Борна—Кармана условия

Для нахождения интервала изменения и определения числа допустимых значений волновых векторов к снова воспользуемся условием цикличности Борна — Кармана, для чего для простоты предположим, что кристалл имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами Mia.2, где ai = a, ао = Ь, аз=с — векторы прямой решетки, а Л ь No, л з — большие целые числа. [c.159]

Любой реальный кристалл является ограниченным. Эта ограниченность приводит к тому, что волновой вектор электрона может принимать только дискретный ряд значений. Для того чтобы подсчитать число допустимых значений к в зоне Бриллюэна, необходимо учесть граничные условия. Аналогично тому, как это было сделано в гл. 5, при расчете.числа собственных колебаний одномерной цепочки атомов, воспользуемся циклическими граничными условиями Борна — Кармана. [c.220]

Бозе — Эйнштейна распределение 162 Борна — Кармана граничные условия [c.382]

Очевидно также, что она является абелевой. Поскольку трансляционная решетка бесконечна, трансляционная группа имеет бесконечный порядок. Однако введением циклических граничных условий (Борна—Кармана) ее можно преобразовать в группу конечного порядка, но с достаточно большим порядком — Л/1Л/2Л/3 Неприводимые представления группы Т (п) записываются в виде прямого произведения неприводимых представлений групп T( j3j) являющихся циклическими с порядком Nj. Для них [c.150]

Ясно, что, поскольку область возможных значений // охватывает все вещественные целые числа, число элементов, или порядок каждой из групп Г, Х2 и з, бесконечно, а группа 5 имеет трижды бесконечный порядок. С физической точки зрения оказывается неудобным рассматривать группы бесконечного порядка. Поэтому на этой стадии обычно вводятся периодические граничные условия Борна — Карм ана. [c.30]

Так как е 0 есть тождественный элемент в группах 5 1, Хг, 5 з или 5 , то становится ясно, что условие Борна — Кармана фак- [c.30]

Резюмируем совокупность операторов фа <(фа) , определенных согласно (6.1), образует группу [1]. Мы убедились в замкнутости бинарной алгебраической операции (умножения), в существовании тождественного элемента, в существовании обратного элемента и в ассоциативности бинарной алгебраической операции. Далее, вследствие наложения на группу условий Борна — Кармана, группа конечна, т. е. она состоит только из конечного числа операторов. [c.36]

В (24.3) значения р, р2, рз) и (р, р, р ) следует выбрать согласно (21.6), (22.2) и (22.6), а суммирование по значениям ( 1, /г, 1з) следует проводить в соответствии с условиями Борна — Кармана, т. е. в соответствии с (4.42) —Это суммирование легко выполняется. Для иллюстрации вычислим сумму по //. При этом удобно заменить интервал суммирования на интервал О // < 2Л 1. Тогда [c.75]

Здесь N — число элементарных ячеек в кристалле, удовлетворяющем граничным условиям Борна — Кармана, г—число ионов (атомов) в элементарной ячейке, так что ЗrN — полное число механических степеней свободы колеблющегося кристалла. Обозначим такую матрицу-столбец через [и] [c.176]

Чтобы получить (81.5), мы заменили сумму по L эквивалентной суммой по 1 I, что возможно благодаря граничным условиям Борна — Кармана. [c.212]

Так как к меняется непрерывно во всей первой зоне Бриллюэна, при фиксированном / (o k j) является тоже непрерывной функцией. Если N — полное число элементарных ячеек, соответствующее граничным условиям Борна — Кармана, то имеется N таких квадратов частот для каждой ветви. Относительная доля этих частот ветви /, которая лежит между 0 (кЦ) и [ю ( /) + + Асй (А /)], равна [c.314]

Использовав снова граничные условия Борна-Кармана, получаем для целого / [c.136]

Чтобы внести граничные условия Борна-Кармана, мы предположим, что атомы на поверхности кристалла имеют те же самые уравнения движения, что и внутренние атомы. Тогда можно показать, что Зл уравнений (22.3) сводятся к Зл независимым уравнениям. Действительно, граничные условия Борна-Кармана удовлетворяются функцией [c.141]

