лежат на параллельных прямых АА ВВ СС . ..). Прямая линия т преобразуется в прямую т, причем обе прямые пересекаются на плоскости родства в своей двойной точке В . Каждая плоскость преобразуется в новую плоскость, причем обе родственные плоскости пересекаются по прямой которая является двойной прямой и лежит в плоскости родства. Так как родственное соответствие определяет параллельное проектирование расположенные на соответствен- [c.48]

Решение многих метрических задач требует построения перпендикулярных прямых и плоскостей. Поэтому необходимо установить те соотношения, по которым строят на комплексном чертеже проекции прямых и плоскостей, перпендикулярных друг другу в пространстве. [c.107]

Понятие подобия физических процессов в качестве составной части включает геометрическое подобие, хорошо известное из элементарной геометрии например, преобразование подобия в пространстве переводит прямые в прямые, плоскости в плоскости, сохраняет углы между прямыми и плоскостями. Пусть физический процесс происходит в области, представляющей собой прямоугольный параллелепипед (тело 1) с размерами Оь 1 и С1 (рис. 14.3). Подобный ему параллелепипед (тело 2) с размерами Яг, 2 н 2 получим, если изменим все три размера в одном и том же отношении [c.329]

Следами перпендикулярных плоскостей будут прямые ZjZ и Z Z, проведенные через точки Z и Z перпендикулярно к проекциям Яз и //j указанных векторов. Точка Z пересечения следов плоскостей Я1 и Ла определяет след кратчайшего расстояния. Известно, что если прямая А перпендикулярна в пространстве к плоскости я, то ее проекция А должна быть перпендикулярна к следу Z Z этой плоскости. Проводя через точку Z прямую, перпендикулярную к следу я, найдем в пересечении с Н и величину искомого отрезка А. Аналитически кратчайшее расстояние определяется уравнением (19) [c.164]

Под пространством Лобачевского в собственном смысле слова понимают область, находящуюся внутри абсолюта точки этой области называют собственными точками пространства Лобачевского, а прямые и плоскости, пересекающиеся с абсолютом,— собственными прямыми и плоскостями. Пространство Лобачевского вместе с абсолютом и областью, находящейся вне его, называют расширенным пространством Лобачевского, точки последней области — идеальными точками пространства Лобачевского, а прямые и плоскости, не пересекающиеся с абсолютом,— идеальными прямыми и плоскостями. [c.344]

Положение плоскости в пространстве можно определить 1) тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 53) 2) прямой и точкой вне ее (рис. 54) 3) двумя пересекающимися прямыми (рис. 55) 4) двумя параллельными прямыми (рис. 56). [c.35]

По.льзуя ь ур-иями прямой, можно легко решать различные задачи, относящиеся к поло-гьемию прямых и плоскостей в пространстве. [c.368]

Задача. На 1ти условия перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве по их перспективному изображе-ггию. [c.50]

В трехмерном пространстве рассматривают параллельность двух прямых (п. 2.1.3), прямой и плоскости (п, 4.2.2.1), двух плоскостей (п, 4.4.1.1). Спрашивается почему не говорят о параллельности двух кривых линий или двух поверхностей Объяснение простое две кривые линии, принадлежащие одной поверхности, пере-секаю1х я в точках, которые в общем случае не могут быть все одновременно [c.102]

Для отклонений взаимного расположения конструктивных элементов дайте определение, укажите, чему равны и как опре дел яются его допуск и поле допуска приведите примеры располо5кения подобных конструктивных элементов в реальных деталях или узлах а) отклонения от параллельности прямых, расположенных в общей плоскости и в пространстве 6) отклонение от перпендикулярности двух плоскостей, а также прямой и плоскости для двух случаев базой является плоскость или прямая в) отклонение от параллельности двух плоскостей, прямой относительно плоскости и плоскости относительно прямой г) отклонение наклона плоскости (прямой) относительно плоскости д) отклонение от соосности одного отверстия относительно другого и отклонение нескольких отверстий относительно общей оси [c.79]

