Кривые и поверхности второго порядка

КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [c.94]

Плоские кривые пересечения поверхностей второго порядка применяются и при [c.264]

Заметим, что всякая плоская кривая на поверхности второго порядка есть кривая второго порядка, и тогда справедливость данной теоремы непосредственно вытекает из того обстоятельства, в силу которого сумма порядков линий, на которые распадается алгебраическая кривая, равна порядку самой линии. [c.303]

При вращении вокруг оси плоской или пространственной алгебраической кривой и-го порядка образуется алгебраическая поверхность вращения в общем случае 2и-го порядка. Если кривая второго порядка вращается вокруг своей оси, то она образует поверхность второго порядка. [c.172]

Теорема 1. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой линии, то они имеют и вторую плоскую кривую линию пересечения. [c.258]

Линия пересечения двух поверхностей второго порядка может распадаться на прямую и пространственную кривую третьего порядка. [c.263]

Теорема о двойном соприкосновении если две поверхности второго порядка имеют две точки касания, то линия ия пересечения распадается на две кривые второго порядка. [c.76]

Большой теоретический и прикладной интерес представляет четвертый вариант распадения линии пересечения двух поверхностей второго порядка на две кривые второго порядка. Есть ряд известных теорем, относящихся к этому варианту распадения. [c.133]

Аналитическое описание проекции линии пересечения поверхностей второго порядка приведем для случая, представ.пенного на черт. 283, где начало координат О системы xyi совмещено с центром сферы, а плоскостью симметрии служит плоскость xOz. Биквадратная кривая, по которой пересекаются о )ера и цилиндриче- [c.129]

Теорема 1. Если две поверхности а и Р второго порядка (рис. 189) пересекаются по одной плоской кривой (к = аПР), то они пересекаются и ещё по [c.215]

Теорема 2. Если две поверхности второго порядка (рис. 190) имеют касание в двух точках Е и F, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания. [c.216]

Рассмотрим пример (рис. 100). Круговой конус и цилиндр второго порядка имеют общее круговое основание m(mi, m2). Значит, эти поверхности пересекаются по одной плоской кривой. [c.103]

Поскольку поверхности второго порядка являются алгебраическими, то и линия их пересечения есть алгебраическая (в общем случае пространственная) кривая. [c.302]

В данном случае имеем кривую четвертого порядка и известно, что одна ее часть есть кривая второго порядка. Следовательно, и вторая часть тоже будет кривой второго порядка, т. е. плоской кривой. Следствием теоремы 1 может быть следующее предложение если какая-нибудь поверхность второго порядка пересекается со сферой по одной окружности, то она пересечется с нею еще раз по другой окружности. [c.303]

На рис. 364 изображены круговой конус и цилиндр второго порядка, имеющие общее круговое основание К(К1, /Сг). Значит, эти поверхности пересекаются по одной плоской кривой. Вторую кривую пересечения в данном случае найти легко, так как общая плоскость симметрии поверхностей параллельна плоскости проекций Пг, а потому искомая кривая на этой плоскости изобразится одной прямой. [c.303]

Пусть имеются две поверхности и Фг второго порядка, у которых в точках Р, Q Р — общие касательные плоскости. Проведем через указанные точки плоскость. Эта плоскость пересечет поверхности Фх и Фи по кривым 1 и 2 второго порядка. Каждую из касательных плоскостей в точках Р, О, V. Р она пересечет по прямым, касательным к /1 и [c.306]

Эта теорема, так же как и другие о поверхностях второго порядка, включает случаи распадения кривой второго порядка. Так, если конус и цилиндр изображаются на чертеже очерковыми прямыми, то эти прямые тоже следует считать за кривую второго порядка, которая распалась. [c.312]

Сформулируйте и докажите теорему Монжа о пересечении поверхностей второго порядка по двум плоским кривым. [c.312]

Если заставить катиться и вертеться без скольжения по неподвижной плоскости II произвольную поверхность второго порядка с неподвижным центром О, то геометрическим местом точек касания т на неподвижной плоскости будет обобщенная герполодия. Радиус-вектор герполодии, проведенный из основания Р перпендикуляра ОР к плоскости II, и касательная к этой кривой в т будут двумя сопряженными касательными катящейся поверхности. Для того чтобы радиус-вектор Рт не вращался все время в одном направлении или чтобы кривая имела точки возврата, необходимо, чтобы радиус-вектор мог совпадать с касательной. Эти два сопряженных, направления могут совпадать лишь тогда, когда поверхность второго порядка имеет противоположные кривизны, т. е. когда она является однополостным гиперболоидом (Дарбу, там же). [c.201]

