Точка предельная полутраектории

Предельная точка отрицательной полутраектории Ф(р, t) Р>/ > — оо называется а-предельной точкой траектории Ф(р. t). [c.12]

Теорема /./. Множество предельных точек всякой полутраектории инвариантно и замкнуто. [c.12]

Докажем теорему для положительной полутраектории Ф(р, t) 0предельная точка этой полутраектории. Тогда существует последовательность <1 < 2 < 4- ОО- такая, что [c.12]

Из определения 11 следует, что если точка М является предельной точкой положительной полутраектории то либо а) существует последовательность различных точек полутраектории Ь+, соответствующих значениям времени к =1, 2,. . . ) таких, что М —>М, а >оо при к- оо, либо б) сама точка М соответствует бесчисленному множеству значений 1=1) таких, что — -1-оо при к—> оо. Аналогично обстоит дело с предельной точкой отрицательной полутраектории. [c.103]

Всякие две положительные (отрицательные) полутраектории, выделенные из одной и той же траектории, имеют одни и те же предельные точки. Рассматриваемые нами полутраектории (ограниченные на плоскости или произвольные на сфере) непременно имеют в силу компактности ограниченной замкнутой области или сферы по крайней мере одну предельную точку. Если полутраектория лежит целиком в области 0 с С, то и предельные точки ее принадлежат области С,. [c.103]

Очевидно, лемму 1 можно сформулировать следующим образом траектория, проходящая через точку, предельную для какой-нибудь полутраектории , является предельной траекторией для . [c.105]

Вернемся теперь к рассмотрению свойств предельных траекторий. Пусть Ь+ — полутраектория, о — ее предельная траектория, отличная от состояния равновесия, Мо — точка траектории и — дуга без контакта, проходящая через точку Мо- В силу следствия 1 из леммы 2 на дуге 0 кроме точки Мо не лежит ни одной точки траектории Ьо, а в силу следствия 2 той же леммы все точки пересечения полутраектории с дугой без контакта 1о лежат на этой дуге по одну сторону от точки Мо- [c.110]

Справедливость леммы 4 непосредственно вытекает из того факта, что М также является предельной точкой для полутраектории и из замечания 1 к лемме 9 3. [c.110]

Пусть К — предельный континуум полутраектории Р — отличная от состояния равновесия точка континуума К и I — дуга без контакта, проведенная через точку Р. Полутраектория пересекает дугу I в бесчисленном множестве точек Р . [c.295]

Точка М называется предельной точкой положительной полутраектории (или соответственно отрицательной полутраектории Ь ), если при любом сколь угодно малом е>0 и любом сколь угодно большом Т > О (любом Г < 0) в круге радиуса е с центром в точке М лежит хотя бы одна точка полутраектории Ь Ь ), соответствующая значению t>T (или соответственно 1<Т). [c.44]

Для полутраектории Ь (или Ь ), имеющей вид спирали, наматывающейся на предельный цикл, очевидно, все точки этого предельного цикла являются предельными (в двух последних примерах предельная точка не являлась точкой соответствующей полутраектории). [c.45]

Существенными для дальнейшего являются понятия предельной точки полутраектории и предельной траектории. Точка Ж называется предельной точкой положительной полутраектории (или соответственно отрицательной полутраектории L ), если при любом сколь угодно малом е О и любом сколь угодно большом T to (любом T< fo) в Е-окрестности точки М имеется точка полутраектории соответствующая значению t T (или соответственно t< Т) ). [c.398]

Поэтому она согласно определению является как ш-, так и а-предельной точкой I (в рассматриваемом случае — у(1 ) = ц при любом я). Траектория, стремящаяся к состоянию равновесия (как в случае узла и фокуса, так и в случае седла), имеет своей единственной предельной точкой это состояние равновесия. Для полутраектории (или ), имеющей вид спирали, наматывающейся на предельный цикл, очевидно, все точки этого предельного цикла являются предельными. Очевидно, в двух последних примерах предельная точка не являлась точкой соответствующей полутраектории. [c.399]

Пусть К— множество всех предельных точек данной полутраектории Следующая основная теорема характеризует это множество. [c.400]

Первая основная теорема. Множество предельных точек данной полутраектории является замкнутым, связным и состоит из целых траекторий. [c.401]

Докажем, что множество К замкнутое (в теоретико-множественном смысле), т. е. что всякая точка сгущения множества К принадлежит К. Пусть М — точка сгущения множества К. Тогда по самому определению точки сгущения в любой ее окрестности есть точки К, т. е. предельные точки полутраектории а следовательно и точки самой полутраектории V", соответствующие сколь угодно большим значениям t. А это и означает, что М есть предельная точка полутраектории [c.401]