Функции ф здесь еще не нормированы. Электронный газ удобно ограничить определенным объемом Vg (основная область). Пусть эта основная область будет параллелепипедом с ребрами 1 , Ьу и Ь . В качестве граничных условий выберем циклические условия Борна—Кармана у, г) = ф( с, у Ьу, г) = ф(х, у, 2+1 ) = ф(д , у, 2). Эти граничные условия облегчают математическое рассмотрение. При достаточно большой основной области они не влияют на физические результаты. [c.30]

Борна — Кармана циклические условия 30 Браве решетки 76 Бриджмена соотношение 230 Бриллюэна зоны 78, 80, 102, 134 —функция 172 [c.414]

Итак, рассмотрим СУ ККР и устремим параметр решетки а к бесконечности, не меняя радиуса действия потенциала Я. Очевидно, что после перехода к пределу а-> оо мы придем к модели бесконечное число бесконечно удаленных друг от друга ячеек Вигнера — Зейтца. Будем называть такую модель моделью обособленной ячейки. (Это — не модель изолированной ячейки, введенная в 9, в которой граничные условия были условиями свободных электронов. Здесь сохранены блоховские граничные З сло-вия, т. е. условия Борна — Кармана.) [c.203]

Соотношения (2.5) называют граничными условиями Борна — Кармана (или периодическими граничными условиями). Нам они будут встречаться еще часто (иногда в несколько обобщенном ) виде). [c.46]

ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ И ТЕОРЕМА БЛОХА ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ БОРНА — КАРМАНА ВТОРОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ БЛОХА ПОВЕРХНОСТЬ ФЕРМИ ПЛОТНОСТЬ УРОВНЕЙ И ОСОБЕННОСТИ ВАН ХОВА [c.138]

ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ БОРНА—КАРМАНА [c.142]

Второе доказательство теоремы Блоха демонстрирует ее значение с несколько иной точки зрения, которая получит дальнейшее развитие в гл. 9. Заметим прежде всего, что любую функцию, подчиняющуюся граничному условию Борна — Кармана (8.22), можно разложить по набору всех плоских волн, удовлетворяющих этому граничному условию и имеющих поэтому волновые векторы вида (8.27) ) [c.143]

В дальнейшем, если специально не оговорено иное, нод суммированием по к понимается суммирование по векторам вида (8.27), разрешенным граничным условием Борна — Кармана. [c.143]

Поскольку плоские волны, удовлетворяющие граничному условию Борна — Кармана, образуют ортогональный набор, коэффициент при каждом слагаемом в (8.38) должен быть равен нулю ), поэтому для всех разрешенных волновых векторов д получаем [c.144]

Если задача не заключается в непосредственном анализе поверхностных эффектов, никогда не следует поддаваться соблазну учесть конечность кристалла, ограничив суммирование по К в (10.4) лишь узлами, принадлежащими конечной области решетки Бравэ. Гораздо удобнее провести суммирование по бесконечной решетке Бравэ (эта сумма быстро сходится ввиду малого радиуса локализации атомной волновой функции > ) ) и учесть конечность кристалла с помощью обычного граничного условия Борна — Кармана, которое при выполнении условия Блоха накладывает на значения к стандартное ограничение (8.27). Если суммирование проводится по всем узлам, то, например, разрешена важная замена переменной суммирования К на К = К — К в формуле (10.5). [c.183]

Для каждого п вектор к пробегает всеволновые векторы, принадлежащие одной элементарной ячейке обратной решетки и удовлетворяющие граничному условию Борна — Кармана ге принимает бесконечное число дискретных значений [c.217]

Для удобства вычислений вместо бесконечного твердого тела обычно пользуются периодически повторенным кристаллом, который описывается граничными условиями Борна — Кармана. [c.353]

Можно привести еще один важный пример применения формул (Г.1) и (Г.2). Рассмотрим функции в реальном пространстве, имеющие лишь периодичность, накладываемую граничными условиями Борна — Кармана [формула (8.22)] [c.377]

ДЛЯ любой функции /, удовлетворяющей граничным условиям Борна — Кармана (Г.З). Суммирование в (Г. 10) ведется по всем к вида (Г.9) и [c.378]

Для доказательства этого тождества проще всего заметить, что, поскольку к отвечает периодическим граничным условиям Борна — Кармана, величина суммы в (Е.1) не изменится, если каждый вектор К сместить на Ко, где вектор Ко представляет собой любой вектор вида (Е.2) [c.381]

