Колонна эйлерова

В 1757 г. в работе О силе колонн Эйлер вернулся к теории продольного изгиба. Прежде всего он дал более правильное толкование абсолютной упругости Ек , установив, что она должна иметь размерность силы, умноженной на квадрат длины. Далее он предложил более простой вывод формулы (5) для критической силы, исходя из приближенного дифференциального уравнения оси стержня [c.167]

Рис. 13.5. Характеристики сходимости методов —выпучивание колонны Эйлера. 14

По определению Эйлера, критической силой называется сила, требующаяся для самого малого наклонения колонны. [c.265]

Задачей о потере устойчивости системы в виде колонны, нагруженной продольной силой, занимались Эйлер, Вернули и др. Одним из первых термин "бифуркация" (что означает раздвоение) ввел Якоби в 1834 г. Теория бифуркаций получила фундаментальное развитие в работах при решении различных задач нелинейного поведения систем. [c.40]

Наряду с этим определением полезно привести и то, которое дал сам Эйлер сила, требующаяся для самого малого наклонения колонны [32]. [c.190]

Следовательно, расчет данной колонны можно вести по формуле Эйлера [c.333]

В силовой схеме однозонной разрывной или универсальной статической машины с механическим нагружающим устройством (рис. 1, а) колонны машины испытывают напряжения сжатия при растяжении образца и напряжение растяжения при его сжатии. Жирной штрихпунктирной линией показано замыкание силового контура через элементы машины. При расчете на прочность элементов машины колонны должны быть проверены на устойчивость по Эйлеру. Эта силовая схема применена, например, в разрывных машинах отечественного производства МР-5 и универсальных УМ-5, рассчитанных на предельную нагрузку 50 кН, [c.30]

При испытаниях на растяжение колонны 2 сжаты, а колонны 5 растянуты. Колонны 2 должны быть рассчитаны на устойчивость по Эйлеру. [c.31]

Если 0Гк>< п> то выведенные формулы будут давать преувеличенные значения критических напряжений, как и формулы Эйлера для сжатых стержней малой гибкости. Для нахождения действительных критически напряжений при выпучивании балок, когда а >ап> следует руководствоваться опытными данными. Можно воспользоваться аналогией со стержнями и полагать, что действительные напряжения находятся в том же отношении с определенными по ( рмулам этого параграфа, в каком находятся действительные с эйлеровыми при ак> Гп Для сжатых колонн. [c.478]

Метод анализа устойчивости, основанный на рассмотрении функционала потенциальной энергии, называют энергетическим. Наряду с этим в теории устойчивости упругих (вообще -деформируемых) систем широко применяют так называемый статический метод. Идея этого метода восходит к работам Эйлера, который определял критическую силу как силу, требующуюся для самого малого наклонения колонны [6]. Критическая сила (или, в более общем случае, параметр группы сил) определяется как наименьшее значение силы, при котором наряду с невозмущенной формой равновесия появляются смежные, весьма близкие к ней формы равновесия. [c.478]

Он резюмирует Если груз Р не будет превышать С r lAP, то можно будет не опасаться решительно никакого изгиба наоборот, если груз Р будет больше, то колонна не сможет сопротивляться изгибу. При этом, если упругость колонны, а также ее толщина остаются одинаковыми, то груз, который она способна безопасно нести, будет обратно пропорционален квадрату высоты колонны так что колонна, вдвое более высокая, сможет нести лишь четвертую часть груза ). Эйлеру, как мы видим, принадлежит, таким образом, честь установления двести лет тому назад формулы продольного изгиба колонн, той самой, которая в наше время приобрела столь широкое применение в расчетах упругой устойчивости инженерных сооружений ). [c.46]

В 1757 г. Эйлер опубликовал новую работу о продольном изгибе колонн ). В ней он дает простой вывод формулы для определения критической нагрузки, пользуясь упрощенным дифференциальным уравнением [c.49]

Он приводит здесь также и более убедительное истолкование смысла величины С, приходя к выводу, что она должна иметь размерность силы, умноженной на квадрат длины. В последующих работах Эйлер распространяет свой анализ на расчет колонн переменного поперечного сечения, а также нн задачу о колонне с осевой нагрузкой, распределенной по ее длине, но прийти к правильным решениям в этих более сложных задачах ему не удается. [c.49]

И нагруженного в точке у. Круговые диски на верхнем конце образца скользят между вертикалями АВ и EF и препятствуют верхнему концу совершать поперечные движения. Нижний конец образца опирается в точке R. Той же самой машиной пользовались и для испытаний на поперечный изгиб, заставляя нижний конец R стойки оказывать давление на середину горизонтально расположенной балки. Для того чтобы сравнить результаты испытаний стоек со значениями, вычисленными по формуле Эйлера для колонн, производилось экспериментальное определение жесткости стоек при изгибе по способу, рекомендованному Эйлером (см. стр. 46). Эти испытания обнаружили, что деревянные стойки ведут себя далеко не так, как должен был бы вести себя и идеально упругий материал. Прогибы в процессе поперечного изгиба не были пропорциональны нагрузкам и не оставались постоянными под одной и той же нагрузкой, а возрастали по мере увеличения длительности ее действия. Способы укрепления концов стоек и методы приложения нагрузки могли быть подвергнуты критике, поскольку удовлетворительного согласия между результатами испытания и теорией Эйлера не получалось. [c.76]