Отметим важную особенность центрального проецирования. Пусть оригиналами являются прямые I и которые в пространстве параллельны друг другу (см. рис. 2). Построим проецирующую прямую / , параллельную I и Поскольку прямые I и пересекаются с плоскостью II Л1,- = / П И , м = П П,-, то проецирующая прямая также пересекается с П, в точке КТ- Заметим, что 1° является прямой, по которой пересекаются плоскости Д(5/) и E(S/ ) (см. рис. 2). Следовательно, три плоскости Д, й и П пересекаются в точке КТ = = / П Отсюда следует, что центральные проекции параллельных прямых (на рис. 2 такими прямыми являются I и ) пересекаются. В частном случае прямые I, могут быть одновременно параллельными и плоскости проекций П,. Тогда проецирующая прямая Р не пересекается с плоскостью И , а центральные проекции взаимопараллель-ных пря.мых I и параллельных одновременно и плоскости П , становятся также параллельными. [c.10]

В расширенном евклидовом пространстве (пространстве, дополненном несобственными точками и прямыми) две прямые, прямая и плоскость, две плоскости всегда пересекаются. Различие по сравнению с о()ычным евклидовым пространством состоит лишь в том, что точка пересечения прямых или прямой и плоскости и прямая, являющаяся результатом пересечения двух плоскостей, могут быть как собственными, так и несобственными. В последнем случае прямые, прямая и плоскость, плоскости считаются параллельными. [c.44]

Если точка принадлежит плоскости в пространстве, то проекции этой точки принадлежат соответстауюшим проекциям какой-либо прямой, лежащей в данной плоскости (рис. 42, прямая АВ и принадлежащая ей точка I прямая ВС И принадлежащая ей точка 2). В данном примере и точка М принадлежит плоскости треугольника АБС, т.к. точка М расположена на прямой А 2, лежащей в плоскости треугольника. При этом следует отметить, что плоскость безгранична, поэтому некоторые построения могут выходить за пределы треугольника. [c.44]

Задачи, в которых определяются геометрические величины - длины отрезков, углы, площади, объёмы и т.д. - называются метрическими. При решении метрических задач иногда целесообразно принять то или иное преобразование комплексного чертежа с целью изменения взаимного расположения объекта и плоскостей проекций. Решение многих метрических задач требует построения пеппенпикулярных прямых и плоскостей. Поэтому необходимо установить те соотношешм, по которым строят на комплексном чертеже проекции прямых и плоскостей, перпендикулярных друг другу в пространстве. [c.106]

Для более наглядного исследования задачи воспользуемся в дальнейшем геометрическим методом Рауса (Routh) ). С этой целью изобразим импульсивную реакцию точкой Г с координатами х = Ф , у — Ф , г = М. В том же пространстве, где находится точка Г, отметим два геометрических образа прямую и плоскость. Прямая пусть определяется уравнениями [c.642]

Для задания прямой двумя точками понадобятся четыре параметра на плоскости и шесть в пространстве. Таким образом, на плоскости множество пар точек, задающих прямую, является четырехпараметрическим, а в пространстве — шестипараметрическим. Но пары точек, располагающиеся на параметризуемой прямой, образуют двухпараметрическое множество оо . Переход от одной пары к другой в этом множестве не изменяет положения прямой, поэтому для подсчета параметров, определяющих положение прямой в пространстве, необходимо из общего множества [c.33]

Поле допуска параллельности оси (или прямой) и плоскости - область в пространстве, ограниченная двумя параллельньпяи плоскостями, отстоящими друг от друга на расстоянии, равном допуску параллельности ТРА, и параллельными базовой плоскости (см. чертеж) или базовой оси (прямой) [c.426]

Кристаллографические индексы направлений (и плоскостей) определяют положение в пространстве кристалла семейства параллельных прямых (и плоскостей), проходящих через узлы ПР. Основной характеристикой кристаллографического направления является период идентичности (/и,с,ш) — расстояние между соседними узлами основная характеристика кристаллографической плоскости (точнее, семейства плоскостей) — межплоскостное расстояние (дькс). [c.102]

Изображение предметов с помощью параксиальных лучей строится на положениях солинейного сродства, согласно которому каждому гомоцентрическому пучку лучей и каждой линии в пространстве предметов соответствует определенный гомоцентрический пучок лучей и определенная линия в пространстве изображения. Рассматриваются только центрированные системы, т. е. такие системы, у которых центры преломляющих или отражающих поверхностей лежат на одной прямой, называемой осью оптической системы. Плоскости, перпендикулярной к оптической оси в пространстве предметов, соответствует сопряженная ей плоскость в пространстве изображений, также расположенная перпендикулярно к оптической оси. Если в первой [c.87]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...