Дифференцирование векторных полей

Дифференцирование векторного поля по координатам. Если поле однородно, его производные по координатам равны нулю. Если же поле неоднородное, производные по координатам характеризуют степень его неоднородности. В случае криволинейной [c.57]

Дифференцирование векторных полей [c.191]

Скалярные и векторные поля. Операции дифференцирования скалярных и векторных функций векторного аргумента [c.374]

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ в СКАЛЯРНЫХ и ВЕКТОРНЫХ ПОЛЯХ 377 Векторное произведение уха называется ротором вектора а [c.377]

Некоторые применения операций дифференцирования в скалярных и векторных полях [c.377]

Смысл такой записи в том, что задание отдельного вектора или векторного поля равносильно заданию дифференцирования гладких функций f zi,. .., Zk) вдоль этого вектора или поля. А именно, [c.243]

Векторные ноля. Важную роль в матем. анализе играет операция дифференцирования. В евклидовом пространстве из-за существования выделенных декартовых координат достаточно удобным является дифференцирование по координатам. В произвольном М., где все координаты равноправны, вводят понятие инвариантного (не зависящего от выбора координат) дифференцирования. В результате возникают понятия ка-сат. вектора и векторного поля, а также дифференцирования вдоль касат. вектора и вдоль векторного поля. [c.163]

Если в каждой точке М задав касат. вектор Х(х) Тх, то говорят, что на М задано векторное поле X. Если компоненты этого поля Х (х) являются гладкими ф-циями в любой карте из атласа, то векторное поле наз. дифференцируемым. Векторное поле X сопоставляет каждой ф-ции ф на Л/ новую ф-цию Хф со значениями (Хф)(х) = Х(х)ф. Она наз. результатом дифференцирования ф-ции ф вдоль векторного поля X. Т. о., чтобы продифференцировать ф-цию вдоль векторного ноля, нужно продифференцировать её вдоль каждого вектора Х(х), х Л/, и полученные числа считать значениями новой ф-ции. При этом дифференцируемая ф-ция переводится гладким векторным полем в дифференцируемую, причём выполняется правило Лейбница [c.163]

При достаточной гладкости поверхностного тензорного поля операцию ко-вариантного дифференцирования можно повторить несколько раз. Так возникают повторные ковариантные производные, причем их значения зависят от порядка, в котором они вычисляются. Например, для поверхностного векторного поля и = имеем (см. [72, 203]) [c.21]

Аналогичный вопрос приходилось уже решать в начале 7 предыдущей главы. Скаляр и вектор зависели пе голько от положения точки в пространстве, где они вычислялись, но и от направления дифференцирования. Эти величины не представляли скалярного и векторного полей, но выражались простыми формулами (10) и (23) как произведения орта на вектор градиента скалярного поля или дифференциальный тензор векторного поля. Последние две величины были уже однозначными функциями и образовывали соответственно векторное и тензорное поля. Докажем, что и напряжения можно выразить как произведения орта п нормали площадки и некоторого тензора, представляющего однозначную функцию точек пространства. [c.86]

Пусть X — векторное поле на многообразии М . Дифференцированием Ли вдоль векторного поля X [c.54]

Доказательство теоремы 1 использует известные факты из теории внешних форм (см., например, [41]). Для векторного поля W и п-формы Ф через г Ф обозначается внешняя (гг — 1)-форма Ф(ш, ). Операторы внешнего дифференцирования d, внутреннего умножения г и связаны формулой гомотопии [c.174]

Ковариантное дифференцирование. Если некоторое соотношение, содержащее тензорные величины, справедливо в какой-нибудь одной координатной карте, то оно справедливо во всех координатных картах. Рассмотрим производную векторного поля = дА /д( . Поскольку А д) = дд /дд° )А (д), то [c.131]

Операцию ковариантного дифференцирования часто обозначают точкой с запятой У А = Обычную частную производную обозначают символом дь>А =дА /дд или А =дА /дд . Если и д)—векторное поле, то свертку ковариантной производной тензора " и вектора называют производной тензора по направлению и УцТ = -. [c.132]

Задача. Докажите, что соответствие между векторными полями Л, потока>ш А в дифференцированиями взаимно однозначно. [c.182]

А. Пуассоновы многообразия. Пуассоновой структурой на многообразии называется структура алгебры Ли в пространстве гладких функций на нем (т. е. билинейная кососимметрическая операция скобки Пуассона функций, удовлетворяющая тождеству Якоби), такая, что оператор а(1о= а, (взятие скобки Пуассона с любой функцией с) является оператором дифференцирования по направлению некоторого векторного поля Гц. [c.422]

Чтобы показать, что является С°°-векторным полем в окрестности начала координат, мы должны проверить, что эта сумма сходится в С°°-топологии, т. е. что суммы к-х производных сходятся для всех к 6NJ. Аналогичная ситуация впервые встретилась нам на пятом шаге доказательства теоремы Адамара — Перрона 6.2.8. Отметим, во-первых, что по цепному правилу и правилу дифференцирования произведения к-я производная т-кратной композиции растет со скоростью, не превышающей где константа [c.290]