Работа была продолжена проф. Л. Тетмайером ) в Цюрихском политехническом институте. Под его руководством испытаниям было подвергнуто значительное число железных и стальных стержней составных профилей. На основании их было установлено, что формулой Эйлера следует пользоваться при определении критических напряжений в стальных конструкциях в тех случаях, когда гибкость, т. е. отношение свободной длины колонны к радиусу инерции ее сечения, превышает 110. Для более коротких образцов была предложена линейная формула, нашедшая впоследствии широкое применение в Европе. На рис. 149 схематически изображе- [c.353]

То, что относится к первому виду, Эйлер применил для суждения о силе колонны . Если груз Р,— пишет он,— не будет превышать пЕк И , То можно будет не опасаться никакого решительно изгиба наоборот, если груз Р будет больше, то колонна не сможет сопротивляться изги% [c.166]

Для определения прогибов упругих стержней и силы колонны нужно знать их жесткость ( абсолютную упругость , по терминологии Эйлера), которая может быть найдена посредством опытов. Для вывода необходимой формулы Эйлер проинтегрировал уравнение (4), используя разложение иско- [c.166]

Основная часть мемуара О силе колонн посвящена исследованию продольного изгиба стержней переменного сечения, а также стержней постоянного сечения, находящихся под действием собственного веса. По последнему вопросу Эйлер не смог сразу получить удовлетворительного решения и вернул- [c.167]

Энергетический метод используется для определения критической силы, которая согласно Эйлеру определяется как сила, требующаяся для самого малого наклонения колонны . В концепции упругой устойчивости полагается, что критическая сила обнаруживается при появлении новых форм равновесия. Предполагается, что при достаточно малых нагрузках равновесие упругой системы устойчиво и что оно остаётся таковым вплоть до первой точки разветвления форм равновесия, за которой исходная форма равновесия становится неустойчивой [c.175]

Чугун. По правилам прусского министерства от 25 февраля 1925 г. чугунные колонны должны быть рассчитаны на продольный изгиб по формуле Эйлера [c.113]

Для мостов по предписанию германских железных дорог от 25 февраля 1925 г. формулу Эйлера можно употреблять для расчета чугунных колонн только при X > 80 если Е = I ООО ООО см и запас прочности принять равным 6, то допустимое напряжение [c.113]

Великий математик, механик и физик Леонард Эйлер (1707— 1783) в числе множества вопросов занимался и вопросами сопротивления материалов. На основании рассмотрения энергии деформации и применения созданного им метода вариационного исчисления Эйлер вывел дифференциальное уравнение изогнутой оси балки . Он решил задачу о продольном изгибе колонны, защемленной нижним концом, определив критическую силу [c.559]

Поскольку длина колонны является неизвестным искомым параметром, то вычислить гибкость не представляется возможным. Таким образом, нельзя однозначно сказать, какую формулу необходимо применить для определения критической силы. В таком случае попытаемся угадать. Допустим, колонна окажется достаточно гибкой (гибкость больше предельной), тогда можно использовать формулу Эйлера [c.498]

Гибкость колонны Яц на самом деле, как выяснилось, больше предельной для стали, т. е. предположение об использовании формулы Эйлера оказалось верным. Если бы гибкость была меньше предельной, тогда бы следовало выполнять расчет по формуле Ясинского. [c.499]

Для проверки считаем, что мы имеем балку со свободными конца-м и (второй случай нагружения по формуле Эйлера), так как хотя шток и заделан в поршень, но жесткого закрепления самого поршня относительно цилиндров и всего паровоза нет поршень всегда имеет возможность вместе с заделанным в него концом штока несколько перекоситься в цилиндре. Другим концом колонны является центр крейцкопфного валика, а отнюдь не место закрепления штока во втулке крейцкопфа кулака, как это ошибочно часто полагают. Итак, расчетная длина штока I равна расстоянию от средины длины ступицы поршня до центра крейцкопфного валика. [c.356]

Это значение, которое зависит только от размеров колонны и модуля упругости материала, называется критической нагрузкой или эйлеровой нагрузкой, так как Эйлер был первым который вывел это значение в своем знаменитом исследовании упругих кривых ). Чтобы более ясно видеть физическое значение этой нагрузки, построим кривые, представляющие зависимость между нагрузкой Р и прогибом Д каковая дается уравнением (139). Несколько кривых такого рода для различных значений отношения т. е. эксцентриситета к радиусу инерции, показано на рис. 236. Абсциссы этих [c.223]

При малых сжимающих силах прямолинейная форма стержня является устойчивой. При больших сжимающих силах, превышающих некоторое критическое значение, она неустойчива, а устойчивой будет криволинейная форма, т. е. при критической силе наряду с исходной прямолинейной формой как бы возможна смежная,, весьма близкая к ней, искривленная форма. По определению Эйлера, критической силой называется сила, требующаяся для самогог малого наклонения колонны . [c.293]

