Скалярные произведения и нормы

Если же пространство (как, например. С) не является полным, его можно сделать полным, добавив к нему все предельные элементы. Скалярное произведение и норму предельных элементов определяют тогда как предел скалярного произведения и [c.125]

Как видно из равенства (12.13), преобразования масштаба не влияют на угол между векторами. Скалярное произведение и норма векторов определяются также, как в обычном евклидовом пространстве [c.91]

Основное преимущество оператора столкновений L перед С состоит в том, что он является самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве функций /i(v), скалярное произведение и норма которых определяются формулами [66] [c.239]

Поскольку h зависит не только от х, но и от удобно ввести также скалярные произведения и нормы [c.196]

Гильбертово пространство 2([-1,1], V) вектор-функций имеет следующие глобальное скалярное произведение и норму [c.559]

Осесимметричные задачи. Рассмотрим уравнение (7) при условии (8). Пусть Ь2[0,] — пространство функций, интегрируемых с квадратом в области Г , где П — круг единичного радиуса. Подпространство 2[0] функций, зависящих только от радиальной координаты, обозначим Ь2(1)). Очевидно, что Ь2(1)) является гильбертовым пространством со следующими скалярным произведением и нормой [c.562]

Введем теперь гильбертово пространство 1/2(Г2, V) вектор-функций со следующими глобальным скалярным произведением и нормой [c.562]

Введем гильбертово пространство 1/2([—1,1], V) вектор-функций со следующим глобальным скалярным произведением и нормой [72,194] [c.145]

О — собственное значение остальные йу(Яу) конечномерны) и инвариантного относительно Т подпространства Ш, на котором форма [f, д] является обычным скалярным произведением и норма [[, [] эквивалентна [ . В оператор Т имеет /-ортонормированный базис из собственных векторов. Каждое йу( 1у) является пространством Понтрягина ГЦ (ио + + == х) и допускает разложение в /-ортогональную сумму двух подпространств Г1 (/) размерности Иу, на котором — [[, д]— обычное скалярное произведение, и на котором [c.384]

Элементами пространства ".т Ю, Го] считаются Ф (/), а скалярное произведение и норма определяются прежними соотношениями. [c.71]

В отличие от первого раздела данной статьи в этом разделе символы скалярных произведений и норм снабжены индексами, указывающими, к каким пространствам они относятся. [c.86]

По аналогии с (7.21) введем скалярное произведение и норму (сравните с (8.5) гл. 3) [c.237]

Каждое подпространство наследует положительно-определенное скалярное произведение и норму Ц-Ц, имеющиеся в Tv для Л возможно разложение Л = X) где е и мы полагаем Л11 = 2 . При таком опреде- [c.18]

Для скалярного произведения и нормы в пространстве X ниже применяются обозначения и flX . [c.289]

О 1 I о (соответственно ( , Ое 1 I е) - скалярное произведение и норма в в )) (( , ))о 11 11 о ((( 11 11Е) - скалярное произведение и норма в Я (в H ( ,)). [c.290]

Решение операторных уравнений. Пусть Н — гильбертово пространство со скалярным произведением ( , ) и нормой II м II = (и, . Рассмотрим уравнение [c.41]

Ограничимся случаем, когда А - симметричный положительно определенный оператор, т.е. для любых и, v L>(A) (Au,v)= (ju,Av), Au, и) > y u 11 с постоянной 7 > 0. Введем в D A) скалярное произведение и норму [c.41]

С использованием интерполянтов конкретизируем скалярное произведение и норму в R [c.239]

В силу (1) нормы в Но и Н эквивалентны. Поэтому, различаясь скалярным произведением и нормой, пространства Но и Н совпадают поэлементно. Гамильтониан Я определим в пространстве Н на множестве Т> Н) = Т> Но) соотношением Я = М Но- [c.136]

Скалярные произведения и нормы. Пусть Р (X) и С (X) — две функции, принадлежащие подпространству Ф [c.72]

Введем вещественное гильбертово пространство Н, элементы которого суть векторы и, определенные в точках срединной поверхности S оболочки. Определим скалярное произведение и их нормы в Н фор сулами [c.217]

Скалярное произведение, норма, метрика в пространствах состояний упругой системы. Если в линейном пространстве определить скалярное произведение, то оно становится евклидовым пространством. Например, в пространстве перемещений U скалярное произведение и ° v(u,veU) можно определить равенством [c.206]

Скалярное произведение единичной нормали Пг (см. рис. 7.6) с вектором равно единице, а с векторами в] и вз дает нуль. Следовательно, 1 = П2 - 61 = 621 и напряжение/ , действующее на сдвигающих плоскостях, выражается, согласно (3.7), зависимостью [c.190]

Соотношение (8) утверждает, что скалярное произведение векторов нормали к поверхности нагружения и поверхности пластических деформаций в соответствующих точках неотрицательно. [c.272]

Через H Q) обозначим множество классов эквивалентности [/], где Введем в Я (Q) скалярное произведение и соответствующую норму [c.55]

Рассмотрим теперь волновые поверхности. Скалярное произведение единичной нормали к волновой поверхности и вектора скорости равно значению местной скорости звука [c.24]

Мы будем обозначать через (а, Ь)- а-Ь, Ц-Ц и 1 г<3, соответственно евклидово скалярное произведение, евклидову норму и ортонормированный базис в пространстве [c.413]

К сожалению, эта теорема основывается на некоторых важных предположениях, которые во многих случаях могут быть несправедливыми. Во-первых, мы предполагали, что в 3) существует элемент и, который удовлетворяет уравнению (10.5) и минимизирует функционал (10.7). На вопрос о существовании элементов, реализующих минимум функционала / (и), ответ частично дается приводимой ниже теоремой, в которой используются понятия энергетической нормы и сходимости по энергии. Кратко поясним их. Новое определение скалярного произведения [и, г ] = Хи, V) приводит к новому определению нормы в а именно и = = [и, Эта норма называется энергетической нормой или [c.115]