Однако если мы попытаемся таким способом из векторного поля a образовать тензорное поле ранга 2 дифференцированием формул преобразования [c.238]

Пусть — произвольное векторное поле, а аьл — тензор ранга 2, полученный ковариантным дифференцированием а [c.244]

Но дифференцирование выражения Вцс г — по координатам Г1 эквивалентно дифференцированию по г = Г1 — г . Поэтому корреляционный тензор соленоидального векторного поля удовлетворяет условию [c.60]

Дивергенцию, векторного поля А вычисляют путем дифференцирования его проекций по определенным правилам [c.5]

Заметим, что у дифференцируемого многообразня ТМ есть свое касательное расслоение ТТМ. Это важный объект. С одной стороны, он открывает возможность для дифференцирования векторных полей. С другой стороны, в классической механике уравнения движения являются дифференциальными уравнениями второго порядка, и естественно рассматривать вторые производные как элементы второго (или двойного) касательного расслоения ТТМ. [c.706]

Тензор Rihim называется тензором кривизны Римана — Кристоффеля. Равенства (9.226) выражают правило коммутации для ковариантного дифференцирования векторного поля. Соответствующее правило ковариантного дифференцирования тензорного поля tik имеет вид [c.245]

Распространим эти результаты на дифференцирование тензора. Рассмотрим произвольные параллельные векторные поля Б , С", определенные вдоль некоторой кривой. Пусть А тп есть тензор второго ранга, определенный вдоль той же кривой. В каждой точке этой кривой АтпВ С дает скаляр, поэтому его производная по s есть также скаляр [c.25]

Легко видеть, что для заданных векторных полей Ржго функции Ф, Ф и ф, ф легко определяются из решения уравнений Пуассона, которые получаются из (10.18) или (10.19) после соответствующего дифференцирования и исключения одной из искомых функций. [c.402]

Обратно, если задана однопараметрич. группа преобразований t — (, то определяется векторное поле X — daildt f g. Дифференцирование вдоль такого поля описывается ф-лой [c.163]

Если известно векторное поле А, нахождение его div А и rotA сводится к дифференцированию. Возникает естественный вопрос, можно ли восстановить векторное поле А по заданным div А и rotA. Ответ на этот вопрос дает теорема Стокса-Гельм-гольца о разложении поля скоростей на потенциальную и соле-ноидальную части. [c.138]

Пусть теперь поверхность М является двумерным тором Т , на котором введены угловые изотермические координаты 51,52 rnod 2тг. Оператор дифференцирования вдоль гамильтонова поля V имеет вид (7.1). Пусть и—векторное поле с оператором [c.157]

Не следует думать, что поля симметрий задачи о геодезических всегда гамильтоновы (или локально гамильтоновы). Вот простой контрпример если Л = onst, то квадратичное векторное поле с оператором дифференцирования [c.157]

Неоднородная конечная деформация. Теперь, после того к к мы рассмотрели простейший вид векторного поля, характеризующегося телх, что три составляющие вектора поля представляют собой линейные функции трех составляющих другого вектора, перейдем к общему случаю, когда составляющие вектора поля являются векторными функциями общего вида. Известными примерами подобных векторных полей могут служить перемещения точек деформируемых тел, скорости движения жидкости в данный момент времени и т. п. Но прежде чем приступить к изучению конечной неоднородной деформацпи, необходимо получить формулы дифференцирования для векторного поля. [c.189]

Тензор кривизны. Операции ковариантного дифференцирования неперестановочны. Для векторного поля [q) имеем [c.133]

Здесь 0 (х) — соленоидальная компонента векторного поля 0 (х), от которой на самом деле только и зависит функционал Ф вследствие несжимаемости жидкости (приводящей к соленоидальности поля скорости), а = = D (х) = >1 (х), U2 (х), />з (х) — векторный оператор вариационного дифференцирования функционала Ф [0 х) I] по компонентам 0 (х) ( 1, 2, 3) его функционального аргумента. Аналогично может быть выведено динамическое уравнение и для пространственно-временного характеристического функционала Ф [0 х, i)], которое имеет вид [c.467]

Нахождение вихря rot А и дивергенции divA заданного поля А (г ) сводится к простому дифференцированию компонент поля. Интерес представляет обратная задача восстановить поле А (г ) по заданному векторному полю lOt А и скалярному dlV А. [c.129]

Тем же способом из тензорного поля ранга п всегда можно дифференцированием образовать тензорное поле ранга д + 1, а последующей сверткой — тензорное поле ранга а — 1. Как и в только что рассмотренных частных случаях, этот факт является следствием формул преобразования для тензоров, уравнения (4.176) и условий ортогональности (4.11) и (4.14). Следовательно, из тензорного поля второго ранга можно построить тензорное поле dtnJdxi ранга 3, а последующей сверткой тензорное поле ранга 1, т. е. векторное поле [c.99]

Чтобы получить обобщение дифференциальных операторов, введенных в 4.16 для частного случая псевдоевклидова пространства, достаточно в соответствующих формулах 4.16 обычное дифференцирование заменить ковариантным дифференцированием. Тогда для ротора векторного поля получим [c.240]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...