ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Преобразование Биркгофа из "Точки либрации в небесной механике и космодинамике " В этой главе изучается устойчивость положений равновесия гамильтоновых систем с одной степенью свободы. Предполагается, что функция Гамильтона Н аналитична относительно координат и импульсов в достаточно малой окрестности положения равновесия (совпадающего с началом координат) и 2я-периодична по независимой переменной — времени Ь. Рассматривается только тот случай, когда линеаризованная система устойчива (так называемый эллиптический случай). [c.52] В случае автономной системы знак ф О (mod 1) в (1.4) надо заменить на знак Ф 0. [c.53] Здесь через I обозначена мнимая единица ( = —1). [c.54] Можно было бы попытаться аналогичным образом при помощи канонической замены переменных уничтожить члены четвертой степени в гамильтониане. Это, однако, не удастся сделать, и в новом гамильтониане останутся некоторые члены, имеюпще вполне определенную структуру. [c.55] Если величины. . , а не удовлетворяют ни одному и резонансных соотношений до четвертого порядка включительно, т. е. [c.55] вообще, для автономной гамильтоновой системы справедливо следующее утверждение. Если частоты колебаний Оу линейной системы не связаны резонансными соотношениями до порядка N включительно, т. е. [c.56] Это утверждение нетрудно доказать методом математической индукции. Отметим, что постоянные коэффициенты многочлена Я (гх. .., г ) не зависят от порядка ЛГ нормализованных членов и от способа приведения функции (1.2) к нормальной форме (1.25) они являются инвариантами гамильтониана (1.2) относительно канонических преобразований [11, 12, 29]. [c.56] Вернуться к основной статье