Ограничим класс рассматриваемых объектов, считая, что ребрами могут быть отрезки, окружности, эллипсы, гиперболы, параболы и дуги упомянутых кривых, а поверхностями — плоские, сферические, конические и цилиндрические грани. Подавляющее большинство деталей общего машиностроения соответствует введенным ограничениям. Встречающиеся иногда поверхности вращения и каркасные поверхности могут быть аппроксимированы упомянутыми гранями. Ребра, образованные пересечением поверхностей второго порядка и являющиеся пространственными кривыми, аппроксимируются пространственными ломаными. [c.87]

Большинство вариантов пересечения поверхностей реальных деталей относится к частным случаям взаимного расположения поверхностей и осей соосность, параллельность или перпендикулярность. Поверхности второго и четвертого порядков чаще всего пересекаются по прямым линиям или окружностям. Вычисление линий пересечения не вызывает в этих случаях никаких трудностей. Однако встречаются случаи произвольного взаимного расположения поверхностей, порождающие в пересечении кривые второго, четвертого и более высоких порядков. Кривые второго порядка — эллипсы, гиперболы, параболы — возникают при пересечении поверхностей второго порядка плоскостью и в системе координат секущей плоскости вычисляются достаточно просто. [c.95]

Рассмотрим пример нахождения торсовых поверхностей, опирающихся на замкнутый контур. В качестве замкнутой пространственной кривой возьмем алгебраическую кривую четвертого порядка, полученную в результате пересечения двух поверхностей второго порядка, а именно, гиперболического параболоида и цилиндра вращения [c.22]

Случаи пересечения цилиндра с цилиндром, цилиндра с конусом и конуса с конусом по двум плоским кривым. Эти случаи характеризуются теоремой о двойном прикосновении Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания . Заметим, что шары, [c.224]

Чтобы найти эти два положения анастигматических зрачков для кривых второго порядка, обратимся к рис. 14.5, на котором представлены ход главного луча после его преломления на несферической поверхности второго порядка в некоторой точке В с координатами гиг/ нормаль, составляющая угол ф с осью кривой, и касательная, составляющая с осью угол а. [c.247]

Равенство же отношения показателей преломления минус единице обусловливает собой равенство передних и задних фокусных расстояний. Благодаря этому при прохождении главного луча через геометрические фокусы кривой второго порядка имеет место равенство сагиттальных и меридиональных фокусных расстояний вдоль главного луча и, как следствие, отсутствие астигматизма при произвольном положении предметной точки на главном луче. Вместе с тем геометрические фокусы отражательных поверхностей второго порядка являются сопряженными точками, изображаемыми друг другом без возникновения сферической аберрации. [c.444]

Поверхности, образующиеся в виде кривой динии, называют-ся-нелинейчатыми. К этому виду относятся поверхности второго порядка (шаровидные, сфероидальные и т. п.). [c.230]

В качестве примера геометрически ориентировапного алгебраического языка следует назвать язык ФАП-КФ, созданный в Минском институте технической кибернетики АН БССР. Он представляет собой пакет [фограмм на языке ФОРТРАН, расширяющий этот язык геометрическими переменными прямыми линиями и плоскостями, кривыми линиями и поверхностями второго порядка, их комбинациями, а также различными операциями, осуществляемыми с фигурами. [c.29]

Операторы пакета ФАП-КФ представляют собой синтаксически правильные конструкции ФОРТРАНа. Каждый из этих операторов, составляющих расчетную программу, интерпретируется как указание о той или иной геометрической переменной, в качестве которой могут быть взяты числовые значения координат вершин фигуры или их символические идентификаторы, прямые и кривые линии, векторы, плоскости и поверхности второго порядка и т. д. [c.214]

Необходимое и достаточное условие касания двух поверхностей второго гюрядка вдоль кривой второго порядка формулируется теоремой о трех точках соприкосновения если две поверхности второго порядка имеют три точки соприкосновения, то они касаются по кривой второго порядка, проходящей через эти точки. [c.140]

Действительно, при центральном (пар гллельном) проецировании некоторой поверхности второго порядка 01 ибающая проецирующая коническая (цилиндрическая) поверхность касается оригинала вдоль кривой второго порядка. Поэтому проецирующая поверхность в соответствии с теоремой будет поверхностью второго порядка и пересекает плоскость проекций по кривой второго порядка — очерковой линии оригинала на этой плоскости проекций. [c.140]

Линия пересечения двух поверхностей второго порядка является кривой четвертого порядка, т. е. эта кривая пересекается с плоскостью в четырех точках (действительных и мнимых). В частных случаях линия пересечения поверхностей второго порядка может распадаться, причем особый интерес представляет случай ее распадания на пару плоских кривых второго порядка. [c.194]