Модулем или нормой вектора называется число I и I = <([11 и). Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Совокупность векторов [е,, ej, е называется ортонормированной, если для всех векторов этой совокупности соблюдаются условия [c.131]

Введением нового скалярного произведения фактически на множестве Оа построено новое гильбертово пространство. Если это пространство оказалось неполным, то его необходимо пополнить всеми предельными элементами. Построенное таким образом пространство будем называть энергетическим пространством и обозначать через На, а норму в этом пространстве — через . Очевидно неравенство [c.134]

Скалярное произведение векторов. Наше физическое пространство является евклидовым, поскольку в нем определено скалярное произведение векторов, и метрическим, так как в нем определены расстояние между точками и длина, или норма вектора [13, 14]. [c.13]

Уравнение (3.3) имеет стандартную дифференциальную форму принципа баланса энергии (см., например, формулу (58) работы [35]). Если временную переменную считать равноправной с пространственными координатами, то уравнение (3.3) будет представлять собой требование равенства нулю дивергенции некоторого векторного поля в точке области переменных пространство— время. Если уравнение (3.3) выполняется в некотором пространственно-временном объеме , то, применив теорему Гаусса — Остроградского в ее исходной формулировке, получим утверждение о том, что интеграл по границе данного объема от скалярного произведения вектора, от которого вычисляется дивергенция, иа единичный вектор внешней нормали к границе равняется нулю. [c.101]

Переход к обобщенным усилиям в задачах приспособляемости отличается тем, что максимумы стоящего под интегралом скалярного произведения (и соответствующие им значения Tif) достигаются в различных точках тела (в частности, в точках, принадлежащих одной нормали и срединной поверхности пластины или оболочки) иеодновременно. Поэтому для определения обобщенных усилий из выражения (4.42) необходимо знать соотношения между обобщенными деформациями, которые определяют соотношения между компонентами Ае,/о. Если поверхность текучести в пространстве обобщенных усилий определена, искомые соотношения задаются ассоциированным законом течения — условием нормальности вектора скорости обобщенной деформации. Для кусочно-линейной поверхности текучести имеем конечное число таких соотношений (соответственно числу граней), и каждому из них на основании равенства (4.42) отвечает свое выражение для обобщенного усилия. [c.119]

Интеграл (1.31) существует. Это следует из свойства лебеговых интегралов и неравенства фгр l/2(ф 4- Ф ) Лeгкo видеть, что аксиомы скалярного произведения выполняются. Норма в пространстве /,2( 2) определяется равенством [c.27]

Наиболее простым является случай, когда все собственные значения у/ оператора J положительны. Тогда среди них есть наименьшее (поскольку у/ — 1- 0 как собственные значения вполне непрерывного оператора) пусть это Yi. Имеем Yi Ilf 1Р< [f, П скалярного произведения, причем нормы f i и [f, f] - эквивалентны. Так как Г — самосопряженный относительно (39.4а) вполне непрерывный оператор, то в существует базис из собственных векторов этого оператора, ортонормированный относительно (39.4а). В исходной метрике пространства ф он будет базисом Рисса. Итак [c.381]

Далее заметим, что оптимальный проект Si и его среднеквадратичные кривизны У1 неизвестны, но фиксированы. С другой стороны, проект Sj подчиняется лишь проектному ограничению, которое задает значение РЬ и, следовательно, определяет величину вектора Я, если выбрано его направление. Кроме того, в окрестности оптимального проекта s,-имеются проекты s,-, дающие веса конструкций, произвольно близкие к минимальному весу. Соответствующие векторы X произвольно близки к границе полупространства, определяемой неравенством (21). Если скалярное произведение Яиц будет неотрицательным для всех допустимых векторов Я, то вектор jx будет направлен вдоль внутренней нормали этого полупространства в начале координат таким образом, (19) является необходимым условием оптимальности. Это доказательство принадлежит Чжу и Прагеру [17]. [c.100]

Если ото произведение то/кдественно равно нулю, то скорость и будет все время перпендикулярна к grad F, т. е. к нормали поверхности F = 0. Это означает, что траектория у изображающей точки М лежит всеми своими точками на этой поверхности (рис. 2.9). Таким образом, для того чтобы целые траектории дифференциальных уравнений возмущенного движения (1.17) не принадлежали поверхности F = О, достаточно, чтобы скалярное произведение Z7-grad F не равнялось нулю тождественно [371 [c.44]

Равенство (7.10) означает, что полное касательное напряжение в контурной точке направлено по касательной к контуру сечения. Действительно, левая часть равенства (7.10) представляет собой скалярное произведение вектора касательного напряжения в контурной точке т = Оз1 Эх + Оз2 Эг и единичного вектора по внешней нормали к контуру п — + П2Э2. Так как т я = О, то вектор т перпендикулярен вектору п. [c.134]

Уравнением неразрывности называют закон сохранения массы. Рассмотрим в потоке жидкости некоторую произвольную фиксированную замкнутую поверхность 5, ограничивающую объем о. Выделим на поверхности элемент площади з и построим единичный вектор п, направленный наружу по нормали к поверхности (рис. 2.1). Поток жидкости пронизывает замкнутую поверхность, причем через выделенный элемент поверхности за единицу времени протекает масса жидкости, равная ри,4з, где — нормальная к поверхности составляющая скорости жидкости р — плотность жидкости. Проекцию скорости на нормаль можно заменить через скалярное произведение вектора скорости и на единичную нормаль п рпис1з. В индексной записи [см. формулу (1.7) [ это выражение примет вид рп и1(1з. [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...