Алгебра Гильберта

Интересной иллюстрацией перечисленных лемм может служить алгебра фон Неймана Ъ Ж) ). Обозначим через Ъ Щ множество всех операторов конечного ранга, действующих в Ъ Ж). Они образуют -подалгебру в Ъ Ж). Равномерное замыкание Ъ Щ представляет собой С -алгебру % Ж) всех компактных операторов в 93 ( ) и является двусторонним замкнутым -идеалом алгебры Ъ Ш). Введем в рассмотрение множество Й Ж) всех операторов Гильберта — Шмидта на Л е й Ж) в том и только в том случае, еслиЗр Л Л < оо. Нетрудно убедиться, что % М)< Ж) с.% Ж) и й( ) — банахова -алгебра относительно нормы ЛЦ =(5рЛ Л) ". В этой норме скалярное произведение принимает вид (Л, В) = 5рЛ Б и, стало быть, 2 Ж) —алгебра Гильберта ). Пространство Ж) есть замыкание множества % Ж) по норме . .. Ц , Гильберта — Шмидта. [c.156]

Алгеброй Гильберта Ш называется -алгебра, снабженная скалярным произведением, которое удовлетворяет следующим условиям а) ЗД, (,) — предгильбертово пространство б) (/ , 5) = (5. / ) в) Т) = (5, R T) , г) при фиксированном Я отображение непрерывно (все условия [c.156]

Обозначим через Яф(й) и Уф(8) сужения представлений Яф (91) и Уф (91) на алгебру Гильберта 2 (Ж), рассматриваемую как подалгебра алгебры Я. Согласно теореме о коммутанте алгебр Гильберта [76, 77, гл. 5, 2, п. 1, теорема I], Яф(8) = Ур (8)". Поскольку 2 Е Я, мы имеем [c.249]

Теперь мы уже достаточно подготовлены для того, чтобы начать штурм общего случая. Прежде всего напомним, что в только что разобранном частном случае наиболее существенные с математической точки зрения моменты формулировки условия КМШ и вывода соотношения для коммутантов сводились к следующему а) мы рассматривали пространство пробных функций и это позволило нам, пользуясь преобразованием Фурье, обойти трудности, связанные с тем, что отображение а,р в общем случае не определено как отображение, действующее из 91 в 91, и б) в конце доказательства соотношения для коммутантов мы воспользовались фактом существования алгебры Гильберта 8(5 ), инвариантной относительно и достаточно большой в 91. Именно эти важнейшие моменты подробно изученного нами частного случая нам необходимо перенести на общий случай. Мы сделаем это, следуя Кастлеру, Пулу и Поулсену [224]. [c.252]

Остановимся теперь на С°°-устойчивых контактно-простых ростках. При п р топологическим инвариантом является функция h Гильберта—Самюэля вещественной локальной алгебрье Qf такого ростка (А(А) =dimRQ//m + ) [ 177J, [184]. Более того, имеет место [c.195]

Теорему Гильберта о базисах в полиномиальных идеалах см. в книге Ван дер Варден Б. Л., Современная алгебра, Гостехиздат, 1947 г., т. II, стр. 27. — Прим. ред. [c.260]

Пусть Я — гамильтониан такой системы (для простоты будем предполагать, что спектр гамильтониана Я дискретен), р = ехр (— рЯ)/8р ехр (— РЯ) — соответствующая матрица плотности, отвечающая каноническому состоянию равновесия (для интересующих нас целей можно с тем же успехом рассматривать состояние большого канонического равновесия и интерпретировать Я как Я — но мы не будем вводить здесь излишних усложнений). Введем гильбертову -алгебру 2 (Ж) всех операторов Гильберта — Шмидта на Ж (стр. 156), снабженную скалярным произведением К1, К2) = К1К2. Напомним, что [c.248]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...