Поскольку поверхности второго порядка являются алгебраическими, то и линия их пересечения есть алгебраическая кривая. Так как порядок линии пересечения равен произведению порядков поверхностей, то эта линия - кривая четвёртого порядка. В ряде случаев кривая распадается на несколько лишш более низких порядков. Для технических задач важно распадение на две кривые второго порядка, на две плоские кривые. Условия, при которых это возможно, выражены в следующих теоремах. [c.102]

Теорема Сильвестра. Полодию для общего случая движения Пуансо можно определить, как геометрическое место точек, лежащих на нейтральной поверхности второго порядка и обладающих тем свойством, что плоскости, касательные к поверхности в различных точках этой кривой, находятся на постоянном расстоянии от центра поверхности. Поэтому на основании формул (47. 65) и (4 7.G6) на стр. 535 и 536 при обозначениях, принятых в настоящей гллве, мы можем уравнения иолодии наиисать гак [c.551]

Деталь является замкнутым ограниченным точечным множеством. В детали будем различать поверхность — множество граничных точек, и тело — множество внутренних точек, условно объединенное с множеством граничных точек. Поверхность детали состоит из одной или нескольких граней Gj. Гранью является принадлежащий поверхности детали отсек элементарной поверхности — плоскости, поверхности второго порядка, вращения и др. Элементарную поверхность Q,-, котор ойинцидентна грань, называют носителем грани. На носителе Q,- область грани G,- отделяется граничными контурами от остальной поверхности носителя. Граничные контуры граней машиностроительных деталей являются жордановыми кривыми, т. е. кусочно-аналитическими кривыми, не имеющими самопересечений. [c.48]

Геометрический объект является замкнутым точечным множеством. В ГО будем различать поверхность — множество граничных точек, и тело — множество внутренних точек, условно объединенных с множеством граничных точек. Поверхность ГО состоит из одной или нескольких граней G,, которые являются отсеками поверхностей — плоскостей, поверхностей второго порядка, вращения и т. д. Область грани G/ отделяется от остальной поверхности граничными контурами Л/,-, которые представляют собой жордановы кривые, т. е. кусочно-аналитические кривые без самопересечений. Граница грани G, задается ребрами R, проходящими через вершины V геометрического объекта в порядке обхода грани. Поскольку вводимые понятия носят топологический характер, то без потери общности будем в дальнейшем рассматривать произвольные ГО, в которых поверхности аппроксимированы кусочно-линейно. Примитивом, вслед за работой [1281, будем [c.132]

Другим важным вопросом является выбор основного набора геометрических элементов, которыми может оперировать комплекс. В этом вопросе кроется внутреннее противоречие, так как, с одной стороны, должна быть обеспечена возможность программирования обработки любых кривых и поверхностей, а с другой стороны, набор элементов, которыми может оперировать комплекс, не может быть безграничным. Можно предложить в качестве основных элементов линии и поверхности не выше второго порядка, с допущением также некоторых наиболее распространенных поверхностей более высоких порядков, таких, кактор, трубчатые и каналовые поверхности сопряжений, а также табличные кривые и поверхности. Для программирования обработки этих элементов в процессор включаются необходимые подпрограммы. Все остальные кривые и поверхности должны сводиться к таблично-заданным. Для этой цели в языке предусматривается возможность использования универсальных [c.48]

Программы-алгоритмы САП записывают на магнитной ленте или магнитных дисках они включают в себя три основных части транслятор, процессор и постпроцессор. С помощью транслятора осуществляется считывание и расшифровка исходной информации, перевод ее на язык машины. Транслятор ориентирован на определенный тип ЭВМ. Процессор производит необходимые логические действия и организует работу ЭВМ по выполнению необходимых вычислительных опе-)аций, а также контролю и редактированию полученной информации. Ipoue op вырабатывает общее решение и не связан с конкретной ЧПУ. В геометрическую часть процессора входят операторы геометрических описаний и программы геометрических вычислений. В качестве геометрических элементов обычно используют линии и поверхности не выше второго порядка, распространенные поверхности более высокого порядка (торы, трубчатые и каноидные поверхности), а также табличные кривые и поверхности и т. д., для программирования обработки которых и меются подпрограммы. [c.198]

Установив теперь, что у кривых второго порядка условием отсутствия астигматизма для бесконечно удаленной точки является совмещение выходных зрачков с геометрическими фокусами кривых, можно прийти к выводу, что для зеркальных поверхностей второго порядка анастигматичность будет сохраргяться и при произвольном положении предмета. [c.250]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...