Оказывается, что для выяснения качественной картины для системы второго порядка нужно знать поведение не всех траекторий, а лишь некоторых из них, называемых особыми траекториями. К последним относятся состояния равновесия, предельные циклы и незамкнутые траектории, у которых хотя бы одна полутраектория (т. е. кривая, описываемая изображающей точкой при t +00 или при — XD из начального положения точки в момент времени t = о) является сепаратрисой какого-нибудь состояния равновесия. Если взаимное расположение этих особых траекторий известно и, кроме того, определена устойчивость состояний равновесия и предельных циклов, то мы получаем полную качественную картину разбиения плоскости ху на траектории. [c.42]

Согласно широко распространенной гипотезе, предельное поведение траекторий типичной динамической системы на компактном многообразии описывается следующим образом. За конечное время каждая положительная полутраектория попадает в окрестность притягивающего множества — аттрактора. Если аттрактор достаточно массивен — отличен от конечного объединения особых точек и предельных циклов, — то поведение фазовых кривых на аттракторе и вблизи него хаотично. Аналогичная гипотеза имеется для диссипативных систем, фазовое пространство которых — компактное многообразие с краем, а поле системы направлено внутрь на краю. [c.156]

Т. е. точка Ф( , t) является предельной для полутраектории Ф(р, t) 0предельное множество этой полутраектории инвариантно. [c.12]

Покажем, что оно замкнуто. Пусть точки q , q ,, ,. являются предельными для нашей полутраектории и [c.12]

Докажем, что точка q является предельной для полутраектории Ф р, t) 0< i< + oo- Возьмем произвольное 6 > 0. По этому е. в силу (1.10), найдется такое д , что [c.12]

Отсюда следует, что р (Ф (р, t), q) < е это и доказывает, что точка q — предельная для нашей полутраектории. Теорема доказана. [c.12]

Из принципа выбора Больцано — Вейерштрасса следует, что множество предельных точек устойчивой по Лагранжу полутраектории не пусто. [c.13]

Теорема 1.2. Если полутраектория устойчива по Лагранжу, то множество ее предельных точек связно. [c.13]

Тик как полутраектория Ф(р, t) ограничена, то из последовательности точек Ф(р, -с ) можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к точке д. Точка д тогда будет предельной для полутраектории Ф(р, О < + оо, ас другой стороны, р( , 2,)=- следовательно, д не принадлежит ни ни [c.14]

Следствие 1.1. Если полутраектория устойчива в смысле Лагранжа, то множество ее предельных точек содержит минимальное множество. [c.15]

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку р О и решение Ф(р, ). проходящее через эту точку при ==0. Пусть 2 — предельное множество положительной полутраектории Ф(р, 1). Ясно, что 2сО покажем, что справедливо и более точное соотношение 2 0. Предположим, напротив, что существует точка 2. лежащая на границе области О. Рассмотрим точку Ф д, где < 0. Множество 2 есть предельное множество для Ф(р, потому оно инвариантно, следовательно. Ф(д, 1) 2сО. По условию теоремы имеем Ф Ф д, ), — 1) = д Это противоречит предположению, сделанному о точке д. Полученное противоречие и доказывает, что 2 с О. Отсюда и из теоремы 18.2 следует, что существует точка г 2, через которую проходит периодическое решение Ф(г, () системы (.18.1). [c.292]

Определение И. Точка М называется предельной точкой положительной отрицательной) полутраектории ( ), если при всяком е > О и при всяком У > О е С/е М) имеется по крайней мере одна точка полутраектории Ь ) отличная от точки М или совпадающая с ней), соответствующая при любом выборе движения на траектории значению времени > Т С — Г). [c.103]

Предельная точка полутраектории может как принадлежать самой полутраектории, так и не принадлежать. [c.103]

Определение III. Точка М называется предельной точкой траектории L, если она является предельной точкой для положительной полутраектории L+ или отрицательной полутраектории L, выделенной из L. В первом случае точка М называется также (о-предельной, а во втором [c.104]

Рассмотрим теперь примеры 1, п. 14. Полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия как в случае узла или фокуса, так и в случае седла (примеры 3, 4, 5) ), имеет своей единственной предельной точкой это состояние равновесия. В примере 4 все траектории, имеющие вид спиралей и расположенные внутри замкнутой траектории (предельного цикла) = 1, имеют единственную сс-предельную точку — состояние [c.104]

Лемма 1. Если Мо — предельная точка полутраектории 1Л, то все точки траектории, проходящей через точку М , являются предельными для полутраектории L+. [c.104]

Траектория Ьо, все точки которой являются предельными для полутраектории и называется предельной траекторией полутраектории и . [c.105]