Муленбрух определял Е при помощи экспериментов, интерпретированных с использованием формулы Эйлера для продольного изгиба колонн, примененной к данной партии К, V2 НТ стержней из бериллиевой бронзы. После каждого нового определения критиче- [c.189]

Эйлер исследует разнообразные случаи изгиба, лредставлен-ные на рис. 22 ) и классифицирует соответствующие упругие линии по величине угла, образуемого направлением силыР с касательной к упругой линии в точке приложения нагрузки. Если этот угол весьма мал, мы имеем важный случай продольного изгиба колонны под действием осевой сжимающей силы. Эйлер показывает (см. колонну АБ на рис. 22), что в этом случйе уравнение упругой линии легко может быть решено и что нагрузка, при которой начинается выпучивание колонны, определяется уравнением [c.46]

Отсюда он приходит к выводу, что если Р= = EIts /P, то прогиб принимает бесконечно большое значение, какова бы ни была величина Sq, так что сила преодолеет сопротивление балки или же, по крайней мере, изогнет ее столь сильно, что этим нарушит действие всей системы приложенных сил . Здесь мы имеем первый вывод уравнения колонны при наличии начальной кривизны ее оси. Пользуясь формулой Эйлера для определения размеров поперечных сечений колонны, Юнг указывает, что она применима лишь к гибким колоннам, и приводит некоторые предельные значения для отношения длины колонны к поперечному ее размеру. При меньших значениях этого отношения колонна разрушается не столько в результате выпучивания, сколько вследствие раздавливания материала. [c.118]

Первые надежные испытания колонн были выполнены Бау-шингером ). Применив для своих образцов конические наконечники, он обеспечил возможность свободного вращения концов и центрального приложения нагрузки. Его эксперименты показали, что при этих условиях результаты, полученные для гибких тержней, удовлетворительно согласуются с формулой Эйлера. Более короткие образцы выпучивались при сжимающих напряжениях, превосходивших предел упругости, и так как теория Эйлера к ним была неприменима, необходимо было установить для них эмпирическое правило. Баушингер выполнил лишь небольшое число испытаний, недостаточное для установления практической формулы, которой можно было бы пользоваться в проектировании колонн. [c.352]

Работы Эйлера по продольному изгибу продолжил Лагранж. В первом мемуаре посвященном этому вопросу, Лагранж не ограничился исследованием наименьшей критической силы, а рассмотрел так называемые критические силы высших порядков, когда изгиб оси стержня происходит по двум, трем и большему числу полуволн синусоиды. Лагранж изучил зависимость стрелы прогиба от величины нагрузки в случае, когда последняя превышает критическое значение. Он нашел интеграл точного дифференциального уравнения изогнутой оси при помощи разложения искомого решения в ряд. Лагранж решил также задачу о продольном изгибе стержня, ограниченного какой угодно поверхностью вращения второго порядка. Тогда же он поставил задачу о наивыгоднейшем очертании колонн — об очертании стержня, выдерживающего без изгиба данную сжимающую нагрузку и имеющего наименьший вес. Однако ему не удалось найти удовлетворительного решения этой задачи. Впоследствии ею занимались Т. Клаусен, Е.Л. Николаи и др. [c.168]

В период времени между открытием закона Гука и уста-повлепием обш,их дифференциальных уравнений теории упругости интерес исследователей был направлен на проблемы колебаний стержней и пластин, а также на устойчивость колони. Сюда следует отнести в первую очередь фундаментальные работы Я. Бернулли ), посвягценные форме упругой кривой, и Эйлера ), положившие начало исследованиям в области устойчивости упругих систем. Лагранж ) следовал теории Эйлера и применил ее для определения наиболее надежной формы колонн. [c.10]

Стойка может быть сделана более прочной путем увеличейия момента инерции и радиуса инерции , что может быть очень часто выполнено без какого-либо увеличения площади поперечного сечения путем расположения материала стойки по возможности дальше от нейтральной оси. Таким образом, колонны трубчатого сечения более экономичны, чем колонны со сплошным сечением. Когда гибкость уменьшается, то критическое напряжение увеличивается, и кривая АСВ приближается асимптотически к вертикальной оси. Однако должен быть некоторый предел применения кривой Эйлера для коротких строек. Вывод выражения для критической нагрузки основан на применении дифференциального уравнения (79) для изогнутой оси, а при вьшоде этого последнего предполагалось, что материал совершенно упругий и следует закону Гука Хсм. 31). Поэтому кривая АСВ на рис. 240 дает удовлетворительные результаты лишь для сравнительно гибких стержней, для которых о р остается в пределах упругости материала. Для коротких стоек, для которых а р, полученное из уравнения (147), выше предела пропорциональности материала,кривая Эйлера не дает удовлетворительного результата и нужно прибегнуть к опытам на продольный изгиб стоек, сжатых за пределом пропорциональности. Эти опыты показывают, что стойки из такого материала, как строительная сталь, которая имеет резко выраженный Предел текучести, теряют [c.228]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...