ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Перестройки каустик из "Особенности каустик и волновых фронтов " Рассмотрим расположение гладкого подмногообразия евклидова пространства по отношению к гиперплоскостям, определённым уравнениями с целыми коэффициентами. Задача получения оценок расстояния от типичной точки типичного подмногообразия до гиперплоскостей, задаваемых уравнениями с ограниченными целыми коэффициентами, изучается в теории диофантовых приближений на подмногообразиях [65], [66]. Эта (нерешённая) задача важна для многих приложений, на пример при изучении резонансов в нелинейных колебаниях (см. [17], глава 4). Ответ зависит от ограничений на кривизну. Уплощение гра ницы способствует резонансному захвату фазы. [c.43] Точные значения чисел Нехорошева в настоящее время вычислены только для типичных систем с двумя и тремя степенями свободы [68]. [c.43] В типичных однопараметрических семействах лагранжевых отображений встречаются нетипичные особенности (при некоторых значениях параметра). При прохождении параметра через такое значение каустика меняет свою форму. В этом параграфе обсуждаются перестройки каустик в типичных семействах в пространствах малой размерности. [c.43] Однако, после первой перестройки (т. е. после образования каустики) лагранжево подмногообразие приобретает некоторые особенности ( слабые разрывы ), так как плотность (и, следовательно, гамильтониан) становится особой на каустике. [c.44] Здесь ( 1. 4) — координаты на пространстве-времени, а — вещественный параметр. [c.45] Перестройки, соответствующие семействам из таблицы, изображены на рис. 21. (Впервые эти рисунки появились в [73] более подробно см. [72], [74].) Параметр а является модулем, следовательно существует непрерывное семейство дифференцируемо неэквивалентных перестроек (в то время как существует только 6 неэквивалентных ростков особенностей типичных больших каустик в четырёхмерном пространстве-времени). [c.45] Изохроны t = onst не пересекают большую каустику, если i 0. При i = О появляется единственная точка каустики, немедленно начинающая расти (бесконечно быстро, с самого первого момента). В момент времени t = е эта каустика имеет серповидную форму, размера порядка у/е. Эта каустика имеет две точки возврата и (для перестройки общего положения) две точки перегиба. Р.Том назвал эту перестройку губами . [c.47] В четырёхмерном пространстве-времени перестройка появления каустики аналогична предыдущей новая каустика имеет вид блюдца с диаметром порядка у/е, глубиной порядка е и толщиной порядка у/ёе. Край этого блюдца — почти эллиптическое ребро возврата (рис. 23). [c.47] Зельдович в [69] называл эти блюдца блинами . Он отождествлял перестройки появления блинов (в потенциальных потоках пылевидной материи) с образованием галактик (или скоплений галактик) из малых неоднородностей начального поля скоростей материи. [c.48] Теория особенностей и перестроек каустик предсказывает образование ячеечной структуры на более поздних этапах. А именно, на поверхностях каустик, образующих стенки ячеек, образуются скопления частиц. Плотность повышается на определенных линиях (линиях особенностей каустик), наибольшая же плотность достигается в некоторых изолированных точках. По-видимому этот общий характер распределения материи совместим с наблюдаемым распределением скоплений галактик ([75], [76], [74]). [c.48] Шандарин сравнил данные наблюдений с теорией ячеечной структуры, используя метод перколяционного параметра. Рассмотрим объединение шаров радиуса г с центрами в данных точках. Мы хотим найти минимальное г такое, что диаметры связных компонент этого объединения сравнимы с диаметром всей системы. Критическое г, оцененное для наблюдаемого распределения галактик, намного меньше значения г для случайного распределения Пуассона, имеющего ту же усреднённую плотность, и также намного меньше значения г для иерархического распределения вокруг случайным образом выбранных центров и имеющего ту же корреляционную функцию, что и наблюдаемое распределение. [c.48] Это показывает, что наблюдаемое распределение имеет выраженную концентрацию галактик вдоль некоторых поверхностей, или, по крайней мере, вдоль некоторых линий. Таким образом, ячеечная (или, возможно, паутинообразная) структура наблюдаемого распределения галактик — не искусственное предположение, но объективный феномен. [c.48] В принципе возможно различить ячеечное и паутинообразное распределения, используя другой перколяционный параметр максимальное значение г, для которого объединение шаров радиуса г делит всё пространство на пустые области, малые по сравнению со всей системой. [c.48] Вернуться к основной статье