Теорема 9. Множество К всех предельных точек полутраектории (или, что то же самое, множество всех ы-предельных точек траектории Ь() а) замкнуто б) связно в) состоит из целых траекторий. [c.105]

Определение (Ю. С. Ильяшенко, 1985). Пусть динамическая система на компактном гладком многообразии с краем диссипативна и m — гладкая мера на этом многообразии с положительной плотностью. Открытое множество и называется существенным, если положительна мера множества тех точек, положительные полутраектории которых проводят в среднем положительное время в области U. Статистическим предельным множеством называется дополнение к максимальному несущественному открытому подмножеству фазового пространства. [c.158]

Доказательство. Утверждение а) непосредственно вытекает из определения предельной точки полутраектории. В самом деле, пусть Мо — точка сгущения множества К. Тогда при любом е > О в (Жо) имеются предельные точки полутраектор1Ги Ь , а следовательно, имеются точки самой полутраектории соответствующие сколь угодно большим значениям 1. Но это и значит, что Мо есть предельная точка полутраектории +, т. е. Мо е К. [c.105]

Рассмотрим множество М (т ) . Так как L+ — ограниченная полутраектория или полутраектория на сфере, то множество М (т ) имеет по крайней мере одну точку сгущения М, лежащую вне илп на границе t/б (А) и Uf, (В). М является, очеввдно, предельной точкой для полутраектории (в силу самого определения предельной точки). [c.106]

Таким образом, / (Мо) = Оо, и, следовательно, >о > 0. Но этого не может быть. В самом деле, пусть Р — произвольная точка, лежащая в UQ г (О), Ь — проходящая через нее траектория, М — первая при убывании I точка траектории Ь, лежащая па окру кности а. Тогда, очевидно, / (М ) <С 9о 2, что противоречит оиределению (>о как точной нижней грани значений функции / (М) на окружности а. Полученное противоречие доказывает, что существует полутраектория , целиком лежащая в 11. Так как по предположению в и ист ни одной замкнутой траектории, то предельное множество полутраектории либо состоит из точки О, либо из точки О и траектори1т, стремящихся к О. В обоих случаях теорема доказана. [c.119]

Так как па континууме К2 заведомо есть предельные точки ио.су-траекториц ячейки, то всякая полутраектория Ь, при возрасташш I в конце концов войдет внутрь кривой С и болыпе уже из нее не выйдет. Пусть ( г — последняя при возрастании 1 общая точка кривой С и траектории // Мы получаем, таким образом, последовательность раз.ттчных точек [c.314]

Напомним некоторые свойства предельных траекторий, установленные в п. 5 4. Пусть 0 — отличная от состояния равновесия траектория, предельная для полутраектории Ь, входящая, следовательно, в состав некоторого континуума Кш- Пусть Мо — точка этой траектории и 1(, — проведенная через точку Мо и содержащая ее внутрп дуга без контакта. В силу следствия 1 из леммы 2 3 п. 4 на дуге кроме точки Мд не может лежать больше уже ни одной точки траектории В силу следствия 2 из той же леммы точки пересечения полутраектории с дугой 1 расположены либо все на части этой дуги, лежащей по положительную сторону Ьд, либо все на части этой дуги, лежащей по отрщательную сторолу Ьд. [c.412]

Следствие 1.2. Если полутраектория устойчива по Лягранжу, то ее предельное множество содержит рекуррентную траекторию. [c.17]

Доказательство. Пусть й—предельное множество полутраектории Ф( , /) при 0. Ясно, что 2сО. Из след-стнин 1.2 вытекает, что в 2 существует точка р, через которую проходит рекуррентная траектория Ф р, /). При всех t Ф(/Л 06 3 ЭК как множество замкнуто, то существует [c.291]

Мы пользуемся здесь и всюду термином точка сгущеиия вместо более распространенного в математической литературе термина предельная точка ввиду того, что в настоящем книге используется термин предельная точка полутраектории , имеющий другое содержание, чем предельная точка — в смысле теории множеств. [c.74]

Ж ). Так как Мо есть предельная точка иолутраекторип Ь , то существует бесконечная последовательность точек Ж (f ) полутраектории Ь+ таких, что + оо, а Ж (/ ) С/б (Ж ) п == 1,2, 3,. . . ). В силу выбора числа б последовательность точек М п т) траектории Ь, из которой выделена полутраектория обладает следующими свойствами а) М г, + т) 6 (Ж ) 6) + т —> оо в) все точки М (< + т) ). Из произвольности числа е > О и существования последовательности Жй, обладающей указанными свойствами, следует, что Ж — предельная точка полутраектории ,+. Лемма доказана. [c.105]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...