Отрицательные значения со не имеют физического смысла, поэтому нас будут интересовать только положительные значения. Тогда из (5,51) следует, что каждому волновому числу k соответствуют два значения м, а следовательно, и две моды колебаний типа (5.47). Воспользовавшись граничными условиями Борна— Кармана (условиями цикличности) И2п+гл = 2п или 2 +1+2лг = М2п+ь найдем допустимые значения волновых чисел к. Условие цикличности И2п+2л- =- 1 ехр i [ (2и -f- 2N)ka — со ] = = 1 exp i (2tt a—at)exp i 2Nka) выполняется, если exp (i2iV/%a) = 1, что возможно в случае 2Nka=2nm при целом т. Отсюда [c.153]

Базис решетки Браве 12 Бетевское расщепление 341, 539 Биэкситоны 326 Блоха функции 123 Борна—Кармана условия 19 Брегга условия 87 Бриллюэна зона 18 [c.637]

В работе [4] исследовались колебания одномерного кристалла тл па АВСВ с применением граничных циклических условий Борна-Карма в работе [5] - колебания цепочки из трехатомных молекул с закрв ленными н свооодными концами. [c.56]

Такая тождественность могла бы выполняться-строго только в том случае, если кристалл в направлении был бы кольцом. Однако если число N1 достаточно велико, это предположение можно понимать как предположение о том, что кристалл разбивается на большие блоки, или основные области. Эти большие блоки повторяются так,, чтобы воспроизвести весь кристалл. Поскольку расстояние между точками г —N101 и г + составляет 2Л 1 шагов длиной 1 граничные условия Борна — Кармана можно записать в виде [c.30]

Л з —большие числа, аг, Лг, аз —основные векторы трансляций. Предположим, что к этому основному кристаллу приставлено вплотную друг к другу бесконечное число таких же самых кристаллов, тогда трансляции любой точки основного кристалла на векторы Ыгаи Л/ 2 2, 3 3 будут переводить ее в соответствующую точку другого кристалла. Математически условия Борна — Кармана сводятся к утверждению, что операторы трансляций на векторы N 01(1 = 1, 2, 3) тождественны оператору трансляции на нулевой вектор, т. е. [c.20]

Налагая на волновые функции соответствующее граничное условие, можно показать, что волновой вектор к должен быть действительным, и получить условие, которому должны удовлетворять разрешенные значения к. Обычно выбирается граничное условие, представляющее собой естественное обобщение условия (2.5), используемого для кубического ящика в теории свободных электронов Зоммерфельда. Как и в том случае, мы вводим в теорию ящик , в который помещены электроны, и накладываем граничные условия Борна — Кармана (см. стр. 46), т. е. требование макроскопической периодичности. Если решетка Бравэ пе является кубической и сторона куба Ь не равна.целому числу постоянных решетки а, то выбор кубического ящика со стороной Ь не дает никаких преимуществ. Вместо этого гораздо удобнее работать с ящиком , соразмерным элементарной ячейке соответствующей решетки Бравэ. Поэтому мы обобщим периодическое граничное условие (2.5), запнсав его в форме [c.142]

То обстоятельство, что в силу граничного условия Борна — Кармана волновой вектор к может принимать лишь дискретные значения вида (8.27), не имеет отношения к непрерывности (к) как функции от непрерывной переменной к, поскольку в задачу на собственные значения (8.48) — (8.49) не входит размер всего кристалла и она имеет смысл при любом к. Напомним также, что множество значенийк вида (8.27) становится плотным в /к-про-странстве в пределе бесконечного кристалла. [c.147]

Рассмотрим в бесконечном кристалле блоховский уровень с волновым вектором к, который расположен поблизости от брэгговской плоскости, определяемой вектором К, но вдали от других брэгговских плоскостей, так что в слабом периодическом потенциале волновая функция этого уровня есть линейная комбинация плоских волн с волновыми векторами кик — К. В гл. 9 действительность вектора к требовалась лишь для выполнения граничных условий Борна—Кармана. В полубескопсчном кристалле, однако, составляющая вектора к, перпендикулярная поверхности кристалла, может и не быть действительной, требуется лишь, чтобы она давала волну, экспоненциально спадающую в отрицательном направлении оси х (в глубь металла). Снаружи металла блоховская функция должна быть сшита с решением уравнения Шредингера для свободного пространства, которое спадает в положительном направлении осп х (т. е. в направленлп от металла). Таким образом, вне металла мы выбираем [c.370]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...